Designs, Graphs, Codes and their Links (London Mathematical Society Student Texts) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:P. J. Cameron

出品人:

页数:252

译者:

出版时间:1991-09-27

价格:USD 44.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780521423854

丛书系列:London Mathematical Society Student Texts

图书标签:

• Math
• GraphTheory
• Combinatorics
• 设计
• 图论
• 编码理论
• 组合数学
• 离散数学
• 数学
• 伦敦数学学会学生教材
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• 信息论

《设计、图论、编码及其联系》（伦敦数学会学生文集）提供了一段迷人的旅程，深入探索了三个表面上截然不同但又深刻交织的数学领域。这本书旨在为本科生和研究生提供对这些核心学科的坚实理解，同时突显它们之间令人惊讶的统一性。作者以清晰而引人入胜的风格，将复杂的主题分解成易于理解的组成部分，确保读者能够掌握基本概念，并欣赏它们之间更深层次的联系。 本书的开篇，作者着重于设计理论，这是组合数学的一个分支，处理在集合上选择元素以满足特定属性的结构。这里的“设计”是指一组“块”（集合），其元素来自一个“点集”，并且满足特定的计数条件。这些条件通常与每个点在多少块中出现、任意一对点出现在多少块中，或者块的大小有关。作者以最基本的设计——平衡不完全区组设计 (BIBD) 为起点。BIBD 由一个点集 $v$ 和一组大小为 $k$ 的块组成，每对点恰好出现在 $lambda$ 个块中。书中将详细阐述 BIBD 的定义、基本参数 $v, b, r, k, lambda$ 之间的关系，以及如何构造和识别 BIBD。 除了 BIBD，书中还会探讨其他重要类型的设计，例如有限射影平面和有限仿射平面。这些设计在几何学中扮演着重要角色，并且与编码理论有着密切的联系。作者将详细介绍它们的定义、参数，以及它们如何作为特定的 BIBD 的例子。还会涉及斯坦纳系统，特别是斯坦纳三元组系统 (S(2,3,v))，其每个块（三元组）恰好包含 3 个点，并且每对点恰好出现在 1 个块中。理解这些结构不仅有助于掌握组合设计学的基本思想，也为后续章节中理解编码的纠错能力和图论的结构提供了基础。 接着，本书的叙事转向了图论，这是研究点（称为顶点）和连接这些点的线（称为边）的数学分支。图论在科学、工程、社会科学等众多领域都有着广泛的应用。作者将从图的基本定义和表示方法开始，包括邻接矩阵和邻接表。然后，将深入探讨图的重要性质，如连通性、连通分量、割点和桥。书中会花大量篇幅介绍连通图的概念，以及如何判断图的连通性。 本书将重点关注一些具有特殊结构和重要性质的图类。例如，二分图，其顶点可以分成两个不相交的集合，使得每条边都连接来自不同集合的顶点。二分图在匹配问题中扮演着核心角色，而匹配问题在资源分配、调度等实际问题中有重要应用。作者将介绍最大匹配和完美匹配的概念，以及求解这些匹配的经典算法，例如霍尔婚姻定理和匈牙利算法。 此外，书中还会探讨平面图，即可以在不相交的边的情况下绘制在平面上的图。作者将介绍欧拉公式（$v-e+f=2$），并讨论如何判断一个图是否为平面图，以及图的嵌入。着色问题，特别是图的顶点着色，将是另一个重要主题。书中将解释色数的概念，以及讨论一些特殊图类的色数，例如完全图和偶数环。这些概念在资源分配（如频率分配）和调度问题中具有直接的应用。 本书最令人兴奋的部分在于揭示了设计、图论和编码理论之间出人意料的深刻联系。作者将展示，在许多情况下，这些看似独立的数学结构实际上是同一事物的不同视角。 在设计理论和图论之间，作者将展示许多设计可以直接转化为图。例如，一个关联设计，其点集代表事件，块集代表参与者，可以自然地转化为一个二分图，其中一边的顶点代表事件，另一边的顶点代表参与者，事件和参与者之间的连接表示参与了该事件。此外，构件图 (incidence graph) 是连接设计和图论的直接桥梁，一个设计中的点和块可以通过它们之间的关联关系构建出一个图。反之，某些图的性质也可以映射到设计。例如，一个图的独立集和团的概念可以与设计中的某些子集满足特定属性相关联。 编码理论，尤其是纠错码，在本书中占据着核心地位。纠错码是一种在信息传输过程中添加冗余，以便在接收端能够检测和纠正错误的技术。本书将从信息论的基础开始，介绍信道模型、编码率、汉明距离等基本概念。作者将重点介绍线性码，这是一种具有线性结构的码，使得编码和解码算法更加高效。 纠错码的构造和分析与设计理论和图论有着非常紧密的联系。例如，分组码，如汉明码和戈莱码，它们的结构可以通过校验矩阵来描述，而这些校验矩阵的设计往往遵循特定组合设计（如 BIBD）的原则。一个码的最小汉明距离决定了其纠错能力，而这个距离可以与特定图（如对偶码的校验图）的性质相关联。 图论在编码理论中的应用尤其广泛。例如，图的匹配可以用来分析译码器的性能，特别是最大似然译码。低密度奇偶校验 (LDPC) 码，作为一类强大的现代纠错码，其结构完全由稀疏图来定义，这些图的结构直接影响着译码算法的效率和纠错能力。通过对这些图的性质（如直径、团的大小、最小度）的分析，可以预测和改进 LDPC 码的性能。 此外，本书还会探讨对偶码的概念，以及它与检错码的关系。作者将展示，一个码的最小汉明距离与它的对偶码的最小生成距离之间存在深刻的联系。这种联系使得我们能够利用设计理论和图论的工具来设计和分析更强大的编码方案。 本书的一大亮点在于，作者通过大量的例子和详细的推导，将这些抽象的数学概念具象化。例如，在讨论图的连通性时，会给出实际的通信网络例子；在讲解纠错码时，会展示信息在传输过程中如何被编码和解码，以及如何纠正错误。这种理论与实践的结合，使得读者不仅能够理解数学的优雅，还能感受到其强大的应用价值。 总而言之，《设计、图论、编码及其联系》是一本内容丰富、结构清晰的数学著作。它成功地将三个重要而相互关联的数学领域融合在一起，为读者提供了一个全面而深入的视角。通过对设计、图论和编码的深入探索，以及对它们之间深刻联系的揭示，本书不仅会提升读者对这些领域的理解，更会激发他们对数学整体性的进一步思考。本书是任何对组合数学、离散数学以及理论计算机科学感兴趣的学生和研究人员的宝贵资源。

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这本书最让我印象深刻的地方，在于它如何通过“对称性”这一核心概念串联起看似异构的主题。从图论中的自同构群，到编码理论中的保持变换，再到设计理论中平衡不完全区组设计（BIBD）的对称性要求，作者不断地强调结构上的完美秩序。这种对“美”的追求，是数学的本质之一。它并非只是简单地罗列公式，而是试图揭示隐藏在这些数学对象背后的优雅结构。例如，在讲解如何利用有限域上的多项式来构造特定距离的线性码时，那种代数工具的强大威力令人叹服。书中的插图虽然不多，但每一张都恰到好处，比如用来解释“Stirling Numbers of the Second Kind”在划分问题中的作用，或者展示一个特定构型的拉格朗日图。总的来说，它教会我的不仅仅是知识本身，更是一种寻找模式和利用对称性解决问题的数学直觉，这比单纯记忆定理要宝贵得多。

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阅读这本专著的过程，与其说是学习，不如说是一场深入的智力探险。它对读者的要求很高，不容许走马观花。我发现自己经常需要在阅读一个章节后停下来，花上数小时去推敲作者为何选择这种特定的表达方式，或者为什么他选择从这个看似简单的例子作为切入点来阐述一个复杂的定理。其中关于“强正则图”（Strongly Regular Graphs）的讨论，与代数中的关联代数（Association Schemes）的联系阐述得尤其精彩，这部分内容在很多标准图论教材中往往被一带而过，但在这里却被细致地展开，因为它正是连接组合学和代数结构的关键枢纽。这本书的价值不在于它包含了多少知识点，而在于它成功地展示了知识点之间的**连接方式**。它塑造了一种看待数学问题的框架，即任何一个离散结构，背后往往都有一个深刻的代数根源在支撑。对于那些已经掌握了基础知识，准备向更精深领域迈进的读者来说，这本书提供的思维工具远比书本上的具体结论更为重要和持久。

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这本书的封面设计就透露出一种严谨的学术气息，那种深蓝的底色配上白色的衬线字体，让人一看就知道这不是一本轻松的读物。我最初是被它名字中“Links”这个词吸引的，它暗示着不同数学分支之间的深刻联系，这正是我在学习过程中一直渴望理解的。然而，当我真正翻开书页，发现它在代数、图论和信息论这几个看似不相关的领域之间架起了桥梁。书中的例子往往从非常基础的概念入手，比如简单的图着色问题，但很快就深入到编码理论中的校验矩阵和循环码的构建。作者在讲解线性代数在编码理论中的应用时，那种层层递进的逻辑推导，简直像是在进行一场精妙的数学解谜游戏。虽然有些地方的证明过程需要我反复阅读，甚至需要借助外部的参考资料来辅助理解，但一旦攻克了一个难点，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。这本书对于那些希望构建宏观数学视野，而不是仅仅满足于掌握孤立知识点的学生来说，无疑是一份极好的向导。它不仅仅是知识的堆砌，更是一种思维方式的训练，教会你如何用一种跨学科的视角去看待数学问题。

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说实话，刚拿到这本书时，我有些担心它会过于偏向某一特定的领域，毕竟“设计”、“图”和“编码”各自都是一个庞大的学科。但阅读下来，我发现作者的平衡感掌握得非常好。它没有陷入纯粹的组合设计中的复杂构造细节，也没有过度纠缠于图论中那些拓扑结构的美学讨论。相反，它总能精准地抓住那些连接点。比如，在讨论有限几何中的射影平面（Projective Planes）时，作者巧妙地将其与特定类型的完美哈明码（Perfect Hamming Codes）联系起来，那种“啊，原来是这样！”的顿悟感是阅读体验中最令人兴奋的部分。全书的行文风格非常克制，没有过多花哨的修饰，每一个定理、每一个推论都直指核心。如果你期望的是那种充满故事性或历史背景的叙述，这本书可能不适合你。它更像是一位耐心的导师，一步一步地把你领入一个逻辑严密的殿堂，要求你必须跟上它的节奏，保持高度的专注力。对于那些已经对离散数学有一定基础，渴望进行更高阶学习的人来说，它提供了一个绝佳的进阶路径。

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这本书的排版质量和符号使用规范性值得称赞，这对于一本高度依赖数学公式和图示的教材来说至关重要。清晰的数学符号和一致的术语定义，极大地减少了阅读过程中的歧义。我特别欣赏它在引入图论概念时，总是先从实际应用（比如网络设计或调度问题）的角度切入，这使得抽象的理论学习变得有据可依，不至于让人感觉像是在空中楼阁中徘徊。不过，需要提前说明的是，这本书的难度曲线并不平缓。在处理到关于代数曲线和编码构造的章节时，对读者代数几何和抽象代数背景的要求开始显著提高。对于本科阶段初次接触这些主题的学生来说，可能需要配合大量的习题练习来巩固理解。其中一些更深层次的证明，比如关于某个特定设计存在的证明，其复杂性已经接近研究生水平的要求。因此，我建议将其作为一本高级本科生或研究生的核心参考书，而不是入门读物。它的价值在于系统地展示了这些领域如何通过结构上的对称性和代数上的线性关系相互支撑。

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