Resolution of Singularities of Embedded Algebraic Surfaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Shreeram S. Abhyankar

出品人:

页数:311

译者:

出版时间:1998-04-08

价格:USD 149.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540637196

丛书系列:Springer Monographs in Mathematics

图书标签:

• 数学
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• 代数几何
• 奇点判决
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《曲面之谜：数学家对不规则性的探索》 想象一下，我们生活在一个由光滑、完美的几何形状构成的世界里。每一条曲线都优雅地延伸，每一个表面都一览无余。然而，在现实的数学世界中，尤其是在代数几何的领域，情况远非如此。这里充满了“奇点”——那些像是数学宇宙中的“瑕疵”，是几何对象的“不规则点”。它们是曲线的尖点、自交点，或是表面上的尖锐边缘和交错点。这些奇点并非仅仅是数学的“污点”，它们恰恰是理解整个几何对象深层结构的关键。 这本书，《曲面之谜：数学家对不规则性的探索》，旨在带领读者踏上一段关于这些迷人而复杂的“不规则性”的深度探索之旅，特别聚焦于嵌入式代数曲面。它不是一本关于如何解决这些奇点或使其“消失”的书，而是一本关于理解、分类以及揭示奇点所蕴含的丰富几何信息的书。书中将深入探讨数学家们是如何看待和研究这些被视为“瑕疵”的几何特征，以及这些研究如何帮助我们更全面地理解代数曲面的本质。 我们将从代数几何的基础概念开始，循序渐进地构建起理解代数曲面及其奇点的必要知识框架。代数曲面，顾名思义，是由多项式方程定义的几何对象。例如，一个球面可以由 $x^2 + y^2 + z^2 - r^2 = 0$ 来描述，而一个圆锥面可以由 $x^2 + y^2 - z^2 = 0$ 来描述。这些方程的解集在三维空间中就构成了我们所说的代数曲面。然而，并非所有代数曲面都是光滑的。某些点，即使在方程看来是合法的解，却可能导致曲面在那个点上变得“不好”。 “奇点”就是这些“不好”的点的集合。例如，考虑一个简单的例子：函数 $y^2 = x^3$ 在笛卡尔坐标系中绘制时，会在原点 $(0,0)$ 处形成一个尖点。这个原点就是该曲线的奇点。在三维空间中，代数曲面上的奇点可能表现得更加复杂，比如表面上突然出现的尖锐边缘，或者两块表面在某个点上“碰撞”并互相穿过。这些奇点是理解曲面拓扑性质、分类以及几何行为的重要线索。 这本书的重点并非在于“消除”这些奇点，而是深入研究它们本身。我们会探讨不同类型的奇点，例如“孤立奇点”（isolated singularities），它们在局部像一个孤立的点，或者“斜接奇点”（nodal singularities），它们通常表现为两个分支的交错。研究的重点将在于如何精确地描述这些奇点的局部几何结构，例如通过分析曲面在奇点附近的泰勒展开来理解其行为。 我们还将深入研究“嵌入式代数曲面”的概念。这意味着我们将代数曲面视为一个嵌入在更高维度空间中的几何对象。例如，我们可以将一个由 $x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$ 定义的球面视为嵌入在三维欧几里得空间 $mathbb{R}^3$ 中的一个二维曲面。然而，在代数几何中，我们通常考虑的是在复数域上的代数簇（algebraic varieties），它们可以被嵌入到复数空间 $mathbb{C}^n$ 中。研究这些嵌入式曲面上的奇点，需要我们运用许多精妙的工具和技术，包括代数拓扑、微分几何以及更抽象的代数几何理论。 书中将详细介绍用于分析奇点局部性质的关键概念，例如“法切锥”（tangent cone）。法切锥是对曲面在奇点处局部形状的一种“线性化”近似。通过研究法切锥的几何形状，我们可以获得关于奇点类型和复杂性的重要信息。我们还会探讨“奇点模空间”（moduli space of singularities）的概念，这是一个抽象的空间，其中每个点都代表一类具有相同局部几何性质的奇点。这使得我们能够对不同奇点进行分类和比较。 此外，本书还将深入探讨代数曲面奇点在整个代数几何理论中的地位。它们不仅是局部现象，其存在和性质还会对曲面的全局性质产生深远影响。例如，奇点的存在可能会影响曲面的可积性、映射性质以及与其他几何对象的交叉行为。我们将探讨一些重要的定理和猜想，这些都与代数曲面奇点的存在和分类密切相关，比如著名的“商猜想”（conjecture of resolutions）及其在不同数学领域中的应用。 我们将考察数学家们是如何通过“近视”于奇点，然后逐渐“放远”视角来理解整个曲面的策略。这本书将避免直接讨论“消解奇点”的过程，而是将精力集中在理解奇点本身所蕴含的信息。例如，我们将探讨奇点的“不变量”（invariants），即那些在一定变换下保持不变的性质，这些不变量对于区分和分类不同的奇点至关重要。 书中还会涉及一些代数几何的前沿思想，例如关于奇异曲面的“奇点理论”（singularity theory）的发展。我们将看到，奇点理论不仅是研究几何对象本身，更是理解代数几何深层结构的有力工具。它在物理学、拓扑学以及其他科学领域也有着广泛的应用。 总而言之，《曲面之谜：数学家对不规则性的探索》是一本关于理解代数曲面上“不规则性”的深度导论。它将引领读者深入了解数学家们如何剖析、分类以及揭示隐藏在几何“瑕疵”中的深刻数学原理。这本书适合那些对代数几何、微分几何以及抽象数学感兴趣的读者，希望通过对这些迷人奇点的探索，拓展对几何世界更深层次的认识。它旨在呈现的是数学家们对奇点“是什么”、“为什么存在”以及“意味着什么”的深入思考，而非仅仅关于如何“处理”它们。

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从排版和视觉呈现上看，这本书的专业性毋庸置疑，但同时也透露出一种略显古朴的严谨感。纸张的质感和印刷的清晰度都达到了学术出版物的标准，确保了复杂图表和希腊字母的准确再现，这在处理涉及高维空间的几何对象时至关重要。然而，我希望在某些关键证明步骤中，能有更多辅助性的图示或类比来软化那些纯符号推导带来的视觉疲劳。许多章节的论证过程如同连续不断的符号流，虽然逻辑上无懈可击，但对于试图在脑海中构建三维乃至更高维空间图像的读者来说，缺乏足够的视觉锚点。这使得我对某些特定拓扑结构的理解，不得不更多依赖于我自身已有的经验储备，而不是完全依赖书本的引导。总而言之，它是一部为专家准备的工具箱，里面装满了锋利且精确的数学利器，但打开箱子时，使用者最好已经知道每件工具的精确用途，否则只会被其复杂性所震撼。

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这部著作的结构如同一个精心编织的迷宫，引人入胜却又需要极度的专注力才能完全领略其精妙之处。初读时，我感到自己像是站在一个宏大而晦涩的数学建筑群前，每一个章节的标题都像是某种古老的符号，暗示着其中蕴含的深刻洞见。作者显然没有采取那种循序渐进、平铺直叙的教学方式，而是更倾向于一种“沉浸式”的学习体验。书中的论证链条非常紧密，几乎没有冗余的赘述，每一个定理的引入都像是为了解决此前建立的某种结构性难题。这种写作风格对于那些已经对代数几何基础有扎实理解的读者来说，无疑是一种享受，因为它直接切入了问题的核心，避免了不必要的铺垫。然而，对于初学者来说，这可能意味着相当高的理解门槛。我特别欣赏作者在处理复杂概念时所展现出的那种近乎艺术家的精确性，尽管文本密度极高，但关键的几何直觉和代数工具之间的桥梁搭建得相当巧妙。整本书读下来，与其说是在阅读一本教科书，不如说是在跟随一位大师进行一次高度浓缩的思想漫游。它更像是一部关于“如何思考”的指南，而不是单纯的“知识点罗列”。

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在阅读体验方面，这本书的节奏感非常独特，它似乎是在故意拉长某些关键概念的铺陈时间，而在另一些被认为是基础的领域则一带而过。这种不对称的分配策略，无疑是作者对特定研究领域倾斜的表现。我感觉自己花了大量时间去消化那些关于“规范化”（Normalization）的深入讨论，这些讨论深入到了超越一般教材所能覆盖的细节层面。作者对不同历史时期数学家处理类似问题的思路进行了对比，这种对比极大地丰富了我的历史视野，让我看到了数学思想演进的曲折路径。但是，这种深挖也意味着全书的行文略显凝重，缺乏一些当代学术著作中常见的“激励性”或“应用导向”的章节来调剂紧张的氛围。读完后，我感觉自己获得了一个极其坚固的理论基座，但如何将这个基座应用到尚未完全解决的实际问题中，还需要我进行大量的独立思考和知识迁移，这本书更多地提供了“为什么”的深刻理解，而不是“如何做”的直接蓝图。

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这本书给我留下最深刻印象的，是它对“局部”与“全局”统一性的不懈追求。它没有满足于仅仅给出解决奇点问题的实用算法，而是深入挖掘了隐藏在这些算法背后的深刻代数几何原理。作者似乎在努力证明，所有的局部修正和规范化操作，最终都必然指向一个更宏大、更和谐的全局几何结构。这种哲学层面的探讨贯穿始终，使得阅读过程充满了智力上的挑战与满足感。例如，在处理特定的环结构时，作者展示了如何通过精巧的代数技巧，将一个看似病态的局部现象，映射到一个光滑的、可理解的语境中去，这无疑是高度优雅的数学思想的体现。不过，这种高屋建瓴的视角也带来一个副作用：对于那些试图快速掌握某项特定计算技巧的读者而言，他们可能会感到被繁复的理论框架所累赘。这本书无疑是为那些志在攀登理论高峰的学者准备的，它要求读者不仅要会“做”数学，更要“理解”数学的本质是如何运作的。

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这本书的语言风格是极其古典且内敛的，它避开了所有不必要的修饰和情感色彩，每一个句子都像是一个精确的数学定义，服务于最终的目标——对嵌入式代数曲面奇点进行彻底的解析。这种纯粹的、去个人化的叙事方式，虽然确保了信息传递的绝对客观性，但也使得阅读过程在情感上保持着一种恒定的距离感。我发现自己常常需要停下来，反复咀嚼那些看似简单的句子，因为它们往往承载着一整套复杂的代数或拓扑结构。相较于一些更具个人色彩的数学家著作，这本书更像是一部经过时间沉淀的、几代学者共同构建的知识结晶，其权威性不言而喻。然而，这种极致的客观性也使得读者很难找到一个“向导”的陪伴感。它更像是一座信息密度极高的图书馆，你需要自己摸索路径，寻找你需要的知识宝藏。对于那些偏爱对话式或启发式教学风格的读者来说，这部作品可能需要更大的耐心和毅力去征服。

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