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出版者:Springer New York

作者:Susanne C. Brenner

出品人:

页数:420

译者:

出版时间:2009-11-23

价格:USD 69.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781441926111

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 有限元
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• FEM
• 教材或教辅
• Finite Element Methods
• Mathematical Analysis
• Numerical Analysis
• Partial Differential Equations
• Engineering Mathematics
• Applied Mathematics
• Computational Mathematics
• Variational Methods
• Functional Analysis
• Mathematics

引言： 数学方法在现代工程与科学研究中扮演着至关重要的角色。尤其是在处理复杂几何形状和非均匀载荷的物理问题时，传统的解析方法往往显得力不从心。有限元方法（Finite Element Method, FEM）应运而生，成为解决此类问题的强大工具。它通过将连续的求解域离散化为一系列小的、相互连接的单元，然后对每个单元应用简化的数学模型，最终将复杂的整体问题转化为一个大型的代数方程组，从而得以求解。 Finite Element Method (FEM) 的理论基石： FEM 的核心在于其严谨的数学理论。本书将深入探讨支撑 FEM 的关键数学概念，包括： 变分原理（Variational Principles）与弱形式（Weak Forms）： 许多物理问题可以表述为最小化某个能量泛函或满足一个积分方程。FEM 将这些连续问题转化为等效的离散代数问题，其基础便是变分原理。我们还将深入理解偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）的弱形式，这是 FEM 推导过程中不可或缺的步骤。弱形式的引入允许我们将更广范围的函数作为解，并能更自然地处理边界条件。 函数空间（Function Spaces）与 Sobolev 空间： FEM 的理论分析离不开对函数空间的深入理解。我们将介绍希尔伯特空间（Hilbert Spaces）和 Banach 空间（Banach Spaces），重点关注 Sobolev 空间的性质。Sobolev 空间定义了具有一定光滑度（即其导数也属于 $L^p$ 空间）的函数，这对于 FEM 的误差分析和收敛性证明至关重要。 逼近理论（Approximation Theory）： FEM 的本质在于用一组简单的“基函数”（basis functions）来逼近真实的解。本书将详细阐述插值（interpolation）和投影（projection）等逼近技术。我们将分析不同类型的插值多项式（如 Lagrange 插值、Hermite 插值）以及它们在 FEM 中的应用。同时，还将探讨不同逼近空间（如多项式空间、三角多项式空间）的性质以及它们对 FEM 性能的影响。 离散化误差（Discretization Error）分析： FEM 的精度取决于单元的细度和所选用的基函数。我们将提供严谨的数学分析，以量化离散化误差。这包括推导误差界，理解误差与单元尺寸、多项式次数以及问题本身光滑度之间的关系。我们将介绍稳定性和一致性（stability and consistency）的概念，以及它们如何共同保证 FEM 解的收敛性。 稳定性（Stability）与收敛性（Convergence）： FEM 的有效性在于其解能够稳定地逼近真实解，并且随着网格的细化，误差能够渐进地减小。我们将详细讨论 FEM 的稳定性条件，例如 Gårding 不等式（Gårding's inequality）等。收敛性分析将从理论层面证明，在满足一定条件下，FEM 解会以一定的速率收敛到真实解。 有限元方法的构建与实现： 在掌握了理论基础之后，本书将进一步探讨 FEM 的具体构建过程与实际实现方法。 单元（Element）的概念： FEM 将求解域分解为一系列简单的几何单元，如三角形、四边形、四面体、六面体等。我们将讨论不同形状单元的性质，以及如何在复杂几何区域中生成高质量的网格（meshing）。 形函数（Shape Functions）或基函数（Basis Functions）： 在每个单元内部，我们使用一组局部多项式函数（形函数）来描述该单元内的解。本书将介绍不同类型的形函数，如拉格朗日形函数（Lagrange shape functions）、Nédélec 形函数（Nédélec shape functions）等，并解释它们如何构建局部解。 单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）的组装： FEM 的核心是一个代数方程组。对于每个单元，通过应用变分原理或弱形式，我们可以推导出其对应的“单元刚度矩阵”和“单元载荷向量”。我们将详细讲解如何计算这些矩阵和向量，以及它们与物理参数（如弹性模量、导热系数等）之间的关系。 整体刚度矩阵（Global Stiffness Matrix）的组装： 将所有单元的局部刚度矩阵和载荷向量通过节点（nodes）进行“组装”，最终形成一个大型的“整体刚度矩阵”和“整体载荷向量”，代表了整个求解域的离散化方程。 边界条件（Boundary Conditions）的处理： 无论是 Dirichlet 边界条件（给定边界上的函数值）还是 Neumann 边界条件（给定边界上的导数值），都需要在组装整体矩阵时进行妥善处理。本书将介绍几种常见的处理边界条件的方法。 线性方程组的求解（Solution of Linear Systems）： 组装完成后，FEM 问题归结为求解一个大型稀疏线性方程组。我们将介绍直接求解法（如高斯消元法）和迭代求解法（如共轭梯度法、GMRES 等），并讨论它们的优缺点以及在 FEM 中的适用性。 FEM 在不同领域的应用与高级主题： FEM 是一种高度通用的方法，其理论和技术可以应用于广泛的工程和科学领域。 结构力学（Structural Mechanics）： 这是 FEM 最早也是最成功的应用领域之一。我们将探讨如何使用 FEM 分析应力、应变、位移、模态分析等。 传热学（Heat Transfer）： FEM 在分析稳态和瞬态传热问题中也发挥着重要作用，用于计算温度分布和热流。 流体力学（Fluid Dynamics）： FEM 可以用于求解 Navier-Stokes 方程，分析流体的速度、压力分布等。 电磁学（Electromagnetics）： FEM 在分析电磁场分布、天线设计等方面也有广泛应用。 数值积分（Numerical Integration）： 在单元刚度矩阵和载荷向量的计算过程中，通常需要进行数值积分，如高斯积分（Gauss quadrature）。我们将探讨不同阶次的高斯积分以及它们对精度的影响。 自适应网格细化（Adaptive Mesh Refinement, AMR）： 为了提高计算效率和精度，AMR 技术可以在误差较大的区域自动细化网格，从而使计算资源得到更有效的利用。 高阶有限元（Higher-Order Finite Elements）： 使用更高次的多项式作为基函数可以提高 FEM 的精度，我们也将探讨高阶有限元的理论与实现。 总结： 本书旨在为读者提供一个扎实的数学理论基础，以及对有限元方法构建与实现的深刻理解。通过学习本书，读者将能够： 理解 FEM 背后的数学原理，包括变分原理、函数空间和逼近理论。 掌握 FEM 的基本构建步骤，从单元选择到整体矩阵的组装和求解。 能够独立分析 FEM 的误差和收敛性。 对 FEM 在不同领域的应用有一个初步的认识。 无论您是工程专业学生、研究人员还是对数值计算感兴趣的读者，本书都将是您深入了解有限元方法这一强大计算工具的宝贵资源。

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这本书的结构安排非常古典而扎实，它把有限元方法看作是一个完整的数学框架来对待。我非常欣赏它在最后几章对**后处理技术**的讨论，这部分内容往往在很多教材中被简单带过。这里，作者花了相当大的篇幅来介绍如何通过**超收敛技术**和**局部误差估计**来提高解的精度，而无需对网格进行加密。比如，它详细阐述了Zienkiewicz-Zhu (ZZ) 误差估计法的数学原理，并将其与传统的基于插值误差的估计方法进行了对比分析，清晰地指出了ZZ方法在计算效率和准确性上的优势。对于从事计算力学和结构分析领域的人员来说，知道如何量化计算误差，比仅仅知道如何建立方程更为关键。这本书将理论推导和对实际结果的评估无缝衔接起来，使得读者不仅学会了“如何算”，更学会了“如何信赖你的计算结果”。这种对完整计算流程的覆盖，让它显得尤为全面和值得信赖。

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这本厚重的著作，封面设计得相当朴实，带着一种学术书籍特有的严谨感。初次翻阅时，我被其中对理论基础的深度剖析所吸引。作者显然对数值分析的根基有着极其深刻的理解，开篇就花了大量的篇幅来阐述变分原理和泛函分析在有限元方法构建中的核心作用。这种详尽的铺陈，对于那些希望真正吃透有限元“为什么”能工作的人来说，简直是福音。我特别欣赏它对**基函数选择**的讨论，不仅仅是罗列了常用的Lagrange多项式，还深入探讨了如何在不同几何形状的单元上保证全局解的连续性和最优插值性质。书中对**共轭梯度法**的推导也极其清晰，从最基本的迭代步骤到收敛性的证明，逻辑链条完整无暇，让人感觉每一步的引入都是水到渠成，而不是突兀的结论。虽然阅读过程需要高度集中注意力，需要不断在抽象的数学符号和实际的物理问题之间进行切换，但一旦跨过最初的门槛，那种构建起完整知识体系的满足感是无与伦比的。它更像是一部教科书，而非入门手册，要求读者具备扎实的数学背景，才能真正领略其精妙之处。

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说实话，刚开始看这本书的时候，我被那些密密麻麻的希腊字母和算子符号“劝退”了一小下。它绝对不是那种可以边喝咖啡边轻松阅读的书籍。但坚持下去后，我发现它在**稳定性分析**方面的论述达到了极高的水准。特别是关于**CFL条件**和**时间离散化**的稳定性问题，这本书不仅仅停留在满足Von Neumann稳定性的层面，而是深入探讨了在复杂边界条件下，时间步长与空间网格尺寸之间的精确耦合关系。书中对**LBB条件（或称Babuška-Brezzi条件）**的介绍非常彻底，详细说明了为什么在处理不可压缩流体（如Navier-Stokes方程）时，选择不兼容的单元对会导致零能模态的出现，进而使得求解无解或错误解。这种对数学约束与物理现实之间关联的精妙把握，是其他侧重于编程实现的教材所不具备的。它强迫读者像一个数学家那样去思考，去验证解的存在性和唯一性，而不是仅仅满足于得到一个“看起来像”的答案。

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我必须承认，这本书的深度和广度令人敬畏，但阅读体验也因此带上了一定的挑战性。它的覆盖范围似乎想囊括有限元方法所有重要的理论分支，从经典的弹性力学到更前沿的电磁场分析中的应用。在介绍**非线性迭代**时，它对比了如Newton法、Quasi-Newton法以及Line Search方法的内在机理和各自的收敛速率，这对于需要处理材料非线性和几何非线性耦合问题的研究者来说，提供了宝贵的决策依据。不过，这本书的难度是毋庸置疑的，它更像是一本供研究人员深入钻研的参考书，而非本科生或初级研究生接触有限元世界的敲门砖。如果读者不熟悉高级偏微分方程的知识，可能会在理解椭圆型方程的弱解形式时感到吃力。但即便如此，它作为一本经典的、经得起时间考验的理论著作，其价值在于提供了一个坚不可摧的理论基石，任何后续想在该领域深入研究的人，都绕不开这本书所奠定的理论高度。

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我是在一个项目瓶颈期找到这本书的，当时我们面对的非线性问题收敛性极差，市面上很多应用层面的书籍只是给出了一个“黑箱”算法，无法解决我们遇到的奇异性问题。这本书的价值就在于它提供了一个从底层逻辑出发的视角。它对**刚度矩阵的构建**，尤其是在处理高阶单元和非结构化网格时的数值稳定性问题，进行了非常细致的探讨。我记得其中一章专门分析了**积分点的选择**对高斯-勒让德求积精度的影响，并结合具体的示例展示了如何通过调整积分点来避免数值积分带来的误差放大效应。更重要的是，它没有回避有限元方法中的**病态问题（ill-conditioning）**，而是详细分析了条件数恶化的原因，并提出了几种基于预处理技术的缓解策略，比如对角占优预处理和代数多重网格法的基本思想。这本书的行文风格非常克制，几乎没有多余的抒情，每一个公式和定理的陈述都直指核心，迫使你必须自己动手推导，否则很难真正掌握其精髓。对于追求极致工程精度和理论深度的工程师来说，这本书提供了难以替代的理论支撑。

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