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出版者:Springer

作者:Stichtenoth, Henning; Tsfasman, Michael A.;

出品人:

页数:223

译者:

出版时间:1992-09-10

价格:USD 46.00

装帧:Perfect Paperback

isbn号码:9783540556510

丛书系列:Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

• Theory
• 计算机科学
• 数学
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《编码理论与代数几何》 本书深入探讨了现代通信、数据存储以及密码学等领域至关重要的数学分支——编码理论，并以此为切入点，系统性地介绍了代数几何的核心概念与方法。全书逻辑清晰，由浅入深，旨在为读者构建起连接这两个似乎独立的数学领域之间的桥梁，揭示它们之间深刻而富有启发性的联系。 第一部分：编码理论基础 本部分将从编码理论的基本思想和核心问题出发，逐步引入读者进入这个充满挑战与创新的领域。 信息论的基石： 首先，我们将回顾香农信息论的经典成果，包括信息熵、信道容量等基本概念，为理解编码的必要性和目标奠定基础。我们将解释为什么在实际信息传输中，原始数据需要经过编码处理才能克服噪声的干扰，提高传输的可靠性。 线性编码： 线性码作为最重要、最普遍的一类码，将是本部分的重点。我们将详细介绍向量空间、子空间的概念，以及如何利用它们来构造和分析线性码。 码字与码空间： 定义码字的概念，并引入码空间（code space）这一核心结构。我们将阐述码空间如何表示所有可能的合法的编码序列。 生成矩阵与校验矩阵： 详细讲解生成矩阵（generator matrix）和校验矩阵（parity-check matrix）的作用，以及它们如何决定一个线性码的性质。我们将展示如何利用它们进行编码和解码。 参数与性能： 引入码长（code length）、信息长度（message length）、最小距离（minimum distance）等关键参数，并探讨它们与编码效率和纠错能力之间的关系。我们将介绍汉明距离（Hamming distance）等度量方式。 标准码： 探讨一些经典的线性码，如汉明码（Hamming codes）、BCH码（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codes）等，分析它们的构造方法、参数以及在实际应用中的优势。 非线性编码与分组码： 除了线性码，我们也会触及一些重要的非线性编码，并重点介绍分组码（block codes）的一般理论。 纠错与解码： 纠错是编码理论的核心应用。我们将介绍不同类型的解码算法，从简单的最小距离解码到更复杂的代数解码方法。 硬判决与软判决解码： 区分硬判决（hard-decision）和软判决（soft-decision）解码的概念，并介绍各自的优缺点。 代数解码： 引入代数解码的思想，为后续代数几何的应用做铺垫。我们将介绍一些基本的代数解码技术，例如基于多项式插值的解码方法。 信道模型： 介绍不同的通信信道模型，如二元对称信道（binary symmetric channel, BSC）、加性高斯白噪声信道（additive white Gaussian noise, AWGN channel）等，并分析它们对编码方案选择的影响。 第二部分：代数几何入门 本部分将为读者提供代数几何的基础知识，重点关注那些对理解编码理论至关重要的概念。 多项式与代数簇： 域与多项式环： 从有限域（finite fields）出发，介绍其基本性质以及在编码理论中的重要性。我们将深入研究多项式环（polynomial rings）及其性质。 零点与代数簇： 定义代数簇（algebraic variety）的概念，即由一组多项式方程的公共零点构成的几何对象。我们将介绍不同维度代数簇的结构。 多项式的根与多项式方程组： 探讨多项式的根的分布，以及求解多项式方程组的思路，这与解码过程中的多项式方程求解密切相关。 射影空间： 引入射影空间（projective space）的概念，它在描述某些代数簇时更为便利，尤其是在处理无穷远点时。 几何性质与不变量： 齐次多项式与射影簇： 介绍齐次多项式（homogeneous polynomials）及其在定义射影簇中的作用。 环与理想： 介绍环（rings）和理想（ideals）的概念，以及它们与代数簇之间的对应关系，例如希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）的基本思想。 曲线与曲面： 代数曲线： 重点介绍代数曲线（algebraic curves）的概念，这将是连接代数几何与编码理论的核心。我们将讨论不同类型的代数曲线，如平面曲线、射影曲线等。 点、线与交点： 分析代数曲线上的点、直线以及它们之间的交点性质，例如贝祖定理（Bézout's theorem）及其在计数交点时的威力。 整环与域扩张： 简要介绍整环（integral domains）和域扩张（field extensions）的概念，为理解更高级的代数几何概念做准备。 第三部分：编码理论与代数几何的交汇 本部分将是本书的精华所在，我们将揭示编码理论与代数几何之间深刻而富有建设性的联系。 代数几何码（AG码）： AG码的定义： 详细介绍代数几何码（Algebraic Geometry codes, AG codes）的构造方法。我们将引入代数曲线 $C$ 以及其上的一个点集 $P$，并利用这些几何对象来构造编码。 码的参数： 分析AG码的码长、信息长度和最小距离，并展示如何通过选择不同的代数曲线和点集来优化这些参数。我们将介绍李奇·韦尔（Lachaud-Welch）界等AG码的界。 AG码的优势： 阐述AG码在理论上的优越性，例如其渐近性能（asymptotic performance），以及在某些情况下能够达到理论极限（如MDS码）。 解码AG码： 探讨AG码的解码算法，重点介绍基于代数几何方法的解码技术，例如舒尔（Sudan）算法、格雷（Griesmer）算法等，以及它们如何利用代数几何工具来解决纠错问题。 黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem）及其在编码理论中的应用： 黎曼-罗赫定理是代数几何中最强大的工具之一，我们将介绍其基本内容，并重点阐述它如何被用来确定AG码的信息长度和最小距离，从而精确计算码的参数。 代数簇上的函数域（Function Fields on Algebraic Varieties）： 介绍代数簇上的函数域概念，以及如何利用这些函数域来构造更复杂的编码方案，例如 Córdoba-Ruiz-Ruiz (CRR) 码。 纠错码的发展前沿： 探讨代数几何在开发新型高效纠错码方面的最新进展，例如基于簇的编码（code on varieties）、张量编码（tensor codes）等。 应用展望： 讨论代数几何码在现代通信系统（如5G/6G）、数据存储（如硬盘、光盘）、以及未来量子计算中的潜在应用。 总结 《编码理论与代数几何》旨在提供一个全面而深入的视角，展现这两个数学领域如何相互促进、共同发展。通过学习本书，读者不仅能够掌握编码理论的核心思想和代数几何的基础工具，更重要的是能够理解这两个领域之间深刻的内在联系，并对未来编码技术的发展方向有更清晰的认识。本书适合数学、计算机科学、电子工程等相关领域的学生、研究人员和工程师阅读。

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坦白说，这本书的阅读体验是充满“智力上的摩擦”的。它对读者的要求极高，仿佛作者在用一种只有少数人能完全理解的“数学方言”进行交流。全书的结构组织非常紧凑，几乎没有冗余的叙述，这对于追求效率的专业人士是优点，但对于我这样的业余爱好者来说，却意味着需要反复查阅外部资料来弥补知识上的断层。我印象最深的是关于“完美码”的研究部分，作者通过引入特定的曲线族，推导出了某些码的参数已经达到了理论上限，这种理论上的极限探讨，展示了代数几何在信息论中能够达到的深度。语言风格上，它显得非常冷峻和客观，几乎完全是定理、证明和定义构成，很少有人文关怀式的引导。如果你期待的是那种循序渐进、充满例子的教学风格，这本书可能会让你感到失望。但如果你已经站在一个较高的数学起点，渴望了解当前该领域最尖端、最纯粹的理论进展，那么这本书无疑是为你量身定做的“硬核”教材。

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这本书的叙事节奏和视角转换非常独特，它不像一本标准的教科书，更像是一次由顶级数学家主导的、对特定数学领域的“深度潜水”。作者似乎天然地认为读者已经熟悉了代数簇、理想和同调代数的基础。我特别欣赏作者在讨论如何利用代数几何来解决具体编码难题时所展现出的那种“数学家的优雅”。例如，在构造具有特定最小距离的码时，作者没有采用传统的组合方法，而是通过精妙的几何构造，直接证明了该码的存在性。这种从几何直观到代数证明的过渡，是本书最大的魅力所在。唯一美中不足的是，虽然它提供了理论的深度，但在实际的解码算法实现方面着墨不多，这使得它更偏向于理论分析而非工程应用。总的来说，这是一部需要时间、耐心和深厚数学背景才能完全消化的著作，它提供的知识不仅是工具，更是一种看待数学问题的全新范式，尤其是那种将代数对象视为几何实体的视角，非常具有启发性。

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这本《Coding Theory and Algebraic Geometry》的书，虽然名字听起来高深莫测，但我作为一名对理论数学和信息科学都有点涉猎的读者，读完之后感觉它像是一座连接两个看似遥远领域的宏伟桥梁。全书的叙述节奏非常平稳，作者并没有一上来就抛出那些令人望而生畏的代数几何术语，而是循序渐进地从经典的编码理论问题——比如如何构造出纠错能力强的码——讲起。引人入胜之处在于，它巧妙地展示了那些在代数几何中被视为抽象概念的工具，比如曲线、点集，是如何被精准地“翻译”成关于有限域上多项式和向量空间的具体问题的解决方案的。尤其是在介绍代数曲线上的点集如何对应于代数几何码（AG codes）的构造时，那种数学美感让人叹为观止。我特别喜欢作者在章节末尾设置的那些思考题，它们不仅仅是简单的计算，更多的是引导你去思考理论背后的深刻联系，比如为什么特定的几何结构能带来更好的解码性能。对于那些希望深入理解现代编码理论的数学基础，而不是仅仅停留在应用层面的读者来说，这本书无疑是提供了一个坚实且富有启发性的视角。

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读完这本厚重的书籍，我的感受是，它更像是一部精致的学术论著，而非一本面向大众读者的科普读物。作者显然是该领域的资深专家，其行文风格极其严谨，逻辑链条几乎找不到一丝松动之处。内容深度上，它几乎没有给任何基础概念留下解释的余地，读者必须对抽象代数、域扩张以及初步的代数几何知识有扎实的背景才能跟上其思路。我花了大量时间去啃读其中关于黎曼-洛赫定理在编码理论中应用的章节，那种将抽象的拓扑和代数结构紧密耦合的感觉，让人不得不佩服数学家思维的精妙。然而，这种高度的专业性也带来了阅读上的挑战，许多推导过程需要读者自行补全中间步骤，这无疑增加了学习的门槛。不过，对于研究生或者致力于这一领域研究的人员来说，这本书无疑是提供了一个权威且不可或缺的参考手册，它详尽地梳理了如何利用现代代数几何的工具来设计和分析编码系统，其价值在于提供了最前沿的理论框架和最严格的数学证明。

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这本书给我的最直观印象是“跨学科的野心”。它并不是简单地把编码理论和代数几何的概念罗列在一起，而是致力于寻找两者之间内在的同构关系。作者花了很大的篇幅去阐述模空间、函数域等概念如何被巧妙地嵌入到纠错码的结构中。特别是关于“几何化”的概念，即如何将一个离散的编码问题转化为一个连续的几何对象上的问题，这一处理方式令人耳目一新。相比于其他侧重于列表译码或基于格的译码方法的书籍，这本书的侧重点明显更偏向于构造性和结构性分析。阅读体验上，它更像是在阅读一篇经过精心打磨的长篇综述，信息密度非常高，每一页都塞满了需要细细品味的定理和引理。我建议初学者不要试图一次性读完，而是应该将其视为一本“工具书”，在遇到具体的几何编码问题时，翻阅相应章节，去寻找那些隐藏在几何结构背后的编码优化思路，那种豁然开朗的感觉是其他书籍难以比拟的。

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