Sheaves on Manifolds pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Masaki Kashiwara

出品人:

页数:512

译者:

出版时间:2002-5-27

价格:USD 139.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540518617

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 微分几何
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《流形上的层》 引言 流形是现代几何学和拓扑学的基石，它们为我们理解光滑空间提供了一个强大的框架。而层（sheaves）的概念，则为研究流形上的局部性质及其全局联系提供了一种优雅而强大的工具。本书《流形上的层》深入探讨了层论在流形研究中的应用，旨在为读者构建一个坚实的理论基础，并展示其在代数几何、微分几何乃至更广泛的数学领域中的重要性。 第一部分：基本概念与构造 本书的开篇将从层论的最基本元素讲起。我们将首先介绍“预层”（presheaf）的概念，它是一种将拓扑空间上的开集映射到集合（或群、环等代数结构）的函子，并定义了限制映射。预层的核心思想在于“局部数据可以组合成全局数据”这一直观思想的数学化。 随后，我们将引入“层”的定义。层的概念是在预层的基础上增加了“粘合公理”（gluing axiom）。这个公理确保了局部上一致的“切片”可以唯一地粘合起来形成一个全局的“切片”。我们将通过丰富的例子来说明这一概念，例如常数层、齐次多项式层、光滑函数层等，这些例子将帮助读者理解不同类型的层所捕捉到的不同性质。 本部分还将详细介绍如何从一个预层构造出其对应的层，这通常通过“层化”（sheafification）过程完成。这个过程将任何预层转化为一个与之相关的、最“好”的层，为后续的理论发展奠定基础。 第二部分：层的函子性与导出函子 层不仅仅是独立的数学对象，它们之间也存在着自然的映射关系，即函子（functor）。我们将介绍“拉回”（pullback）和“前推”（pushforward）函子。拉回函子允许我们将一个流形上的层“拉回”到另一个流形上，这在研究映射对层的影响时至关重要。前推函子则相反，它将一个流形上的层“推到”另一个流形上。 在此基础上，我们将深入探讨导出函子（derived functors）的概念。在代数中，导出函子是研究非正合函子（non-exact functor）的重要工具。在层论的语境下，导出函子（例如右导出函子和左导出函子）使得我们能够量化层函子（如拉回和前推）在何种程度上破坏了正合性。特别是，我们将介绍上同调（cohomology）和下同调（cohomology）的概念，它们是导出函子在层论中的具体体现。例如，研究一个流形上某个代数结构（如一个层）的全局性质，往往可以通过其上同调群来刻画。 第三部分：重要类型的层及其性质 本部分将聚焦于流形上一些特别重要和常用的层。 向量丛（Vector Bundles）的层论视角： 我们将展现如何将向量丛理解为某个特殊层的“截面”。例如，一个光滑向量丛的全局截面空间可以看作是对应层的一个全局截面。这将把代数几何中的“环”的概念推广到几何对象上。 微分算子（Differential Operators）的层： 微分算子在分析和几何中扮演着核心角色。我们将探讨微分算子的层，以及如何利用层论来研究微分算子的性质，例如其核（kernel）和像（image）等。 凝聚层（Coherent Sheaves）： 在代数几何中，凝聚层是研究代数簇（algebraic varieties）的标准对象。本书将把这一概念推广到光滑流形上，并探讨凝聚层的重要性质，如其有限性（finiteness）和模（modules）的结构。凝聚层的研究是现代代数几何的核心内容之一。 相干层（Quasi-coherent Sheaves）： 相干层是凝聚层的推广，它提供了更广泛的研究框架。我们将介绍相干层的定义和基本性质，以及它们在研究更一般的几何对象时的作用。 第四部分：层与同调代数 同调代数是现代数学的一个重要分支，其思想和方法在层论中得到了深刻的应用。本书将展示层论如何提供了一个研究同调问题的自然平台。 上同调的计算： 我们将讨论如何利用层的性质来计算上同调群。这包括介绍一些重要的上同调定理，如 the Čech cohomology 和 the sheaf cohomology。我们将通过具体的例子说明如何运用这些工具来解决几何问题。 Grothendieck 谱（Grothendieck Spectra）与K-理论（K-theory）： 层论在发展更加抽象的数学理论中也发挥了关键作用。我们将简要介绍 Grothendieck 谱的思想，以及它与层论在 K-理论中的联系。K-理论是研究向量丛的一种代数不变量，它在拓扑、几何和代数领域都有着广泛的应用。 第五部分：应用与展望 本书的最后部分将聚焦于层论在不同数学分支中的具体应用，以及一些前沿的研究方向。 代数几何中的应用： 层论是代数几何的基石。我们将展示层论如何用于定义和研究代数簇、概形（schemes）以及各种同调不变量。 微分几何中的应用： 在微分几何中，层论被用于研究微分形式、切丛、张量丛以及它们的同调性质。例如，de Rham 定理可以看作是微分形式层的一个上同调结果。 其他数学领域的联系： 我们还将简要提及层论在数学物理、复分析以及其他相关领域中的出现和应用，展示其跨学科的强大生命力。 结论 《流形上的层》旨在为读者提供一个关于层论的全面而深刻的理解。通过从基本概念到高级应用的全方位介绍，本书将帮助读者掌握这一强大的数学工具，并为其进一步探索流形、代数几何以及更广泛的数学世界打下坚实的基础。本书适合数学专业研究生以及对代数几何、微分几何和同调代数感兴趣的研究人员和学生。

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这部名为《Sheaves on Manifolds》的书籍，从我个人的阅读体验来看，它更像是一本为那些已经对微分几何和拓扑学有相当基础的读者准备的深度指南。这本书的结构安排非常紧凑，作者似乎假定读者已经熟练掌握了某些核心概念，比如流形上的向量场、微分形式以及基础的同调理论。对于初学者来说，这本书的上手难度无疑是相当高的，它没有花太多篇幅去解释“什么是流形”或者“什么是纤维丛”，而是直接切入了层（sheaf）这一主题。我记得我翻阅第一章时，就被作者抛出的一系列定义和定理推着往前走，感觉自己像是在一个高速公路上被要求立刻掌握复杂的导航系统。书中的数学符号运用得非常精炼，有时候甚至显得有些“吝啬”，缺少足够的插图或直观的例子来帮助理解抽象的构造。例如，在讲解导出函子（derived functors）的部分，如果能多一些关于它们在代数拓扑中实际应用的例子，可能对于建立直观认识会大有裨益。总的来说，如果你已经身处研究生的行列，并且正在为某个特定领域（比如复几何或规范场论）的理论打基础，这本书会是一个坚实的、虽然略显冷峻的参考资料库。它提供了理论的骨架，但肉体需要读者自己去填充。

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阅读《Sheaves on Manifolds》的过程，与其说是学习新知识，不如说是一种对已有知识体系的“重构”与“精炼”。作者似乎在努力提炼出层论的核心本质，将那些在不同分支（比如拓扑、分析、代数）中可能被分散讨论的观点，用统一的语言和框架统一起来。我尤其赞赏书中对光滑层（sheaves of smooth functions）与一般层之间关系的区分和探讨，这在许多入门教材中常常被一笔带过。但是，这种高度抽象化的处理方式，使得这本书在作为一本参考书时，在查找特定公式或定理时效率不高。它更适合从头到尾系统地研读，而不是作为一本即查即用的工具书。对我而言，最大的挑战在于作者在不同章节间切换时，对读者心智状态的假设变化太大，可能上一章还在讨论非常基础的局部性质，下一章立刻跃升到全局的同调理论，这种跨越需要读者具备极高的专注度和知识的灵活性。

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这本书给我的印象是，它非常专注于建立一个内在一致的理论框架，对于外部的动机或历史背景探讨得非常少。它仿佛是从一个纯粹的代数角度出发，构建起流形上的层论体系，然后自然而然地展示出这些工具的强大。例如，在涉及范畴论和函子理论的部分，作者的论述非常专业和抽象，对于那些不熟悉范畴语言的读者来说，这会是理解该书的最大障碍。我曾试图去寻找一些关于“为什么我们需要层”的直观解答，但这本书似乎认为这些问题在初级阶段已经解决完毕。这种“开门见山”的风格，虽然对高级研究者来说效率很高，但对于仍在摸索中的学习者来说，会产生一种强烈的“被排斥感”。书中的练习题部分设计得相当巧妙，它们往往不是简单的计算题，而是要求对已学概念进行深入的重组和推广，是检验理解深度的绝佳方式，但同时也意味着没有辅助材料的帮助下，解决这些问题会是一场艰苦的战斗。

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这本书的学术品味毋庸置疑，它散发着一种古典数学著作的严谨与深度。它没有采用现代教材中常见的、迎合读者口味的教学策略，比如大量引入辅助性的图示或将复杂概念分解为易于消化的模块。它选择了更直接、更纯粹的数学表达方式。我发现，这本书对于理解流形上微分算子（differential operators）的解空间结构，提供了一种非常强大的代数视角，这对于研究微分方程的几何方面非常有帮助。然而，对于那些主要关注应用数学或理论物理中层论的“工具性”使用，比如作为一种组织数据或处理奇异性的手段，这本书可能显得过于理论化了。它更关注的是“为什么”层是这样构造的，而不是“如何”用它来解决一个具体的物理模型问题。因此，如果读者的主要兴趣在于算法实现或具体的物理建模，他们可能会发现书中提供的连接点不够清晰和直接，需要自己费力地去搭建桥梁。

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坦白说，这本书的阅读体验是相当“硬核”的，它更像是一本严谨的数学教科书，而非一本旨在普及概念的读物。我特别欣赏作者在处理层论的代数基础部分时的那种一丝不苟的态度，几乎每一个推导步骤都清晰可见，很少有跳跃性的结论。然而，这种严谨性也带来了一个副作用：文字的密度极高。我常常需要放慢速度，甚至需要结合其他更基础的教材交叉参考，才能完全消化其中某个定理的证明。书中关于上同调（cohomology）的论述，特别是对Čech上同调和De Rham上同调之间联系的阐述，是这本书的一个亮点，展现了作者深厚的功底。但问题在于，这些深刻的见解往往隐藏在冗长而技术性的证明链条中，需要读者付出极大的耐心去挖掘。我个人期望看到更多关于这些概念在经典物理学或几何分析中实际应用的“故事线”，而不是纯粹的结构搭建。如果你期待的是一本能引导你“爱上”层论的导览，你可能会感到有些失望；它更像是一份详尽的施工蓝图，要求你必须自己动手砌砖。

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这本书上Abel范畴的定义是最简洁的

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