具体描述
《偏微分方程理论与实践》主要内容分为三篇：算子级数法，Lewy定理与Lewy反例研究，偏微分方程理论的应用实践。书中首先提出了求解偏微分方程定解问题的新途径——算子级数法，然后将算子级数法拓广到某些微分一积分方程、无穷阶微分方程、无穷维微分方程的定解问题的求解，并将其应用于求解复变系数的偏微分方程。Lewy定理与Lewy反例的研究内容是《偏微分方程理论与实践》的重要组成部分，书中论证了Lewy方程的可解性，用算子级数法、可逆变换法、广义函数法证明了Lewy方程当自由项为可微函数（不解析）时局部解和整体解都是存在的，并给出了多种形式的精确解表达式，证明了Lewy反例不成立。书中证明Lewy方程的可解性等价于齐次或非齐次复Cauchy-Riemann方程的边值问题的可解性，由此发现Lewy定理的证明有错误，其结论不成立。《偏微分方程理论与实践》最后介绍了作者应用偏微分方程理论解决实际问题的实践。
《偏微分方程理论与实践》的主要读者对象是应用数学专业本科生、研究生和从事偏微分方 程基础理论及应用研究的科研工作者。
现代微分几何导论 本书聚焦于现代微分几何的基础理论，旨在为读者提供一个严谨且直观的入门途径，深入理解空间结构与张量分析的精髓。 --- 第一章 流形的基础概念 本章从拓扑空间的完备性、连通性与紧致性等基本性质入手，为后续引入微分结构奠定坚实的数学基础。我们首先详细探讨拓扑流形的定义，包括局部欧几里得性、可数基等关键要求。随后，深入研究坐标图集（Atlas）的构造及其对流形进行局部描述的作用。特别关注可微结构的引入，定义了光滑映射，并清晰界定了光滑流形的严格数学框架。 对于理解流形的内在几何性质，切空间（Tangent Space）的概念至关重要。本章构建了切空间作为流形上每一点处所有可能方向向量的集合，并证明了它是一个向量空间。我们利用微分（Differential）或推前映射（Pushforward）的概念，研究函数和向量场在坐标变换下的协变性与反变性，为后续的张量分析做好铺垫。最后，引入了向量场（Vector Field）的概念，并讨论了李导数（Lie Derivative）的初步思想，作为衡量一个向量场如何改变其他几何对象（如函数和张量场）的工具。 第二章 张量代数与微分形式 本章致力于构建描述流形上多线性结构的语言——张量。我们将张量视为多重线性映射，严格定义了协变张量（微分形式）和反变张量（向量场），并详细阐述了它们在坐标变换下的具体表示律。着重讨论了张量积、收缩以及张量场的定义及其在流形上的光滑性要求。 随后，我们转向微分形式（Differential Forms）——这是研究积分和拓扑结构的核心工具。本章系统介绍了一般 $k$ 阶微分形式的定义，并着重阐述了楔积（Wedge Product）的构造，它是张量积的重要特化，具有反对称性。至关重要的外微分（Exterior Derivative, $d$）被引入，它自然地推广了梯度、旋度和散度的概念，并明确给出了外微分的公理化定义及其关键性质，特别是著名的$d^2 = 0$的恒等式。本章最后介绍拉的回退（Pullback）操作，用于研究映射如何作用于微分形式上。 第三章 向量场的积分曲线与流 本章将注意力集中于向量场的动力学解释。我们首先利用常微分方程理论，证明了给定光滑流形上的一个向量场 $X$，在局部存在唯一的积分曲线，即满足 $frac{dgamma}{dt} = X(gamma(t))$ 的曲线。 基于此，我们定义了向量场 $X$ 的局部流（Local Flow） $Phi^t: U o M$，这是一个依赖于时间的映射群，描述了粒子沿着向量场方向移动的轨迹。本章详细分析了流的性质，包括其光滑性、生成元（即向量场本身）与流的关系。特别地，我们探讨了李导数与流之间的深刻联系：一个向量场 $X$ 的李导数 $mathcal{L}_X omega$ 正好是流 $Phi^t$ 对微分形式 $omega$ 的微分作用的极限。这为理解流如何作用于几何结构提供了动态视角。 第四章 黎曼几何初步：度量与曲率 本章从局部几何的视角引入黎曼度量（Riemannian Metric） $g$。我们将度量定义为一个光滑的（$0, 2$）阶对称协变张量场。通过度量，我们能够在切空间上定义内积，从而赋予流形上的每一点长度、角度和正交性的概念。 利用度量 $g$，我们定义了黎曼曲率的先导概念：拉普拉斯-德拉姆算子（Laplace-de Rham Operator），它结合了微分、余微分和度量，成为研究流形上函数的调和性质的核心工具。随后，本章严格定义了仿联络（Affine Connection），并指出在黎曼流形上，存在唯一的满足度量兼容性和挠率消失条件的列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection）。 基于此联络，我们定义了协变导数（Covariant Derivative），它是张量场求导的自然推广，并详细推导了测地线方程（Geodesic Equation），将流形的“直线”概念数学化。最后，本章引入了黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor） $R$，该张量完全捕捉了流形在局部偏离平坦空间（欧几里得空间）的程度，并讨论了截面曲率和里奇曲率的物理和几何意义。 第五章 对流形上的积分：德拉姆上同调 本章将几何与代数拓扑的成果结合，介绍德拉姆上同调（de Rham Cohomology）理论。我们将之前引入的闭形式（满足 $domega = 0$）和恰当形式（满足 $eta = d
u$）的概念提升到同构的层面。 本章的核心在于德拉姆上同调群 $H^k_{dR}(M)$ 的构造，它是闭形式模恰当形式的商空间。我们通过证明德拉姆定理（即 $H^k_{dR}(M)$ 与拓扑上定义的奇异上同调 $H^k(M; mathbb{R})$ 是同构的）来展示其强大的应用潜力。德拉姆上同调提供了一种利用微分方程（$d$ 算子）的解集来计算流形拓扑不变量（如贝蒂数）的纯微分几何方法。 最后，我们讨论了霍奇理论的初步思想，即在完备黎曼流形上，每一个闭形式都存在一个唯一的调和形式（既是闭的又是恰当的），这使得上同调群中的元素具有具体的几何代表。 --- 本书特色： 本书采用从局部到全局的渐进式教学方法，强调概念的几何直觉，同时保持推导的严格性。通过大量详细的例子和练习，帮助读者熟练掌握张量分析和微分形式的计算技巧，为后续深入研究广义相对论、拓扑场论或更高级的微分几何分支（如辛几何、卡拉比-丘流形）打下坚实的基础。本书假定读者具备坚实的实分析和多变量微积分基础，并对线性代数有深刻理解。
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