具体描述
Set theory is concerned with the foundation of mathematics. In the original formulations of set theory, there were paradoxes contained in the idea of the "set of all sets". Current standard theory (Zermelo-Fraenkel) avoids these paradoxes by restricting the way sets may be formed by other sets, specifically to disallow the possibility of forming the set of all sets. In the 1930s, Quine proposed a different form of set theory in which the set of all sets - the universal set - is allowed, but other restrictions are placed on these axioms. Since then, the steady interest expressed in these non-standard set theories has been boosted by their relevance to computer science. The second edition still concentrates largely on Quine's New Foundations, reflecting the author's belief that this provides the richest and most mysterious of the various systems dealing with set theories with a universal set. Also included is an expanded and completely revised account of the set theories of Church-Oswald and Mitchell, with descriptions of permutation models and extensions that preserve power sets. Dr Foster here presents the reader with a useful and readable introduction for those interested in this topic, and a reference work for those already involved in this area.
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读后感
用户评价
读完这本《集合论与普遍集》，我最大的感受是其叙事的跳跃性和对上下文的疏忽。作者似乎习惯于在不同的数学分支间进行随意的游走，一会儿讨论集合的基数，一会儿又突然转向了逻辑学的某些边缘议题，但无论在哪里，都未能给出足够的篇幅进行深入挖掘。例如，书中对“幂集”的讨论，仅仅停留在有限集合的直观理解上，对于康托尔对无限集合的精妙论证，几乎是一笔带过，这对于一本声称涵盖集合论的书来说，是致命的缺陷。更让我不解的是，书中对“函数”的定义，似乎也受到了“普遍集”概念的牵连，变得不再是我们通常理解的那种明确的二元关系。这种模糊性不仅降低了数学表达的效率，更严重阻碍了读者对更高级数学结构，比如拓扑学或范畴论，建立必要的直观和技术基础。整个阅读过程就像是在一个光线昏暗、家具摆放毫无章法的房间里摸索，你偶尔能摸到一些熟悉的物件，但始终找不到出口，也看不清房间的全貌。如果目标是培养严谨的数学思维，这本书提供的训练量是远远不够的，它更像是一篇关于集合概念的早期随笔，而非一本结构严谨的教科书。
评分真正让我感到失望的是本书对现代数学影响力的缺乏连接。既然书名为《集合论》，它理应是通往几乎所有现代数学分支（分析、代数、拓扑）的基石。然而，这本书所构建的这套基于“普遍集”的体系，似乎与当代数学界所依赖的ZFC或NBG等公理化框架完全脱节。书中几乎没有提到这些标准系统，更不用说讨论选择公理、连续统假设这类在数理逻辑中占据核心地位的议题。当我试图将书中推导出的某个结论与我已知的任何标准教科书中的结果进行交叉验证时，我发现几乎所有的链接都断裂了。这套系统似乎是封闭的、自洽的，但也因此是孤立的、无用的。它没有提供任何桥梁，让我能够理解例如勒贝格测度或希尔伯特空间这些现代分析学中对集合论的深刻依赖。这本书最终给我的感觉是，它像是一个独立发展的、未被主流科学界接纳的数学“方言”，它可能在某个小圈子里有其历史价值，但作为一本旨在教授集合论的读物，它完全未能完成连接读者与主流数学世界的任务。它停留在了一个自我满足的、晦涩的理论泥潭中，让人望而却步。
评分这本书的叙事风格极其具有个人色彩，仿佛作者正在对着一个特定的听众——也许是某位二十世纪初的同行——进行一场私人讲座，而不是面向更广泛的学术社群。它充斥着大量的历史典故和对特定数学家的致敬，但这些内容往往偏离了核心的理论构建。例如，书中花了将近四分之一的篇幅去讨论十九世纪末某次学术会议上的争论，其对这场争论的细致描绘，远超出了对集合构造性原则的详细阐述。这种做法使得本书的重点极度偏斜，它更像是一本关于集合论“历史轶事”的汇编，而不是一本系统的“理论指南”。读者很难从中提炼出可用于解决实际问题的工具或可应用于后续学习的通用框架。每一次我以为即将进入核心证明时，作者都会突然转向一个哲学分支，开始探讨“对象存在性”的本质，虽然这些思考本身或许有趣，但在一个集合论的语境下，它显得喧宾夺主，稀释了读者对逻辑严谨性的追求。对于需要快速掌握现代集合论基础的理工科学生而言，这本书简直是时间的黑洞，充满了无用的“背景知识”和无关紧要的旁枝末节。
评分这本书，初看书名《集合论与普遍集》，我本以为会是一本深入探讨经典策梅洛集合论，或者至少是公理化集合论（如ZFC）的严谨教材。然而，当我翻开第一页，首先映入眼帘的却是对“普遍集”这个概念的某种近乎哲学的、甚至是有点模糊的处理。它似乎试图将集合论建立在一个比标准公理化系统更基础、更直观的层面。这种处理方式在早期数学哲学思潮中或许有其地位，但对于一个期望清晰、无歧义的数学框架的读者来说，这实在是一种令人困惑的开端。书中对罗素悖论的处理也显得草率，没有采用现代集合论中公认的限制基数的策略，反而倾向于接受一个包含了所有“可定义对象”的整体，这在数学上立刻亮起了红灯。整本书的论证过程显得松散，很多关键的定义和证明都依赖于“显然如此”或者“直觉上如此”，缺乏数学推导应有的精确性和不可辩驳性。对于一个希望通过这本书来巩固或学习扎实集合论基础的人来说，这本书提供的更多是历史的碎片和哲学的猜想，而非现代数学工具箱中的利器。我不得不承认，这种对基础的松动处理，使得后续所有基于这些基础的“定理”都变得如同空中楼阁，缺乏可靠的地基。
评分这本书的排版和符号系统简直是一场灾难。首先，作者似乎对标准数学符号的使用持有某种程度的反叛精神。很多我们习以为常的符号，如$in$、$subset$、$cup$、$cap$，在不同的章节中有着不一致甚至相互矛盾的含义，这迫使我必须时刻翻回前言查找作者对特定上下文下的特殊解释。更令人抓狂的是，书中插入了大量手绘风格的图示，这些图示本意或许是为了辅助理解，但在缺乏清晰图例和对应描述的情况下，它们看起来更像是随意的涂鸦，不仅没有提供任何额外的洞察力，反而干扰了对文本的注意力。例如，在尝试解释某些关于集合的并集运算时，图示中的线条交叠混乱，让人根本无法判断哪个区域代表了哪个集合的交集或补集。对于希望利用视觉辅助来理解抽象概念的学习者而言，这简直是一种折磨。如果一本数学书籍的物理呈现都无法做到清晰和一致，那么它所承载的知识的可靠性也必然会大打折扣。我不得不承认，我花费了大量时间试图解读作者的符号意图，而非理解核心的数学思想。
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