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出版者:CRC Press

作者:Alexandra I. Kostrikin

出品人:

页数:320

译者:M. E. Alferieff

出版时间:1997-10-1

价格:GBP 51.99

装帧:Paperback

isbn号码:9789056990497

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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好的，这是一本涵盖了更广泛数学领域的图书的简介，重点放在了纯粹数学的经典领域，避开了线性代数与几何的特定内容。 数学之光：从数论到拓扑的经典之旅 本书导言 本书旨在为读者提供一个全面而深入的探索现代数学核心领域的旅程。我们避开了特定分支（如线性代数与解析几何）的深入细节，而是将焦点置于那些构成了数学学科基础的、跨越数论、代数结构、分析学以及拓扑学的基本概念与核心理论上。我们的目标是描绘出数学家思考世界的方式，揭示不同数学分支之间微妙而深刻的联系，并展示这些抽象结构如何精确地描述和解释我们周围的现象。 本书的叙事结构围绕着几个关键的数学支柱展开，旨在建立一个坚实的知识框架，使初学者能够逐步深入，而有经验的读者也能在更宏观的视角下重新审视这些概念。我们力求以严谨的逻辑和清晰的论证，引导读者穿越那些看似壁垒分明的数学分支，抵达那些统一的数学真理。 第一部分：数论的奥秘与整数的结构 数论是数学中最古老的分支之一，它研究整数及其性质。本部分将带领读者进入一个由素数、同余关系和丢番图方程主宰的迷人世界。 1.1 整数的构建与算术基本定理 我们从皮亚诺公理（或集合论基础上的自然数构建）开始，建立起严格的整数系统。核心内容将围绕唯一素因数分解定理展开，这是理解所有整数性质的基石。我们将探讨如何使用欧几里德算法高效地计算最大公约数和最小公倍数，以及扩展欧几里德算法在求解线性丢番图方程中的作用。 1.2 同余理论与模运算 费马、欧拉和高斯奠定了现代数论的基础，而同余关系是其中的核心工具。本章详细阐述了模运算的代数结构，包括环 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ 的性质。我们将深入探讨欧拉定理和中国剩余定理，展示它们在密码学（如RSA算法的理论基础）和周期性问题中的实际应用。特别关注原根的存在性条件及其在离散对数问题中的意义。 1.3 素数的分布与未解之谜 素数是数论的灵魂。我们将审视历史上对素数分布的探索，从素数定理的渐近估计到更精确的黎曼猜想的背景介绍（不涉及复杂分析的深入证明，而是侧重其对素数分布的深刻影响）。我们将讨论梅尔滕斯猜想、孪生素数猜想等经典难题，以激发读者对未解问题的兴趣。 第二部分：抽象代数的根基——群、环与域 现代数学的许多分支都建立在抽象代数的坚实基础上。本部分旨在系统地介绍代数结构中最基本的三个概念：群、环和域，重点展示它们作为对称性和代数运算的抽象模型的强大能力。 2.1 群论：对称性的语言 群是研究对称性的数学语言。我们将从二面体群 $D_n$ 和对称群 $S_n$ 的具体实例入手，逐步抽象到群的正式定义。重点内容包括子群、陪集、拉格朗日定理及其在计算中的重要性。我们还将详细分析正规子群的概念，并借助第一同构定理来理解群结构之间的映射关系。对于无限群，我们将简要介绍自由群和模群的初步概念。 2.2 环论：代数运算的泛化 环是对整数运算规则（加法和乘法）的推广。我们探讨具有单位元的交换环和非交换环的性质。核心概念包括理想（Ideals），它是环中推广了“可除性”概念的子结构。本章将详细分析主理想域（PID）和唯一分解域（UFD）的定义及其相互关系，并介绍多项式环上的运算。 2.3 域论与伽罗瓦理论的初步接触 域是允许四则运算的代数结构，它是解决方程的自然背景。我们将研究有限域（伽罗瓦域）的构造及其在编码理论中的应用。我们还将触及伽罗瓦理论的引言，解释它如何通过研究多项式的自同构群来解决“哪些多项式可以用根式求解”这一经典问题，从而建立起群论与域论之间的深刻桥梁。 第三部分：分析学的核心——极限、连续性与度量空间 本书的第三部分将转向对变化和无穷的精确描述——分析学。我们关注的是比微积分更严格的基础，即如何在一般度量空间而非仅仅实数线上建立分析概念。 3.1 实数系的构造与拓扑基础 我们不从微积分的定义开始，而是从实数集的完备性（如戴德金截或柯西序列）入手，建立起严格的实数系统。随后，我们将介绍拓扑空间的基础概念：开集、闭集、邻域和紧致性。紧致性的定义将以一种比区间紧致性更具一般性的方式呈现。 3.2 序列、级数与收敛性 本章将分析序列和级数在一般度量空间中的收敛行为。我们侧重于一致收敛的概念，它区分了逐点收敛和函数序列的“良好”收敛性。我们将探讨幂级数的收敛半径以及它如何引出函数分析中的关键对象——巴拿赫空间（作为完备赋范向量空间）。 3.3 连续性、完备性与不动点 连续性在度量空间中的定义是直观且强大的。我们将研究连续函数的性质，特别是紧致集上的连续映射保持紧致性这一重要定理。最后，我们将介绍巴拿赫不动点定理，该定理是分析学中解决许多微分方程和积分方程存在性问题的强大工具，它依赖于完备空间和收缩映射的构造。 第四部分：空间的本质——拓扑学概览 本书的最后部分将超越度量和坐标的概念，探讨空间的内在结构——拓扑学。拓扑学关注的是那些在连续形变（拉伸、弯曲，但不撕裂或粘合）下保持不变的性质。 4.1 拓扑空间的构造与基本不变量 我们将重复并推广第二部分中讨论的拓扑基础，引入连通性的概念，并讨论其对函数的影响。我们着重研究可数性公理以及分离公理（如T2/Hausdorff空间），这些是决定空间结构精细程度的关键属性。 4.2 基本群与同伦 基本群（Fundamental Group）是拓扑学中第一个强大的代数不变量。它通过研究空间中“环路”的等价性（同伦）来区分空间。我们将使用圆周 $S^1$ 上的路径提升引理来计算其基本群，并以此区分圆盘与圆环。我们将探讨基本群如何应用于证明一些直观上正确的几何事实，例如布劳威尔不动点定理的拓扑推论。 4.3 流形的概念与欧拉示性数 我们将介绍流形（Manifolds）的概念，即局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间。虽然不深入微分流形，但我们会聚焦于二维流形（如球面、环面、射影平面）的分类问题。最后，我们将介绍欧拉示性数作为一个拓扑不变量，展示它如何通过图论和曲面的分解以一种惊人的方式连接了离散结构和连续几何。 结论 本书的结构旨在展示，从最基本的整数，到复杂的代数结构，再到抽象的拓扑空间，数学知识是如何层层递进、互相支撑的。我们希望读者在阅读完这些内容后，能够欣赏到数学思维的广阔性与统一性，理解不同领域间的思想是如何穿越边界，共同描绘出严谨而美丽的知识图景。

评分☆☆☆☆☆

这本书在欧洲非常有名，很多著名大学，如莫大、苏黎世高工、玻恩大学等都在用这本书教学，两个作者都是俄罗斯科学院院士，全部都是世界一流的大数学家。这本书是一本非常现代的书，里面大量使用了模论和范畴论的语言，还讲到了李代数和Clifford代数、多维仿射和射影几何，同时...

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作为一名刚刚进入大学校园的数学系新生，我对即将开始的大学数学学习既充满期待又有些忐忑。《Linear Algebra and Geometry》这本书，作为我接触的第一本专业教材，给我带来了很大的信心。它的语言非常平实易懂，即使是对于一些初学者来说比较难以理解的抽象概念，作者也用了很多生动的比喻和形象的例子来辅助说明。我特别喜欢书中关于“向量”这个概念的讲解，它不仅仅把它定义为一个有方向和大小的量，更把它看作是空间中的一个“移动”，或者是对空间的“作用”。这种多角度的理解方式，让我能够从不同的层面去把握这个核心概念。此外，书中的习题设计也非常有针对性，既有巩固基础的计算题，也有启发思维的应用题，能够帮助我们逐步巩固所学知识，并发现其中的联系。我相信，通过学习这本书，我能够为我今后的数学学习打下坚实的基础，并激发我对数学更深层次的探索欲望。

评分☆☆☆☆☆

作为一个对艺术和设计领域有所涉猎的人，我对数学中的几何概念有着特别的偏爱。我认为几何学不仅仅是关于形状和空间的测量，更是关于空间结构和对称性的美学探索。《Linear Algebra and Geometry》这本书，在我看来，就巧妙地将数学的严谨性与几何的直观美感融为一体。书中对欧几里得空间中点、线、面的表示，以及它们之间关系的代数描述，让我对几何概念有了全新的认识。特别是关于向量的几何意义，以及如何通过向量运算来描述几何变换，例如投影、反射等，都让我感到非常着迷。书中的一些章节，似乎还涉及到了射影几何的一些基础概念，这对于理解透视原理和艺术中的空间表现有着重要的意义。虽然我可能不是一个专业的数学家，但这本书以一种非常引人入胜的方式，向我展示了数学在理解和创造美中的作用。它不仅仅是一本数学书，更像是一本关于空间、结构与和谐的艺术指南，让我对数学的认识上升到了一个新的高度。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学充满热情的业余爱好者，虽然没有接受过专业的数学训练，但我一直渴望能够系统地学习一些经典的数学理论。线性代数和几何，这两门学科的名字听起来就充满了力量和美感，它们在科学研究和工程技术领域有着广泛的应用，也是理解许多高级数学概念的基础。在我寻找学习资料的过程中，《Linear Algebra and Geometry》这本书引起了我的注意。它的内容似乎更加注重概念的形成过程和它们之间的内在联系，而不是简单地罗列公式和定理。我特别喜欢书中对于矩阵作为线性变换表示的介绍，它将代数运算与几何变换紧密地联系在一起，让我看到了数学的统一性和和谐。此外，书中对一些经典几何问题的处理方式，例如如何用向量和矩阵来解决空间直线、平面之间的关系，也让我耳目一新。虽然我可能需要花费更多的时间来消化其中的一些概念，但我相信，这本书能够为我提供一个清晰的学习路径，帮助我逐步构建起对线性代数和几何的深刻理解，让我能够更自信地探索更广阔的数学世界。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简洁而大气，纯白的背景上，一行沉稳的黑色字体，没有过多的装饰，就如同作者在数学领域中追求的那份纯粹与严谨。我翻开书页，一股淡淡的油墨香扑鼻而来，这是一种久违的，属于纸质书籍的独特味道，让我感到一种亲切和期待。我是一名正在攻读数学专业硕士的学生，线性代数和几何是我的主修课程，这两门学科在我看来是数学体系中最为基础也最为精妙的两块基石，它们之间的联系就像精密的齿轮一样环环相扣，缺一不可。我一直在寻找一本能够真正让我深入理解这两门学科内在逻辑的书籍，而《Linear Algebra and Geometry》的出现，似乎正是我一直在苦苦追寻的答案。从目录来看，它涵盖了线性代数的核心概念，如向量空间、线性变换、矩阵运算、特征值与特征向量等等，同时也深入探讨了欧几里得几何、射影几何等经典几何内容。更让我惊喜的是，作者在章节安排上似乎将这两者巧妙地结合起来，这预示着它可能不仅仅是两本独立的著作的简单堆叠，而是对它们之间深刻联系的一次系统性梳理。这种循序渐进，又在关键处点拨的方法，让我对这本书的学习之旅充满了信心。我迫不及待地想要开始阅读，去探索其中隐藏的智慧，去感受数学的魅力。

评分☆☆☆☆☆

我是一名物理学专业的博士生，在我的研究中，线性代数和几何的应用无处不在。从量子力学的波函数表示，到广义相对论的时空几何，再到各种物理系统的状态描述，都离不开线性代数和几何的框架。《Linear Algebra and Geometry》这本书，在我看来，提供了一个非常扎实且深入的理论基础。书中对于向量空间的结构、线性变换的性质、张量的运算等方面的阐述，都非常契合物理学中的许多核心概念。我尤其欣赏作者在讲解特征值问题时，将其与物理学中的本征值和本征态联系起来，这使得我在理解抽象数学概念的同时，也能立刻联想到它们在物理世界中的具体体现。这本书的严谨性和全面性，能够帮助我更深入地理解物理现象背后的数学本质，并为我解决更复杂的物理问题提供强大的工具。虽然我已经对这些领域有所了解，但这本书仍然能为我带来新的启发和更深刻的认识。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学历史和哲学着迷的业余研究者。我一直认为，理解一门学科的真正关键在于理解它的发展脉络和思想演变。《Linear Algebra and Geometry》这本书，在我看来，在这方面做得相当出色。虽然它主要是一本介绍数学理论的书籍，但在字里行间，我能感受到作者对于这些概念是如何被一步步发展起来的深刻理解。从古代几何学家对空间的直观探索，到后来代数方法的引入，再到现代线性代数公理化的建立，这本书似乎贯穿了这些重要的历史节点。它不仅仅是传授知识，更是在讲述数学思想的进化史。我喜欢书中对于某些定理的证明，其背后所蕴含的深刻思想和巧妙构思，都让我对数学家的智慧感到由衷的钦佩。通过这本书，我不仅学习了线性代数和几何的知识，更对数学这门学科本身产生了更深层次的敬畏和热爱。它让我看到了数学的生命力和它在人类文明发展中的重要作用。

评分☆☆☆☆☆

我是一名软件工程师，在工作中经常需要处理数据和算法，而线性代数和几何的知识是这些工作的基石。我一直在寻找一本能够帮助我将理论知识与实际应用联系起来的书籍。《Linear Algebra and Geometry》这本书，在我看来，恰恰能够满足我的需求。它不仅详细讲解了矩阵运算、向量空间等核心概念，还通过大量的例子，展示了这些概念在计算机图形学、机器学习、数据分析等领域的应用。例如，书中对于齐次坐标和变换矩阵的讲解，对于理解三维图形的渲染过程至关重要；而对于特征值和特征向量的分析，则在主成分分析等数据降维技术中有广泛应用。我喜欢这本书的实用性，它没有过于沉溺于理论的抽象，而是始终关注于概念的实际价值。通过学习这本书，我不仅能够加深对线性代数和几何的理解，更能将这些知识有效地应用到我的日常工作中，解决实际问题，提升工作效率。这本书对于我这样的技术从业者来说，无疑是一本非常有价值的学习工具。

评分☆☆☆☆☆

作为一名有着多年教学经验的数学教师，我深知一本好的教材对于学生理解抽象概念的重要性。《Linear Algebra and Geometry》这本书，在我初次翻阅时，就给我留下了深刻的印象。它的语言表述清晰而精确，避免了不必要的学术术语堆砌，而是力求用最简洁、最直观的方式将复杂的概念传达给读者。我尤其欣赏作者在讲解向量空间时，从几何直观出发，通过对点的坐标表示、向量的加法和标量乘法等基本操作的深入剖析，逐步引出向量空间的公理化定义。这种从具体到抽象的过渡，对于初学者来说是至关重要的，能够帮助他们建立起扎实的直观理解，从而更好地接受抽象化的数学语言。同时，书中对于线性变换的几何解释也做得相当出色，通过对旋转、伸缩、剪切等基本变换的图像化展示，让读者能够清晰地看到这些代数运算在几何空间中的具体表现。我已经在脑海中构思了如何将这本书中的例题和习题融入到我的课堂教学中，我相信它能极大地提升我学生的学习兴趣和理解深度。这本书的质量，无疑是经得起考验的。

评分☆☆☆☆☆

在我眼中，数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式，一种观察和理解世界的方式。《Linear Algebra and Geometry》这本书，正是这种思维方式的绝佳体现。它不仅仅是关于公式和计算，更是关于空间的结构、变换的规律以及它们之间的内在联系。我喜欢作者在介绍矩阵乘法时，将其解释为“组合变换”，这让我看到了不同线性变换如何通过矩阵乘法来实现叠加和转化。同样，书中对于“线性无关”的解释，也让我理解了构成空间的基础单元如何相互独立，以及如何通过它们来描述整个空间。这本书的魅力在于，它能够帮助读者从一个更宏观、更抽象的视角去理解数学，去发现隐藏在看似杂乱无章的现象背后的规律和秩序。它不仅仅教我如何计算，更教我如何思考，如何用数学的语言去分析和解决问题。这本书的阅读体验，就像是在进行一场智力上的探险，每一次的理解都带来一种豁然开朗的喜悦。

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这本书的排版设计给我留下了非常好的第一印象。简洁大方的字体，清晰的排版布局，以及适度的留白，都使得阅读过程非常舒适。我是一名多年从事数学研究的学者，对我而言，一本好的数学书籍不仅仅是内容的丰富，更是呈现方式的专业与严谨。《Linear Algebra and Geometry》在这一点上做得非常出色。书中对于定理的证明，逻辑严密，步步为营，每一个推导过程都清晰可见，没有跳跃性的思维，这对于任何希望深入理解数学证明过程的读者来说，都是极大的福音。我尤其欣赏作者在引入一些高级概念时，总是会回顾和连接之前学过的基础知识，这种“温故而知新”的处理方式，能够帮助读者巩固已有的认知，并在此基础上进行新的学习。书中的插图和图表也绘制得非常精美，它们不仅仅是装饰，更是辅助理解的重要工具，将抽象的数学概念可视化，让读者能够更直观地把握其内涵。我对这本书的内容深度和广度都非常满意，它能够满足我在学术研究中对线性代数和几何的深入探究的需求。

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