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出版者:Springer

作者:Enrico Arbarello

出品人:

页数:404

译者:

出版时间:2010-12-1

价格:USD 119.00

装帧:Paperback

isbn号码:9781441928252

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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现代代数几何中的经典主题：拓扑、奇点与模空间 本书旨在深入探讨现代代数几何中的几个核心且相互关联的领域，这些领域不仅是理解代数曲线几何性质的基础，也是当前研究热点的前沿阵地。我们将聚焦于那些不直接构成“代数曲线的几何”这一具体主题，而是提供其理论框架和分析工具的数学分支。 第一部分：复流形与代数簇的拓扑结构 本部分将首先建立起代数几何与微分拓扑之间的桥梁。虽然代数曲线的研究往往着眼于其零点集合的代数性质，但理解其拓扑形貌，尤其是在复数域上的情形，是不可或缺的。 我们将从复流形的基本概念入手，详细阐述光滑复流形上的陈氏示性类 (Chern Classes) 及其与拓扑不变量（如欧拉示性数）的关系。这些示性类为研究高维代数簇的拓扑性质提供了强大的代数工具。随后，我们将深入探讨霍奇理论 (Hodge Theory)。对于光滑射影簇 $X$，霍奇分解 $mathcal{H}^k(X_{mathbb{C}}, mathbb{C}) cong igoplus_{p+q=k} H^{p,q}(X)$ 揭示了代数结构如何影响其拓扑上复（或柯斯拉）结构。我们将详细分析霍奇数 $h^{p,q}$ 的性质，并探讨黎曼-希尔伯特对应在某些特定情形下的表现，尽管我们不直接讨论曲线的皮卡尔群，但霍奇理论为理解其上向量丛的全局截面提供了基础。 紧接着，我们将转向基本群与覆盖空间。代数簇的基本群 $pi_1(X)$ 编码了空间中“洞”的信息。对于光滑曲线，其基本群是阿贝尔群（若考虑黎曼曲面），但对于更一般的代数簇，非阿贝尔的基本群带来了深刻的结构限制。我们将介绍单连通性的概念及其在代数簇分类中的作用，特别是与韦伊猜想（虽然主要针对有限域，但其拓扑根源值得探讨）相关的拓扑视角。 第二部分：奇点理论与局部结构分析 代数几何的核心挑战之一在于处理奇点。奇点理论是理解代数对象“退化”行为的关键。本部分将完全避开对特定曲线族（如辛曲线、平面三次曲线）的直接几何研究，而是专注于奇点的分类和局部解析性质。 我们将从局部环论的角度出发，定义和分析规范奇点 (Normal Singularities)。重点将放在正规化 (Normalization) 过程，以及如何使用局部完备交集环 (Local Complete Intersection Rings) 来区分不同类型的奇点。 深入探讨消解 (Resolution of Singularities) 的概念，特别是降维消解（如$ ext{Blow-up}$）。我们将详细研究理想层 (Ideal Sheaves) 在奇点邻域的行为，以及如何利用规范环 (Canonical Rings) 的结构来理解奇点的复杂性。关键在于分析极小模型纲领 (Minimal Model Program, MMP) 中所使用的核心工具——商奇点 (Quotient Singularities) 的性质。MMP 的目标是寻找一个具有“最佳”奇点性质的代表簇，我们在此仅分析其基础：如何使用对数典范除数 (Log Canonical Divisors) 来衡量奇点的“坏”程度，而不需要具体计算曲线的几何性质。 此外，我们将介绍德利涅-芒福德 (Deligne-Mumford) 奇点的理论框架，着重于它们作为模空间上的稳定点的重要性，而不是它们在特定几何构型中的具体表现。 第三部分：模空间理论的范畴观 模空间是代数几何的“普适”研究对象，它将几何对象（如曲线、向量丛）的集合转化为一个代数空间本身。本部分将着重于模空间理论的范畴论基础和构造方法，而非特定曲线模空间的具体几何结构。 首先，我们将建立模空间的一般理论框架，即如何使用函子表示 (Functor Representability) 来构造模空间。重点将放在概形理论（Scheme Theory）的视角，特别是阿贝尔簇 (Abelian Varieties) 的模空间（如 $mathcal{A}_g$ 的初步探讨），强调其作为模函数的模性质 (Modularity)。 我们将深入分析模空间的完备性 (Compactness) 问题。这是连接拓扑和代数结构的关键点。我们将详细介绍Gromov-Witten 理论所依赖的稳定态 (Stable Maps) 概念，但这仅作为讨论模空间完备化的动机，而非研究 GW 积分本身。我们将分析Artin 映象，并使用模空间上的层的性质来定义稳定态，这使得模空间 $overline{mathcal{M}}_{g,n}$ 成为一个有限型 Artin 概形。 最后，我们将讨论模空间的局部结构，特别是如何使用切丛 (Tangent Bundles) 和规范环来分析模空间的奇点结构。我们不会计算特定模空间的维数或给出其具体的图结构，而是专注于模空间的模论性质：如何使用 Schlessinger 判据来判定一个函子是否是可表示的（即是否产生一个代数空间）。 本书通过这种方式，构建了一个坚实的代数-拓扑-局部分析的理论支架，为后续更深入地理解任何特定“代数曲线的几何”问题提供了必要的、更普适的数学工具和背景知识。

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我必须说，这本书的排版质量无可挑剔，字体清晰，数学符号的渲染效果极佳，这在处理复杂的张量或微分形式时显得尤为重要。然而，内容上，它似乎将重点完全放在了“代数”这一维度上，而“几何”的直观性被大大削弱了。举个例子，当作者讨论到椭圆曲线上的点群结构时，大量的篇幅都用来处理加法法则的代数证明，以及与域扩张相关的理论，我几乎找不到关于这些点如何在复平面上形成那种优雅的环形结构描述。这本书的视角是自下而上的，即从代数公理出发构建几何对象，而不是像某些教材那样，先展示一个迷人的几何现象，然后逐步用代数工具去解析它。这种方法论导致了书中充斥着大量的构造性证明，它们很有力，但缺乏那种“啊哈！”的顿悟感。对于那些希望通过几何洞察来驱动代数学习的人来说，这本书可能会让人感觉像是在攀登一座由纯粹逻辑搭建起来的冰山，每一步都必须精确无误，但过程本身可能略显单调。

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这本书的深度毋庸置疑，它绝对配得上“经典”二字，但其适用范围极其狭窄。我发现自己不得不频繁地查阅其他关于代数拓扑和交换代数的参考书，因为本书对背景知识的假定实在太高了。它几乎不花任何笔墨去回顾那些基础的概念，而是直接假设读者已经对诸如Sheaf理论或者Divisor Class Group有着深入的理解。这使得它成为一个很好的参考工具，可以用来查阅特定定理的严谨证明，或者探究某个分支的最新发展脉络，但作为一本自学教材，它简直是灾难性的。我尝试理解其中关于模空间紧化的一节，结果发现，缺乏对某些特定构造的直观解释，我仅仅是在机械地记忆这些复杂的定义和定理，而无法真正领会其背后的数学美感。这本书的语言风格是高度专业化的行话，对于没有长期浸淫于代数几何领域的读者来说，阅读的门槛高得令人望而却步。

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这本书的封面设计倒是挺有意思的，那种经典的几何图形和抽象的代数符号交织在一起，营造出一种既古典又现代的视觉冲击力。不过，我得承认，当我真正翻开这本书时，才发现这“几何”和“代数”的结合比我想象的要深奥得多。内容上，它似乎更倾向于数学家和研究人员的视角，而不是初学者或者仅仅对几何有泛泛兴趣的读者。书中对曲线的精确描述，从射影空间中的嵌入到更抽象的范畴论应用，都要求读者具备扎实的代数基础。例如，在讨论平滑性或者奇点的时候，作者会非常自然地跳跃到一些高深的代数概念，比如局部环或者莫dulai空间，这对我是个不小的挑战。我特别留意了关于黎曼-罗赫定理的章节，那部分讲解得非常详尽，公式推导一步到位，严谨得让人透不过气来，但对于理解其内在的几何直觉帮助有限，更多的是纯粹的逻辑推演。总而言之，这本书更像是一本深入的研究手册，而不是一本入门导论，它的价值在于其深度和严谨性，但对于需要循序渐进的读者来说，可能需要配合其他辅助材料才能更好地消化。

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这本书的结构安排体现出一种非常宏大的蓝图，它试图将从基础的平面曲线到高维射影空间的几何性质，用一套统一的代数语言来驾驭。从这个意义上说，它的系统性是出类拔萃的。然而，这种宏大叙事有时牺牲了个别细节的清晰度。某些关键的例子，那些本可以用来锚定抽象概念的简单几何对象，在本厚重的篇幅中被一笔带过，或者仅仅作为引向更复杂理论的跳板。例如，在讲解平面三次曲线的性质时，我希望能够看到更丰富的例子和图形，来直观地理解复点和实点之间的差异，以及其群结构的具体表现。但书中更多的是关于这些曲线的模空间的参数化描述，这些描述虽然在理论上是普适的，但在直观上却是晦涩的。总的来说，这本书是一份极度详尽、逻辑严密的理论宝库，但它更像是为那些已经站在山顶的数学家准备的地图集，而不是为那些正在登山的探险者准备的向导手册。它提供了最精确的坐标，但没有告诉你哪条小路风景更美。

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这本书的行文风格简直就像是老派的德国数学教科书，逻辑链条紧密得令人敬畏，但情感表达几乎为零。章节之间的衔接非常流畅，每一个定理的提出都仿佛是水到渠成的必然结果，很少有那种“让我们直观地想象一下”的软性引导。这种精确性无疑是专业人士的最爱，因为它最大程度地减少了歧义。然而，对于我这种需要一点“人情味”来辅助理解的读者来说，阅读体验就显得有些枯燥了。我花了好大力气才把关于亚纯函数的那些章节啃下来，那些关于除数和线性系统的讨论，虽然在代数上无懈可击，但缺乏图形化的佐证，使得我在脑海中构建图像时总是感到力不从心。我期待能看到更多的插图，哪怕是示意图也好，来帮助我们这些非代数几何专业的读者建立起对这些抽象结构的感性认识。它更像是一份详尽的数学证明集锦，而不是一次启发性的数学旅程。读完一章后，我能确定自己掌握了所有符号的含义和推导过程，但对“为什么”会产生这样的结构，我的感性认知仍然是模糊的。

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