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页数:258

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出版时间:2011-11

价格:68.00元

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isbn号码:9787030326843

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本书系统地阐述了分数阶偏微分方程（Fractional Partial Differential Equations, FPDEs）的理论基础、分析方法及其各类数值解技术。 第一部分：分数阶微积分与分数阶偏微分方程理论基础 本部分将从分数阶微积分的概念入手，循序渐进地介绍其基本定义、性质和重要定理，为理解分数阶偏微分方程打下坚实基础。 分数阶微积分的引入： 介绍黎曼-刘维尔（Riemann-Liouville）分数阶导数、Caputo分数阶导数等几种主要的定义，并探讨它们之间的联系与区别。详细阐述分数阶积分的定义及其在不同领域的应用潜力。 分数阶积分与导数的性质： 深入探讨分数阶微积分的线性性、积分和微分法则、以及分数阶算子与经典整数阶算子之间的关系。介绍一些重要的算子恒等式和性质，例如半群性质、链式法则的推广等。 分数阶偏微分方程的分类与建模： 详细介绍各类分数阶偏微分方程，包括具有分数阶时间导数（如Caputo-Fabrizio导数、Atangana-Baleanu导数）的方程、具有分数阶空间导数（如Riesz分数阶导数、左/右Caputo导数）的方程，以及同时包含分数阶时间和空间导数的混合型方程。重点阐述这些方程在物理、工程、生物、金融等领域中的具体建模应用，例如分数阶扩散方程、分数阶波动方程、分数阶粘弹性模型等。 分数阶偏微分方程的存在性与唯一性： 介绍分析方法，如不动点定理、佐藤理论、Green函数方法等，用于证明分数阶偏微分方程解的存在性和唯一性。讨论不同边界条件和初值条件下解的性质。 分数阶偏微分方程的解的性质： 分析分数阶偏微分方程解的平滑性、衰减性质、以及它们与经典整数阶方程解的异同。 第二部分：分数阶偏微分方程的数值解法 本部分将聚焦于分数阶偏微分方程的数值求解技术，详细介绍当前主流的数值方法及其优缺点。 有限差分方法（Finite Difference Methods, FDM）： 整数阶差分法的回顾与推广： 从经典的整数阶偏微分方程有限差分方法出发，介绍如何将其推广到分数阶导数的离散化。 分数阶导数的差分近似： 详细推导并分析黎曼-Liouville、Caputo、Riesz等分数阶导数在不同阶数的有限差分近似格式。重点介绍Grünwald-Letnikov公式、L1/L2格式、以及基于其的显式、隐式和Crank-Nicolson型差分格式。 稳定性与收敛性分析： 对建立的有限差分格式进行严格的稳定性分析（如Von Neumann稳定性分析）和收敛性分析（如Lipschitz条件、能量方法），并给出误差估计。 算法实现与优化： 讨论在实际计算中如何高效地实现这些差分格式，以及如何处理积分核的计算和存储问题。 有限元方法（Finite Element Methods, FEM）： 泛函和弱形式的建立： 介绍如何将分数阶偏微分方程转化为相应的泛函或弱形式，这是应用有限元方法的基础。 分数阶积分的泛函处理： 重点介绍如何处理分数阶积分在有限元方法中的弱形式表达，例如通过引入辅助变量或利用特定的积分核性质。 基函数和单元的选取： 讨论在分数阶问题中选择合适的基函数和剖分单元的重要性，特别是对于处理非局部算子。 数值积分与矩阵组装： 详细讲解分数阶导数项在弱形式中的数值积分方法，以及如何有效地组装求解矩阵。 稳定性与收敛性分析： 给出有限元方法的稳定性条件和收敛阶的理论证明。 谱方法（Spectral Methods）： 全局逼近与基函数： 介绍使用全局基函数（如多项式、三角函数）来逼近解的方法。 分数阶导数的谱表示： 阐述如何将分数阶导数表示为基函数上的算子，以及如何计算其谱系数。 配置法、伽辽金法和伪谱法： 详细介绍这些谱方法在分数阶偏微分方程求解中的具体应用。 计算效率与精度： 分析谱方法相对于有限差分和有限元方法的优势，特别是其在高精度计算方面的表现。 其他数值方法： 混合方法： 介绍结合不同数值方法的混合策略，以期获得更好的计算效率和精度。 无网格方法： 简要介绍径向基函数插值（Radial Basis Function Interpolation）等无网格方法在处理复杂几何和非局部算子时的潜力。 专为特定方程设计的数值方法： 针对分数阶扩散方程、分数阶波动方程等具体方程，介绍可能存在的专门优化的数值算法。 第三部分：实际应用与展望 本部分将通过具体的算例，展示本书介绍的理论和数值方法在解决实际科学与工程问题中的应用，并对未来的发展方向进行展望。 案例研究： 分数阶扩散方程的应用： 演示如何利用数值方法求解分数阶扩散方程，并分析其在异常扩散、多孔介质流、混沌系统等领域的应用。 分数阶波动方程的应用： 展示分数阶波动方程在模拟非均匀介质中的声波传播、黏弹性材料的振动等方面的应用。 其他分数阶模型： 简要介绍分数阶粘弹性模型、分数阶生物模型等，并说明其数值求解的意义。 数值结果的验证与比较： 对不同数值方法得到的计算结果进行比较，并与解析解（若存在）或实验数据进行验证，评估方法的准确性和效率。 未来的研究方向： 探讨分数阶偏微分方程理论与数值方法领域的前沿问题，例如： 更高效、更鲁棒的数值算法的开发。 适用于更复杂分数阶导数定义的数值方法。 分数阶偏微分方程的自适应网格技术。 并行计算与GPU加速在分数阶计算中的应用。 分数阶偏微分方程在人工智能、机器学习等新兴领域的拓展。 本书旨在为读者提供一个全面深入的关于分数阶偏微分方程及其数值解的理解框架，无论是在理论研究还是工程实践中，都能为读者提供有价值的指导和参考。

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这本书的书名，如同一份邀请函，邀请我深入探索数学科学的未知疆域。我一直被那些能够精确描述物理世界细微之处的数学理论所吸引，而分数阶微积分，恰恰是这样一个能够捕捉“记忆”和“非局部”行为的强大工具。将这一概念与偏微分方程相结合，更是将数学的精妙与现实世界的复杂性完美融合。我非常期待在这本书中看到，作者是如何系统地阐述分数阶偏微分方程的理论基础的。是会从分数阶微积分的基本定义和性质入手，逐步引导读者理解其在偏微分方程中的应用？抑或是会直接聚焦于一些经典的、具有代表性的分数阶偏微分方程模型，对其进行深入的分析和解读？我特别好奇，书中是否会涉及如何建立描述特定物理现象的分数阶偏微分方程模型，以及如何分析这些模型的解的特性。同时，“数值解”的加入，让我看到了这本书的实践意义。我希望能够在这本书中找到关于如何有效地计算这些方程的解的详细方法，包括各种数值离散化技术、迭代算法，以及如何评估计算结果的精度和可靠性。

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这本书的名字听起来就非常吸引人，尤其是对于我这种一直对数学建模和科学计算领域有浓厚兴趣的读者来说。“分数阶偏微分方程”，光是这几个字就充满了探索的魅力。我一直对传统的整数阶导数和积分的局限性有所体会，尤其是在描述一些具有“记忆效应”或非局部行为的物理现象时，它们往往显得力不从心。分数阶微积分理论的出现，恰恰为我们提供了一个更强大、更灵活的数学工具。而将它与偏微分方程结合，更是将数学研究的深度和广度推向了一个新的层次。我非常好奇，作者是如何将如此抽象复杂的数学理论，与描述现实世界中各种现象的偏微分方程完美结合的。是关于它们的应用领域，还是它们本身的理论发展？是更侧重于理论的严谨推导，还是对实际应用的深入剖析？这本书的书名本身就提供了太多的可能性，让我对内容充满了期待。我希望能在这本书中看到，分数阶偏微分方程是如何被构建起来的，它们的性质与整数阶方程相比有何异同，以及它们在哪些具体的科学和工程问题中发挥着关键作用。这本书的名字，就像是一扇通往未知数学世界的大门，我迫不及待地想推开它，去一探究竟。

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“分数阶偏微分方程”这几个字，在我看来，是数学领域一个充满活力和前沿性的研究方向。它打破了传统微积分的整数阶束缚，将数学的触角延伸到了描述更复杂、更精妙的物理和工程现象。而“数值解”的加入，则意味着这本书不仅仅停留在理论的象牙塔，而是要将这些复杂的数学工具转化为解决实际问题的利器。我对此非常期待。我猜想，书中会涵盖多种分数阶算子的定义，例如Caputo型、Riemann-Liouville型，以及它们在不同背景下的适用性。我特别想了解，作者是如何将这些非局部算子离散化，并构建出稳定的数值格式的。对于分数阶偏微分方程的求解，我预想会有各种巧妙的数值方法，例如基于多项式插值、神经网络逼近，甚至是利用快速算法来加速计算。我希望能在这本书中找到关于这些数值方法的详细推导，以及它们在实际应用中的性能评估。更重要的是，我希望这本书能够提供一些经典的案例研究，展示如何运用这些方法来解决诸如流体力学、传热学、电磁学等领域的难题。

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“分数阶偏微分方程及其数值解”，这个书名本身就充满了挑战与吸引力。作为一名长期关注数学建模和计算科学领域的读者，我深知分数阶微积分的引入，为描述许多现实世界的复杂现象提供了更精妙的工具，例如粘弹性、异常扩散、长程相互作用等。然而，将这些非局部算子融入偏微分方程，并在此基础上发展有效的数值方法，是极具难度的。我非常好奇，这本书是否会系统地介绍分数阶微积分的基本理论，例如Caputo、Riemann-Liouville等不同定义下的分数阶导数和积分，以及它们在数学物理中的应用。更重要的是，我期待书中能够深入探讨如何构建和分析不同类型分数阶偏微分方程，例如时间分数阶、空间分数阶，以及混合型分数阶方程，并分析其解的性质。此外，“数值解”部分，我希望能看到关于各种数值算法的详细介绍，包括有限差分法、有限元法、谱方法等在分数阶方程上的改进与推广，以及针对分数阶算子特性的专门设计算法，同时对这些算法的收敛性、稳定性和计算效率进行深入分析。

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这本书的书名，精准地勾勒出了它所要探讨的核心内容，让我立刻感受到了其学术价值和研究深度。对于我这样一位在应用数学领域深耕多年的研究人员而言，“分数阶偏微分方程”本身就代表着一种对传统数学工具的超越，能够更细腻、更准确地刻画现实世界中存在的非局部性、记忆效应等复杂特征。我非常好奇，作者在这本书中是如何系统地介绍这些新颖数学模型的？是否会深入探讨不同分数阶算子的性质、它们之间的关系，以及如何根据具体的物理背景选择合适的分数阶算子来构建模型？此外，“数值解”的后缀，更是让我看到了这本书的实践意义。如何有效地计算这些分数阶偏微分方程的解，是将其理论成果转化为实际应用的关健。我期待书中能详细介绍各类数值算法，比如差分法、有限元法、谱方法等在分数阶方程上的推广和改进，以及一些专门针对分数阶算子设计的创新性算法。我希望能够在这本书中找到关于算法稳定性的分析、收敛性的证明，以及在实际计算中如何平衡精度与效率的策略。

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这本书的书名，如同一颗璀璨的明珠，散发着深邃的数学智慧。我作为一名在该领域摸索多年的研究者，一直深深着迷于分数阶微积分的独特魅力，以及它在描述复杂系统时所展现出的强大潜力。然而，将分数阶的概念与偏微分方程相结合，并在此基础上发展出有效的数值解法，无疑是一个充满挑战性的课题。我非常好奇，作者在这本书中是如何系统地梳理和介绍这一领域的发展脉络的？是会从分数阶微积分的基本概念入手，逐步引申到分数阶偏微分方程的定义和性质，还是会直接从已有的重要分数阶偏微分方程模型出发，对其进行深入的分析？我尤其关注那些在物理、工程、生物等领域具有广泛应用的经典分数阶偏微分方程，比如描述粘弹性材料的Bouc-Wen模型，或者在金融数学中出现的Lévy过程相关的方程。我对书中是否会详细介绍这些模型的物理背景、数学形式以及它们相对于传统整数阶模型的优势和适用范围非常感兴趣。同时，我期待这本书能够提供一些关于如何构建新的分数阶偏微分方程模型，以应对更广泛的现实问题的指导。

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这本书的书名，对我而言，无疑是一扇通往更深层次数学理解的窗户。我一直对那些能够捕捉系统“记忆”和“非局部”特性的数学工具有着强烈的求知欲。分数阶微积分，正是这样一种强大的工具。而将它应用于偏微分方程，更是将理论的边界推向了前沿。我非常期待在这本书中看到，作者是如何构建和分析这些分数阶偏微分方程的。例如，是会专注于某一类特定的分数阶偏微分方程，还是会涵盖更广泛的理论框架？我特别想了解，书中是如何处理分数阶算子在时间域和空间域上的不同表现，以及它们对方程解的性质产生的独特影响。例如，时间分数阶如何反映系统的记忆效应，而空间分数阶又如何描述长程相互作用？此外，“数值解”这个词，更是让我看到了这本书的实用价值。如何有效地模拟和计算这些方程的解，是将其理论价值转化为实际应用的关键。我希望书中能够提供详细的数值算法介绍，包括算法的推导、实现细节，以及在不同应用场景下的表现分析。

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“数值解”这个词，更是让我眼前一亮。理论的构建固然重要，但最终能否将这些优美的数学模型应用到解决实际问题中，离不开有效的数值计算方法。分数阶偏微分方程的数值解，我深知其难度所在。不同于传统的差分、有限元等方法，分数阶算子本身的非局部性，使得直接应用这些经典方法变得困难重重。我猜想，这本书应该会详细介绍一些专门为分数阶偏微分方程设计的数值算法，比如那些基于级数展开、核函数逼近，或是利用特殊积分变换的方法。我特别希望能看到一些关于这些数值方法的详细推导过程，以及它们在不同类型分数阶偏微分方程上的适用性和优缺点。例如，对于时间分数阶的方程，如何处理其在时间方向上的累积效应？对于空间分数阶的方程，如何有效地离散化那些具有长程依赖性的核函数？我非常期待书中能够提供一些具体的算例，展示如何运用这些数值方法来求解一些实际问题，并且能够对这些方法的精度、稳定性和计算效率进行深入的讨论。这本书的名字，暗示着它不仅是理论的探讨，更是一门实操性的指南，教会我们如何用计算的力量去驯服这些复杂的数学模型。

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“分数阶偏微分方程及其数值解”，这个标题立刻吸引了我的目光，因为我一直对那些能够超越传统数学描述的工具深感兴趣。传统整数阶导数和积分在描述许多复杂系统时，往往显得力不从心，无法捕捉到系统的“记忆效应”或“长程依赖性”。而分数阶微积分的出现，则为我们打开了一扇新的大门。我非常想知道，作者在这本书中是如何系统地介绍这一领域的。是会从基础理论讲起，解释分数阶导数和积分的各种定义及其性质，然后如何将其应用到偏微分方程的构建中？还是会直接介绍一些在科学和工程领域已经得到广泛应用的经典分数阶偏微分方程模型？我特别期待能够看到书中对这些模型的数学推导过程，以及它们与传统整数阶模型在描述能力上的差异。此外，“数值解”的加入，则意味着这本书不仅仅是理论的探讨，更注重实际问题的解决。我迫切希望了解书中会介绍哪些用于求解分数阶偏微分方程的数值方法，例如各种差分格式、有限元方法、谱方法等，以及如何处理分数阶算子带来的计算上的挑战。

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“分数阶偏微分方程及其数值解”，这几个字在我脑海中勾勒出了一幅宏伟的数学蓝图。它触及了我一直以来对数学建模中“非局部”现象的浓厚兴趣。在许多物理和工程系统中，一个点的值不仅取决于其自身的局部性质，还受到整个系统的影响，这恰恰是分数阶微积分的用武之地。我迫切地想知道，这本书是如何将这种抽象的数学概念与描述复杂系统行为的偏微分方程相结合的。是会从基础理论出发，解释分数阶导数和积分的定义及其性质，然后如何将其融入偏微分方程的框架中？还是会直接介绍一些已有的、在科学界产生重要影响的分数阶偏微分方程模型，并分析它们的物理意义？我特别关注书中是否会讨论如何处理这些方程的边界条件和初始条件，以及它们在不同区域上的解的性质。同时，“数值解”的加入，意味着这本书不仅是理论的探讨，更注重实际问题的解决。我非常期待书中能够详细阐述各种用于求解分数阶偏微分方程的数值方法，并分析它们的优缺点，例如在精度、稳定性和计算效率方面的考量。

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