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出版者:Birkhäuser Boston

作者:Bernard Dacorogna

出品人:

页数:288

译者:

出版时间:1999-8-1

价格:USD 121.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780817641214

丛书系列:

图书标签:

• PDE
• 数学
• Birkhäuser
• 1999
• 数学
• 偏微分方程
• 隐式方程
• 应用数学
• 数值分析
• 微分几何
• 科学计算
• 非线性系统
• 连续介质力学
• 控制理论

《隐式偏微分方程》 本书将深入探讨隐式偏微分方程（IPDEs）这一数学分析领域的核心主题。IPDEs与显式方程不同，其未知函数不仅出现在导数项中，也直接以非线性方式出现于方程内部，这使得其求解和分析更具挑战性。本书旨在为读者构建一个全面而深刻的理解框架，从基础概念的梳理到前沿研究的介绍，力求详尽。 第一部分：基础理论与初步分析 本部分将为读者奠定坚实的理论基础，介绍隐式偏微分方程的构成要素、基本性质以及初步的分析方法。 章节一：隐式偏微分方程的定义与分类 深入解析隐式偏微分方程的数学结构，区分其与显式偏微分方程的根本区别。 介绍不同类型的隐式偏微分方程，例如椭圆型、抛物型、双曲型隐式方程，以及混合型方程，并分析其在不同应用场景下的特点。 探讨方程系数的性质，如连续性、光滑性、有界性等，及其对解的存在性、唯一性和正则性的影响。 章节二：存在性与唯一性理论 介绍几种关键的数学工具，如不动点定理（Banach、Schauder）、单调性方法、以及迭代逼近等，用于证明隐式偏微分方程解的存在性。 分析特定条件下，方程解的唯一性定理，例如通过能量估计、比较原理等方法。 探讨解在不同定义域（如光滑域、有界域、无界域）下的存在性问题。 章节三：解的正则性分析 详细阐述解的光滑性问题，即当方程系数具有一定光滑性时，解的导数是否也具有相应光滑性。 介绍Ladyzhenskaya-Ural'tseva理论及其在抛物型和椭圆型隐式方程正则性分析中的应用。 探讨边界条件的类型（如Dirichlet、Neumann、Robin）以及它们如何影响解的正则性。 第二部分：求解方法与数值逼近 本部分将聚焦于隐式偏微分方程的求解策略，包括解析方法和各种数值近似技术。 章节四：解析求解方法 介绍在特定简化条件下，可以采用的解析方法，如分离变量法、Green函数法等，并讨论其适用范围和局限性。 探讨变换方法，如傅里叶变换、拉普拉斯变换等，如何用于求解某些线性隐式方程。 讨论等度量（Monge-Ampere）方程等特殊类别的隐式方程的解析性质和求解技巧。 章节五：有限差分方法 详细阐述如何将隐式偏微分方程的微分算子转化为代数方程组，介绍差分近似的构造。 分析不同阶数的差分格式，如前向、后向、中心差分，以及它们对稳定性和收敛性的影响。 重点介绍隐式时间离散化方法，如Crank-Nicolson方法，及其在处理抛物型方程时的优势。 讨论边界条件在差分格式中的处理方式。 章节六：有限元方法 介绍变分原理与弱解概念，如何将强形式的隐式偏微分方程转化为弱形式。 阐述有限元基函数的选取、单元划分（网格生成）以及形函数插值。 分析有限元法的收敛性与精度，讨论不同类型的单元（如线性、二次单元）和积分方法（如高斯积分）。 介绍求解大型稀疏线性方程组的迭代方法，如共轭梯度法。 章节七：其他数值方法 介绍谱方法，包括傅里叶谱方法、切比雪夫谱方法等，及其在高精度计算中的应用。 讨论边界元方法，分析其在处理无界区域和低维问题时的优势。 探讨一些新兴的数值方法，如无网格方法（Meshless Methods），以及它们在处理复杂几何形状和移动边界问题中的潜力。 第三部分：高级主题与应用 本部分将深入探讨隐式偏微分方程在更广泛领域的应用，以及一些更高级的理论和研究方向。 章节八：非线性隐式偏微分方程 专门讨论非线性隐式偏微分方程的分析与求解，包括非线性项的处理、不动点迭代、Newton类方法等。 分析具有复杂非线性的方程，如Cahn-Hilliard方程、Ginzburg-Landau方程等。 探讨非线性方程的稳定性分析，包括线性化方法和李apunov函数法。 章节九：随机隐式偏微分方程 介绍随机项的引入如何改变方程的性质，以及随机隐式偏微分方程（SPDEs）的定义。 探讨随机微分几何、随机微积分等工具在分析SPDEs中的应用。 介绍数值模拟SPDEs的方法，如Euler-Maruyama法、Milstein法等。 章节十：在科学与工程中的应用 深入探讨隐式偏微分方程在物理学中的应用，如流体力学（Navier-Stokes方程的某些形式）、传热学、量子力学等。 分析其在材料科学中的应用，如相场模型、材料变形等。 讨论在金融数学、生物学、图像处理等领域的应用实例。 通过具体的算例，展示如何将理论知识应用于解决实际问题。 附录 附录A：相关数学概念回顾 简要回顾函数空间（Sobolev空间、Hilbert空间）、积分变换、泛函分析等核心概念。 提供必要的数学工具，为读者提供快速参考。 附录B：常用软件与工具介绍 介绍用于求解隐式偏微分方程的数值计算软件（如MATLAB、Python的SciPy库、COMSOL Multiphysics等）及其基本用法。 通过对以上内容的系统学习，读者将能够深刻理解隐式偏微分方程的数学精髓，掌握分析和求解这类方程的各种方法，并能够将其应用于更广泛的科学和工程问题之中。本书力求严谨而不失趣味，为相关领域的学生、研究人员和工程师提供一本权威的参考书。

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作为一名机器学习研究者，我一直关注如何将数学中的经典理论应用于更广泛的领域。《Implicit Partial Differential Equations》这个书名，让我看到了数学方法与人工智能交叉融合的巨大潜力。在深度学习中，我们经常会遇到需要求解隐式函数或者学习一个复杂的映射，而偏微分方程提供了一个强大的理论基础。这本书是否会探讨如何利用隐式偏微分方程的理论来设计新的神经网络结构，或者如何将偏微分方程的求解作为神经网络的约束条件？例如，Physics-Informed Neural Networks (PINNs) 近年来取得了巨大的成功，它们将偏微分方程直接嵌入到神经网络的损失函数中进行求解。这本书是否会深入分析PINNs的理论基础，并提供更高级的、基于隐式方程的PINNs变种？我希望它能阐述如何通过隐式方程的框架，来理解和改进神经网络的泛化能力、鲁棒性以及对物理规律的遵循程度。是否它能为我们提供一种新的思路，来构建能够自适应物理定律、并且能够高效学习复杂数据模式的AI模型？我对它在解决“黑箱”问题，即我们不完全了解其内部机制但知道其满足某些数学关系时，能带来怎样的启发，充满期待。

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作为一名对几何学和拓扑学有浓厚兴趣的数学家，我被《Implicit Partial Differential Equations》这个书名所吸引。它让我联想到，那些描述几何形状或拓扑结构的方程，其本质往往是“隐式”的。例如，曲面的隐式方程，如球面的 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$，直接给出了点集满足的条件，而不是通过参数化来描述。这本书是否会从这个角度探讨偏微分方程与几何和拓扑的联系？它是否会讨论如何利用几何分析的工具来研究隐式偏微分方程的解的性质，例如解的存在性、光滑性、以及其与几何对象之间的关系？我特别关注那些与流形、微分几何相关的应用，例如在微分流形上定义和求解偏微分方程。这本书是否能提供一些关于如何将抽象的几何概念转化为可计算的偏微分方程，并利用这些方程来研究几何性质的洞见？

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我是一名对复杂系统建模和模拟充满热情的工程师。当我在书店看到《Implicit Partial Differential Equations》这本书时，我的目光立刻被吸引住了。在工程领域，我们经常需要处理具有复杂边界条件、非均质材料特性以及非线性耦合效应的物理过程。显式的方法往往在处理这些复杂性时显得力不从心，而隐式方法则提供了更强的适应性。这本书是否会为我们提供在有限元、有限体积等数值离散框架下，如何有效地处理各种复杂边界条件和材料属性的方法？例如，在流体动力学模拟中，对于多孔介质流动或者界面问题，隐式方程的构建和求解是关键。在热传导模拟中，非均质材料的导热系数变化以及相变过程，也往往需要隐式的方法来处理。我期待这本书能够提供详实的案例分析，展示如何将复杂的工程问题转化为一套可求解的隐式偏微分方程组，并给出相应的数值求解策略。更重要的是，我希望它能解答如何在保证计算效率的同时，提高模拟结果的精度和可靠性，尤其是在处理非稳态过程和多尺度问题时，隐式方法的重要性不言而喻。

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我是一名对计算科学的最新进展充满好奇的研究者。当我看到《Implicit Partial Differential Equations》这本书名时，我的大脑立刻开始思考其在现代计算框架下的可能性。《Implicit Partial Differential Equations》的“隐式”特性，是否意味着它能够更自然地映射到并行计算和分布式计算的架构上？例如，许多迭代求解隐式方程组的算法，本身就具有高度的并行性。这本书是否会探讨如何设计和实现高效的并行算法来求解这类方程？是否会介绍相关的分布式计算框架或高性能计算技术，以应对大规模隐式偏微分方程组的求解挑战？我特别关注那些能够利用现代GPU或TPU等硬件加速的算法。例如，在处理大型模拟时，如何有效地进行数据划分、通信和计算，以充分发挥硬件的潜力，这对我来说至关重要。我希望这本书能够提供一些关于算法并行化和高性能实现的具体指导，并能给出一些实际的性能分析和比较。

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我是一名对数值分析有着浓厚兴趣的博士生，而《Implicit Partial Differential Equations》这个书名，直接点燃了我对求解这类方程的渴望。众所周知，隐式方法在数值计算中往往能带来更好的稳定性和收敛性，尤其是在处理 stiff problem（病态问题）时，其优势更是不可替代。这本书能否为我们提供更先进、更高效的数值算法？我特别关注它在处理非线性隐式偏微分方程时的方法，因为这常常是实际工程应用中的瓶颈。例如，在有限元方法（FEM）或有限差分方法（FDM）的框架下，如何有效地构造和求解由隐式方程组构成的离散化模型？书中是否会讨论求解大规模、非线性代数方程组的迭代技术，例如牛顿法及其变种，或者预条件共轭梯度法？我希望这本书能提供清晰的理论推导，并辅以精心设计的数值算例，展示这些算法在实际问题中的表现。更进一步，对于那些高度耦合的偏微分方程系统，隐式求解的挑战会更大，本书是否会探讨多物理场耦合问题中的隐式离散和求解策略？我渴望了解如何通过巧妙的数值设计，将复杂的物理行为转化为可计算的数学模型，并最终获得精确可靠的仿真结果。

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这本书名《Implicit Partial Differential Equations》一开始就勾起了我对数学研究中那些“隐藏”起来的力量的好奇心。我总觉得，那些显式定义的方程组，虽然直观，但往往在处理复杂的物理现象时显得笨拙。而“隐式”这个词，恰恰暗示了一种更深层次的、更自然的数学表述方式，它能够更优雅地捕捉现实世界的微妙之处。我期待这本书能够深入探讨如何从一个更抽象、更普遍的视角来理解和构建偏微分方程，以及这种隐式思维如何在数学建模的各个领域带来革命性的变化。是否它能提供一套通用的框架，让我们能够面对那些目前看来难以逾越的复杂系统？例如，在流体力学中，Navier-Stokes方程的许多困难就源于其非线性特征和边界条件的复杂性，如果能用一种更“隐式”的方式来描述这些现象，也许就能找到新的解题思路。或者在量子力学中，波函数演化的薛定谔方程，其内在的“量子态”本身就带有一种天然的隐式属性。我对这本书将如何阐释这些“隐藏”的联系，以及如何将这种隐式思维转化为具体的数学工具和应用，充满了浓厚的兴趣。我希望它不仅能提供理论上的深度，更能启发我们在实际问题中运用这种全新的视角。

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我对数学物理方向的研究情有独钟，特别是那些能够深刻揭示物质世界本质的数学工具。《Implicit Partial Differential Equations》这个书名，让我联想到了一些基础的物理定律，它们往往是以一种“关系”或者“守恒律”的形式存在的，而并非直接给出变量的显式演化。例如，爱因斯坦的场方程，其形式本身就具有一种深刻的内在“隐式”逻辑，描述了时空与物质能量的相互作用。这本书是否会从这个角度出发，探讨如何从更基本的物理原理出发，构建这些“隐式”的偏微分方程？它是否会涉及变分原理、拉格朗日形式或者哈密顿力学中的思想，这些数学框架本身就强调了系统内在的对称性和优化性质，并常常以隐式的方式定义了系统的动力学？我特别期待书中能够解释，为何在许多物理领域，隐式方程比显式方程更能捕捉到系统的内在规律。是否它能为我们提供一种“从第一性原理出发”构建数学模型的方法论？例如，在材料科学中，描述材料在复杂应力或温度场下的行为，往往需要求解复杂的隐式方程组，这些方程的来源可能与微观结构或能量最小化原理密切相关。这本书是否能提供这方面的深刻见解？

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我是一位对数学史和数学哲学感兴趣的学者。阅读《Implicit Partial Differential Equations》这个书名，让我思考了数学概念的演进以及不同数学流派的思想。《Implicit Partial Differential Equations》这个名称本身就暗示了一种从“已知”到“未知”的探索过程，即我们可能并不直接知道方程的解，但我们可以描述其性质和关系。这是否与数学中“存在性证明”或者“不动点理论”的思想有共通之处？隐式定义的数学对象，例如隐函数定理所描述的，它们的存在性和唯一性往往是通过逻辑推理而非显式构造来确立的。这本书是否会从更宏观的视角，探讨隐式偏微分方程在数学发展史上的地位？它是否会追溯历史上哪些重要的数学概念或物理定律最初是以隐式方程的形式被提出和理解的？我希望它能提供一种哲学上的思考，即我们对现实世界的理解，很多时候是通过关系的描述而非直接的因果链条。这本书是否能帮助我们理解，为何在许多情况下，“隐式”的表述方式反而更接近事物的本质？

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我的研究领域涉及数学建模和仿真，特别关注那些能够描述非平衡态和复杂动力学的系统。《Implicit Partial Differential Equations》这个书名，让我联想到了一些在统计物理、气候模型或经济学中遇到的复杂系统，这些系统的演化往往不是简单的线性叠加，而是充满非线性和反馈。隐式方程是否能够更有效地捕捉这些系统的内在鲁棒性或其对微小扰动的敏感性？我希望这本书能提供一些在这些领域中的应用案例，展示隐式偏微分方程如何帮助我们理解和预测复杂系统的行为。例如，在气候模型中，大气和海洋的相互作用，以及云层形成等过程，都涉及到复杂的非线性耦合，常常需要隐式方法来处理。在经济学中，市场参与者的行为相互影响，形成复杂的动态反馈回路，隐式方程可能是一种更合适的描述工具。我期待这本书能深入探讨隐式方程在这些领域的理论优势，以及如何通过数值模拟来揭示这些复杂系统的内在规律。

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我是一名对理论计算机科学和算法设计充满热情的学生。在我的学习过程中，我经常遇到需要处理“隐式”约束或者“隐式”逻辑的算法问题。《Implicit Partial Differential Equations》这个书名，让我思考这种数学框架是否能在算法设计中提供新的视角。例如，在优化领域，许多问题可以通过描述目标函数的梯度或Hessian矩阵来求解，这些信息本身就蕴含着“隐式”的最优性条件。这本书是否会探讨如何从隐式偏微分方程的视角来设计新的算法，或者如何利用这类方程来分析现有算法的性质？我希望它能提供一些关于如何将偏微分方程的理论工具应用于离散问题，或者如何从连续的偏微分方程模型中提取有用的算法思想。是否它能帮助我理解，为何在某些情况下，从连续的、隐式的数学模型出发，反而能导出更优越的算法？

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