Lie Groups and Algebraic Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Arkadij L. Onishchik

出品人:

页数:356

译者:Dimitry A. Leites

出版时间:2012-7-31

价格:GBP 72.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783642743368

丛书系列:

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抽象代数与几何的交汇：代数群的迷人世界 本书将带您踏上一段探索数学中两个核心分支——抽象代数和代数几何——之间深刻联系的旅程。我们将深入研究一类特殊的代数结构，它们不仅承载着丰富的代数性质，更在几何空间中展现出令人惊叹的对称性。这本书旨在揭示代数群的本质，介绍其基本概念，并展现其在各个数学领域中的强大应用。 第一部分：代数结构的基石 在深入代数群之前，我们首先需要牢固地掌握其赖以构建的基础。本书的第一部分将回顾和梳理那些构成代数群概念的必要代数工具。 群论基础： 我们将从最基本的群论概念开始，回顾群的定义、子群、陪集、正规子群、同态以及同构等核心概念。理解这些基础是理解更复杂的代数结构的前提。我们将通过一些经典例子，如对称群、矩阵群和循环群，来加深对这些概念的理解。 环与域： 作为代数群的“舞台”，域（Field）和环（Ring）是必不可少的。我们将深入探讨域的性质，包括其代数闭包，以及不同类型的环，特别是交换环和非交换环。尤其重要的是，我们将关注那些与代数几何紧密相关的域，如实数域、复数域以及有限域。 多项式环与理想： 代数几何的核心语言是多项式。本书将详细介绍多项式环的结构，以及环论中的重要概念——理想（Ideal）。我们将探讨理想的生成、主理想、素理想、极大理想等，并介绍希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）的核心思想，它在连接代数和几何之间起着至关重要的作用。 代数簇的初步概念： 在此基础上，我们将初步介绍代数簇（Algebraic Variety）的概念。代数簇是由多项式方程组的公共零点构成的几何对象。我们将通过简单的例子，如直线、圆锥曲线，来理解代数簇的几何直观。 第二部分：代数群的定义与结构 掌握了代数结构的基础后，我们将正式引入代数群的概念。代数群是结合了群的代数性质和代数簇的几何结构的数学对象。 代数群的定义： 我们将给出代数群的严格定义。一个代数群本质上是一个既是代数簇又是群的集合，并且其群运算（乘法、逆运算）是代数簇上的多项式映射。我们将通过例子，如一般线性群 GL(n, K)（其中 K 是一个域），来理解这个定义。GL(n, K) 的元素是可逆的 n x n 矩阵，其乘法和逆运算都可以用矩阵元素的 polynomials 来表示，并且 GL(n, K) 本身可以看作是 n^2 个变量上的多项式方程组的零点构成的代数簇。 子群与同态： 类似于群论，代数群也存在子群和同态的概念。我们将探讨代数子群（Algebraic Subgroup），它们既是代数簇又是原群的子群，并且其包含映射是代数簇的态射。我们还将研究代数群之间的代数群同态（Algebraic Group Homomorphism），它们是保持群结构和代数簇结构映射的映射。 群的表示： 群的表示是理解群结构的重要工具。我们将探讨代数群的线性表示，即将代数群的元素表示为向量空间上的可逆线性变换。这为我们提供了一种将抽象的群结构映射到更具体的矩阵运算的方法。 齐性空间： 代数群在作用于代数簇时，会产生齐性空间（Homogeneous Space）的概念。我们将理解代数群如何通过其作用来“平移”或“变换”代数簇，从而揭示其对称性。 第三部分：重要的代数群类型 代数群的家族非常庞大，种类繁多。本书将重点介绍一些最重要和最基本的代数群类型，它们在数学的各个分支中扮演着关键角色。 线性代数群： 这是一类最常见的代数群，它们可以被视为 GL(n, K) 的子群。我们将深入研究各种重要的线性代数群，例如： 一般线性群 GL(n, K)： 如前所述，它是所有可逆 n x n 矩阵构成的群。 特殊线性群 SL(n, K)： 由行列式为 1 的 n x n 矩阵构成。 正交群 O(n, K)： 由保持内积的 n x n 矩阵构成。 辛群 Sp(2n, K)： 由保持非退化反对称双线性型的 2n x 2n 矩阵构成。 酉群 U(n)： 在复数域上，由保持内积的 n x n 酉矩阵构成。 我们将分析这些群的结构、性质以及它们与几何形状（如体积、长度、角度）的联系。 椭圆曲线： 作为一种特殊的代数簇，椭圆曲线也构成了一个阿贝尔群。我们将介绍椭圆曲线群的定义，以及其在数论，特别是模形式和密码学中的重要应用。 阿贝尔簇： 椭圆曲线是阿贝尔簇的一种特例。我们将更一般地探讨阿贝尔簇，它们是亏格（genus）大于等于 1 的连通的、完备的代数簇，并且具有群结构。阿贝尔簇在代数几何和数论中有许多深刻的结果。 第四部分：代数群的深入研究 在本部分，我们将进一步探索代数群更高级的理论和工具。 李代数： 对于一个代数群，我们可以关联一个李代数（Lie Algebra）。李代数是向量空间，带有满足特定性质的李括号运算。它捕捉了代数群在“局部”的线性化信息，并且往往比代数群本身更容易研究。我们将学习如何从代数群构造其李代数，以及李代数在研究代数群结构中的作用。 代数群的分类： 历史上，数学家们一直在努力对代数群进行分类。我们将触及一些关于简单代数群分类的初步思想，特别是当域是复数域时。 连通性与幂零性： 我们将研究代数群的连通性，并介绍一些重要的概念，如单连通（simply connected）代数群。此外，我们还将探讨幂零（nilpotent）和可解（solvable）代数群，以及它们与一般代数群的关系。 第五部分：代数群的应用 代数群的威力不仅体现在其内在的数学美，更在于其在解决数学和其他科学领域中的实际问题。 李群与李代数理论的联系： 虽然本书主要关注代数群（定义在代数簇上），但我们也会探讨其与李群（定义在光滑流形上）的紧密联系。在特征为零的域上，代数群与李群之间存在着深刻的对应关系，这使得我们可以运用分析工具来研究代数结构。 数论中的应用： 代数群在数论中扮演着核心角色。例如，椭圆曲线群是现代密码学（如椭圆曲线密码学 ECC）的基础；模形式与代数群密切相关；代数数域的伽罗瓦群（Galois group）可以看作是某种代数群的子群。 代数几何中的应用： 代数群是研究代数簇的对称性、分类以及其几何性质的关键工具。例如，代数群的表示论是研究向量丛和层（sheaves）的重要手段。 几何不变式理论： 代数群在几何不变式理论（Geometric Invariant Theory）中发挥着至关重要的作用。几何不变式理论研究在群作用下保持不变的几何对象，而代数群就是研究这些作用的自然框架。 物理学中的应用： 虽然本书侧重于纯粹数学，但需要指出的是，代数群和李群（以及李代数）在理论物理学中，特别是在粒子物理学和量子场论中，有着极其广泛的应用，它们用于描述基本粒子的对称性。 本书的读者对象 本书适合具有扎实本科代数基础，并对抽象代数、代数几何或理论物理学有浓厚兴趣的数学专业学生、研究生以及研究人员。对于希望深入理解数学中对称性概念，并探索代数结构与几何对象之间深刻联系的读者而言，本书将是一本宝贵的参考书。通过本书的学习，读者将能够掌握代数群的核心理论，并初步领略其在各个数学分支以及相关科学领域的强大应用。

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这本书的叙述风格极其严谨，每一句话都似乎经过了深思熟虑，旨在用最精确的语言描述最复杂的数学对象。我尤其欣赏作者在处理代数群的结构理论时所展现出的洞察力。书中对连通李群与代数群的分类工作处理得非常系统化，将抽象的代数结构映射到具体的几何对象上，这种“具象化”的努力值得称赞。然而，这种严谨有时也带来了阅读上的阻碍。书中充斥着大量的定义、引理和定理，章节之间的跳转看似流畅，但隐藏的跳跃点需要读者自己去弥合。例如，在介绍根系理论时，作者略微简化了部分背景知识的铺陈，这让那些刚从经典群论过渡过来的读者感到措手不及。我感觉这本书更像是一份详尽的数学手册或论文集，而非一本旨在“教导”读者的教科书。它的价值在于其完备性，但在可读性上，我认为还有提升空间，需要读者有很强的自主学习能力和解决问题的热情。

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从装帧和排版来看，这本书的质量是上乘的，纸张厚实，公式排版清晰，这对于一本数学专著来说至关重要。然而，真正让我心生敬佩的是作者对历史脉络的梳理。在介绍某个关键定理时，书中会穿插一些关于该理论发展历程的简短评论，这使得枯燥的理论学习过程有了一丝人文色彩。例如，对于根空间的分解描述，作者没有仅仅给出结论，而是隐约暗示了早期数学家是如何一步步攻克这一难题的。但即便如此，我对书中关于非紧致群的表示论部分依然感到困惑。也许是因为该领域本身的复杂性，作者似乎在这里采取了一种过于“压缩”的处理方式，许多关键的谱分解定理只是被陈述出来，而其核心证明思想却未能充分展现。这使得我对如何实际操作这些表示论工具感到有些迷茫，需要查阅更侧重于应用的资料来补充。

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读完这本厚厚的《群论与代数群》后，我仿佛完成了一次漫长而艰辛的数学攀登。这本书的深度和广度都令人惊叹，它不仅仅是介绍概念，更像是在搭建一座精密的理论大厦。作者对于基础知识的铺垫非常扎实，即便是像我这样在代数几何领域有些许涉猎的读者，也需要花费大量时间去消化每一个定理的证明。尤其是关于李群与李代数之间的联系，书中给出了极为详尽的论述，从结构到表示论，层层递进，逻辑链条严密到几乎不留任何空隙。但坦白说，初学者可能会感到吃力，书中的许多例子都是高度抽象的，缺乏直观的几何图像来辅助理解。我花了数周时间才完全掌握了其中关于紧致李群结构分解的部分，这部分内容对于后续理解更现代的数学分支至关重要，但对阅读体验而言，确实是一场耐力的考验。这本书更适合作为进阶研究生的参考书，而非入门教材。它要求读者具备极强的抽象思维能力和对高等代数有深入的理解。

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这本书给我留下最深刻的印象是它在连接不同数学分支方面的能力。作者巧妙地在李群的微分几何视角和代数群的代数几何视角之间架设了坚实的桥梁。特别是在讨论哈希代数（Hasse algebra）和普朗特（Plancherel）测度的部分，那种跨越不同数学范式的融合感非常震撼。我感觉自己不仅仅是在学习一种群论，而是在学习一种看待数学世界的全新视角。不过，这种宏大的视野也带来了一个问题：细节的取舍。某些在经典教科书中会详细展开的技巧性计算，在这本书中被一带而过，被认为是“显然”或“可从其他标准教材中推导”。这对于想通过这本书全面掌握所有细节的读者来说，可能会感到信息缺失。我不得不频繁地在书架上翻找其他参考资料，来填补这些“显而易见”的空白。这本书的定位无疑是为那些寻求理论深度而非实用技巧的数学家准备的。

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这本书的价值在于其对“代数群”这一核心概念的深刻挖掘，特别是超越了经典欧几里得空间范畴的讨论。它成功地将特征零域上的理论推广到了更一般的代数几何环境中，展示了代数方法在处理对称性问题上的强大威力。书中对“结构层”的定义和性质的分析，是我在其他任何同类书籍中都未曾见过的细致程度。不过，作为一名习惯于通过具体例子建立直觉的读者，我必须承认，这本书的抽象程度让我时常感到“失重”。书中很多例子都停留在了非常高层次的抽象范畴内，缺乏像SL(n, R)或SU(n)这样具体的、能被直观想象的例子来锚定复杂的结构。这使得理解的门槛非常高，需要读者不断地在具体的直觉和抽象的定义之间进行切换，这无疑是一种智力上的高强度训练。总的来说，这是一部里程碑式的著作，但它要求读者付出与其深度相匹配的专注和时间。

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