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出版者:国防科技大学出版社

作者:[美] （W.F.卢卡斯）William

出品人:

页数:430

译者:

出版时间:1998-1

价格:25.00元

装帧:

isbn号码:9787810244831

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• math
• 微分方程
• 数学模型
• 应用数学
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 数值解
• 建模
• 科学计算
• 工程数学
• 数学分析

数学建模方法与应用：从基础理论到前沿实践 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的数学建模视角，聚焦于如何运用抽象的数学语言来描述、分析和预测现实世界中的复杂系统。全书结构严谨，内容涵盖了从基础的数学工具到前沿的交叉学科应用，强调理论与实践的紧密结合。 第一部分：数学建模的基石与方法论 本部分着重于建立读者对数学建模的整体认知框架，并介绍最常用、最基础的建模方法和分析工具。 第一章：数学建模概论 本章首先界定了数学建模的内涵、发展历程及其在现代科学、工程、经济和社会科学中的核心地位。我们将探讨建模的思维方式——如何将现实世界的模糊问题转化为清晰、可操作的数学结构。内容包括：建模的基本步骤（问题定义、假设建立、模型求解、模型验证与修正）、不同类型模型（描述性模型、预测性模型、规范性模型）的比较，以及模型简化、抽象的艺术性。同时，会引入经典案例，如人口增长的逻辑斯蒂模型，以直观展示建模的魅力。 第二章：基础分析工具与优化理论 数学建模往往依赖于强大的分析工具。本章深入讲解线性代数在系统分析中的应用，特别是特征值、特征向量在稳定性分析中的作用。随后，重点转向优化理论，这是许多工程和决策问题的核心。我们将详细介绍线性规划（Simplex方法及其几何解释）、非线性规划（KKT条件）的基础知识。此外，还会涵盖对离散系统分析至关重要的图论基础，包括最短路径算法（Dijkstra, Floyd-Warshall）和网络流理论，这些是物流、通信网络设计中的关键。 第三章：统计与随机过程建模 现实世界充满不确定性，本章将介绍如何利用概率论和数理统计来处理随机现象。内容包括：随机变量、概率分布（正态、泊松、指数分布等）的深入理解与应用场景。重点在于随机过程的建模，如马尔可夫链（Markov Chains）在状态转移分析中的应用，包括稳态分布的计算及其在排队论（Queuing Theory）中的基础模型（如M/M/1系统）。回归分析（线性回归、多元回归）的原理及模型检验方法也将被详细阐述，以帮助读者有效拟合和预测数据。 第二部分：经典系统动力学模型与仿真 本部分侧重于描述时间演化系统的建模技术，这是理解动态变化过程的关键。 第四章：常微分方程（ODE）模型基础 常微分方程是描述连续时间系统中变化率的基石。本章将详细介绍如何将物理、生物、经济学中的守恒律转化为ODE模型。内容包括：一阶和高阶ODE的解析求解方法回顾，以及数值解法（如欧拉法、Runge-Kutta方法）在计算机模拟中的实现。重点分析具有复杂相互作用系统的模型，如捕食者-猎物模型（Lotka-Volterra方程组），探讨其相平面分析、平衡点和极限环的确定，展示定性分析的强大力量。 第五章：系统动力学与复杂性分析 本章将从更宏观的视角审视系统行为。系统动力学（System Dynamics）强调反馈回路和延迟效应。我们将介绍Stocks & Flows（存量与流量）的建模范式，并利用仿真软件（如Vensim或Stella的概念）来构建社会经济、环境管理中的反馈模型。高级内容将涉及复杂系统的涌现现象（Emergence），包括混沌理论的入门知识，如洛伦兹吸引子的基本特性及其对长期预测的挑战。 第六章：偏微分方程（PDE）在场域建模中的应用 当系统的状态依赖于空间和时间时，偏微分方程成为必需。本章介绍扩散、波动和传输过程的经典PDE模型，如热传导方程（扩散方程）、波动方程。内容涵盖如何基于物理原理推导这些方程，并介绍有限差分法（Finite Difference Method）等基础数值求解技术，这些技术是模拟流体力学、材料科学中场分布问题的核心。 第三部分：高级建模专题与交叉应用 本部分将模型提升到更抽象和前沿的层面，展示数学建模在解决实际复杂问题时的广阔前景。 第七章：网络科学与复杂网络建模 网络结构是理解现代信息、社交、生物系统功能的基础。本章介绍网络科学的核心概念：图论表示、网络拓扑度量（度分布、聚类系数、平均路径长度）。重点分析真实世界网络的特性，如小世界现象和无标度特性。我们将介绍基于Agent的建模（Agent-Based Modeling, ABM）的原理，它常用于模拟具有局部交互规则的宏观群体行为，如疾病传播或舆论扩散。 第八章：离散事件仿真与排队系统深入 针对处理资源有限、事件驱动的系统，离散事件仿真（Discrete Event Simulation, DES）是一种强有力的工具。本章将系统地介绍DES的建模框架、事件调度机制和统计输出分析。排队论作为DES的核心分支，本章将深入探讨更复杂的排队模型，如多服务台系统（M/M/c）、有限容量系统，并展示如何利用这些模型来优化服务流程、库存管理和通信资源分配。 第九章：机器学习与模型校准的桥梁 本章探讨现代数据科学技术如何反哺传统数学建模。我们将介绍数据驱动方法（如神经网络、支持向量机）在系统辨识中的作用，特别是如何利用它们来估计复杂模型中难以直接测量的参数，从而实现模型的自动化校准和优化。我们将讨论混合模型（Hybrid Models）的概念，即结合了物理机理（如ODE）和数据拟合（如ML）的优势，以构建更鲁棒和准确的预测系统。 第十章：模型验证、灵敏度分析与应用伦理 成功的建模不仅在于构建方程，更在于批判性地评估模型的可靠性。本章强调模型验证（Verification）与确认（Validation）的严格过程。我们将详细讲解灵敏度分析（Sensitivity Analysis）的必要性，以识别模型中对输入变化最敏感的参数。最后，本章将讨论建模在决策制定中的伦理考量，特别是模型偏差（Bias）的识别与减轻，确保模型应用的公平性和有效性。 全书特色： 本书注重通过丰富的、跨学科的案例研究来贯穿理论讲解，案例选材广泛，涵盖了环境科学、城市规划、生物医学工程、金融工程等多个领域，旨在培养读者运用数学语言解决实际工程与科学难题的综合能力。每章末尾均附有实践练习和推荐的进一步阅读材料。

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