具体描述
The primary goal of these lectures is to introduce a beginner to the finite dimensional representations of Lie groups and Lie algebras. Since this goal is shared by quite a few other books, we should explain in this Preface how our approach differs, although the potential reader can probably see this better by a quick browse through the book. Representation theory is simple to define: it is the study of the ways in which a given group may act on vector spaces. It is almost certainly unique, however, among such clearly delineated subjects, in the breadth of its interest to mathematicians. This is not surprising: group actions are ubiquitous in 20th century mathematics, and where the object on which a group acts is not a vector space, we have learned to replace it by one that is {e. g. , a cohomology group, tangent space, etc. }. As a consequence, many mathematicians other than specialists in the field {or even those who think they might want to be} come in contact with the subject in various ways. It is for such people that this text is designed. To put it another way, we intend this as a book for beginners to learn from and not as a reference. This idea essentially determines the choice of material covered here. As simple as is the definition of representation theory given above, it fragments considerably when we try to get more specific.
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目录信息
读后感
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用户评价
我特别看重本书在数学语言的清晰度和准确性方面的表现。虽然它是“基本教程”，但数学的严谨性是不可或缺的。我希望书中使用的数学符号和术语能够规范、统一，并且有清晰的定义。我希望作者能够用最简洁、最准确的语言来阐述每一个概念，并且在必要的时刻提供详细的解释和说明。例如，当引入“群”或者“向量空间”这样的基本概念时，我希望它能给出一个清晰且易于理解的定义，而不是直接跳到更复杂的层面。我也会留意书中是否有对关键概念的“直观解释”，即使是抽象的数学概念，如果能够结合一些比喻或者类比，往往能帮助初学者更好地理解其本质。我希望这本书能够让我感受到一种“严丝合缝”的逻辑美，每个定理的证明都滴水不漏，每个概念的引入都有其必然的理由。
评分我对书中关于“有限群表示”的介绍充满了期待。Finite group representations 是表示论的一个重要分支，我了解到它在很多领域都有广泛的应用。我希望这本书能够详细地介绍有限群表示的基本概念，比如表示的次数、酉表示的性质，以及不可约表示的完备性。我尤其希望能看到关于“特征标”的深入讲解，以及如何利用特征标来判断表示的不可约性，以及如何计算表示的张量积和直和。我想了解，如何利用特征标表来分析一个有限群的结构，比如它的中心、它的可解性等。我还会关注书中是否会介绍一些特殊的有限群，例如对称群 $S_n$、交错群 $A_n$、或者一些著名的简单散群，并讲解它们的表示理论。我希望这本书能够为我打下坚实的基础，让我能够理解更复杂的表示论理论，并为我后续的学习和研究做好准备。
评分我对于本书的理论深度和严谨性有着很高的期待。虽然它定位是“基本教程”，但我并不希望它过于浅尝辄止。我希望它能够清晰地阐述每一个概念的数学定义，并且提供严谨的证明过程，即使对于初学者，也能通过细致的讲解理解证明的逻辑。我特别关注书中对“群表示”的定义，以及如何通过群的元素和表示空间中的向量之间的作用来定义这种关系。我也希望书中能详细讲解“表示的直和”和“张量积”这些概念，因为我预感这些是构建更复杂表示的关键。更重要的是，我希望这本书能够介绍表示论中的一些基本定理，例如“马尔可夫定理”或者“舒尔引理”等，并对它们的意义和应用进行深入的阐述。即使证明过程可能需要一定的基础，但如果作者能够提供清晰的思路和解释，我相信即使是初学者也能从中获益。我还会留意书中是否有关于“酉表示”的介绍，以及它们在物理学中的重要性。一本好的教程，不仅要讲授知识，更要培养读者的数学思维和严谨性。
评分从实用性的角度来看，我希望这本书能够展现表示论在解决实际问题中的强大能力。虽然它是数学领域的理论，但我相信它绝非空中楼阁。我期待书中能够包含一些具体的应用案例，例如在密码学、编码理论、化学键分析、材料科学或者粒子物理学中，表示论是如何被用来构建模型、分析数据或者解决难题的。我尤其好奇，表示论是否能够帮助我们理解某些对称性结构，并将其转化为可计算的数学语言。例如，在化学中，分子的对称性往往决定了其光谱性质，而表示论是否能提供一种系统化的方法来分析这些对称性？在物理学中，量子态的对称性又如何与表示论联系起来？我希望这本书能够像一座桥梁，连接起抽象的数学理论和生动的现实世界，让我看到数学的实用价值和无穷魅力。如果读完这本书，我能够运用表示论的知识去理解一些更前沿的科学问题，或者激发我进一步探索其应用领域的兴趣，那将是对我最大的回报。
评分我非常看重学习过程中的“引导性”和“启发性”。一本好的教程，不应该只是知识的堆砌，更应该是一种思维的启蒙。我希望这本书能够像一位经验丰富的向导，在我探索表示论的旅途中，不断给我提示和方向。我期待书中能够包含一些“思考题”或者“小练习”，它们不一定要求给出详细的答案，但能够引导我去思考概念的内在联系，或者尝试自己去推导一些简单的性质。我希望书中能够有“历史背景”的介绍，比如表示论是如何发展起来的，哪些数学家做出了重要的贡献，他们的思想是如何影响了这一领域的发展。这不仅能增加学习的趣味性，也能帮助我更深入地理解某些概念的由来和意义。我还会关注书中是否有“延伸阅读”的推荐，如果我想要深入学习某个特定的方面，能够有清晰的指引。我希望这本书能激发我的好奇心，让我不仅仅是为了完成任务而学习，而是真正地爱上这个领域，并愿意去探索更多。
评分这本书的排版和章节安排是我非常看重的一点。我希望它能有一个非常合理的逻辑递进，从最简单的群论基础知识开始，比如群的定义、子群、陪集、正规子群、商群等等，确保我这个初学者能够扎实地掌握这些基本概念。然后，逐步引入表示论的核心，我想这会包括表示的定义、表示的空间、群同态与表示之间的关系等。我特别希望作者能用清晰的图示或者表格来辅助说明这些概念，因为有时候抽象的数学定义仅凭文字会显得非常枯燥和难以理解。我期待书中能有一个章节专门讲述“特征标理论”，因为我听过这个词，觉得它听起来就非常有力量，能够帮助我们更有效地分析和计算表示。另外，对于线性代数的基础知识，我也希望这本书能够有所侧重，毕竟表示论与向量空间、线性变换等概念是紧密相连的。如果书中能有专门的章节回顾或补充必要的线性代数知识，那将对我这样背景稍显薄弱的读者来说是莫大的福音。最后，我还会留意书中是否有习题，并且希望这些习题能够覆盖各个章节的重点，并且由易到难，这样我才能在实践中巩固所学，检验自己的理解程度。
评分这本书的封面设计就足够吸引我了，一种沉稳而富有智慧的蓝色调，搭配上简洁大气的字体，瞬间就勾起了我对数学深处奥秘的好奇心。作为一名非数学专业的读者，我对“表示论”这个词汇最初的认知，仅仅停留在它似乎是一个非常高深莫测、与物理学、化学等领域息息相关的分支。拿到这本书，我并没有期望立刻就能成为表示论的专家，但它传递出的“基本教程”的定位，给了我莫大的信心。我想象着，这本书会像一位循循善诱的老师，一步步地引导我，从最基础的概念讲起，用清晰易懂的语言，一点点揭开表示论的面纱。我尤其期待它能解释清楚，为什么抽象的群论概念需要“表示”的引入，以及这些表示究竟是如何帮助我们理解和应用群的。我还会关注书中是否有足够的例子，特别是那些能联系到实际应用场景的例子，比如在晶体学、量子力学或者信号处理中，表示论是如何发挥作用的。我对数学的学习，总是希望能够看到它的力量和价值，而不仅仅是纸面上的抽象推导。如果这本书能够在我心中播下对表示论的兴趣种子，让我体会到数学的逻辑之美和应用之广，那么它就已经非常成功了。我更希望的是，这本书能让我感受到一种“豁然开朗”的愉悦，当我遇到一些在其他学科中似曾相识但又难以名状的数学结构时，能够找到“表示论”这把钥匙，去解锁它们背后的原理。
评分我希望这本书能够让我感受到一种“数学的和谐”。表示论将抽象的代数结构与几何、分析等数学分支联系起来，形成了一个庞大而和谐的数学体系。我期待这本书能够体现这种数学的统一性。例如，当介绍群表示时，我希望能够看到它与向量空间的几何性质的联系，以及与线性代数中矩阵运算的对应关系。我希望书中能够适当地引入一些分析工具，比如希尔伯特空间，来处理无限维表示。我还会关注书中是否能够展示表示论在解决不同数学问题时的普适性，比如在代数几何、组合数学等领域，表示论是否也能发挥作用。我希望通过这本书，我能够看到数学各个分支之间并非孤立存在，而是相互联系、相互促进的，而表示论正是连接这些分支的桥梁之一。这种数学上的和谐感，是我对一本优秀数学教程的最高追求。
评分我对于书中关于“李群和李代数表示”的介绍非常感兴趣。我知道这是表示论的一个更深层次、更抽象的分支，它在量子力学、粒子物理学等领域有着至关重要的作用。我希望这本书能够为我打开这扇门，让我能够初步了解李群和李代数的概念，以及它们与表示论之间的联系。我期待书中能够介绍一些典型的李群，比如 $SU(2)$、$SO(3)$ 等，并讲解它们的表示。我希望能够理解，李代数的伴随表示是如何反映李代数本身的结构，以及如何通过李代数的根系和权来构建李群的表示。我还需要了解，如何利用表示论来理解量子力学中的自旋、角动量等概念。尽管我知道这是一个非常庞大且复杂的领域，但我希望这本书能够给我一个清晰的框架，让我能够建立起初步的认识，并为我进一步深入学习打下基础。
评分我期待这本书能为我打开一扇新的数学视角。我一直认为，数学的魅力在于它能够用简洁的语言描述复杂的世界。而表示论，在我有限的认知里，就是一种将抽象的代数结构“具象化”的工具。我希望这本书能够教会我，如何将一个抽象的群，通过作用在向量空间上的线性变换来“表示”出来。更重要的是，我希望它能让我理解，不同表示之间是如何联系的，它们之间是否存在一种“等价性”的概念，以及如何通过这些表示来揭示群本身的结构性质。我特别好奇，在表示论中，是否有像“不可约表示”这样的核心概念，它代表了什么，又有什么样的重要性。我还会关注书中是否会介绍一些经典的表示，比如对称群、循环群的表示，以及它们在不同领域的应用。我希望这本书不仅能让我理解“是什么”，更能让我明白“为什么”。为什么我们需要学习表示论？它解决了什么问题？它带来了什么样的启示？如果这本书能在我脑海中构建起一个关于表示论的清晰图景，让我能够用它来思考和解决一些数学问题，那么它就是一本成功的教科书。
评分更適合初學者
评分更適合初學者
评分通过修改具体的例子得到抽象模型的结构。弗罗贝尼乌斯互反定理：限制和诱导是一对伴随的函子，类比hom和张量是一对伴随函子。表示论的困难一在于其定义就是双对象也就是范畴或者是模，而不是过去的单个对象（或者是向量空间或者线性映射）；其次，在于不同的代数结构之间的关系和转换，表示论和范畴，模自然关联：群表示论是非交换环上模的特例，有限群是半单代数的特例，而半单代数通过wedderburn定理可以同构于可除代数（矩阵是其特例），通过修正矩阵代数中的Jordan正则形式可以得到李代数的抽象分解：直和+幂零（可解）代数。诺特发现代数这个简化的环结构，用群代数的模等价于有限群表示。群的正规表示就是把群代数看做自身的左模 不可约表示 就是群代数模是单的。杨氏表 是构造对称群的不可约表示的显示基底
评分通过修改具体的例子得到抽象模型的结构。弗罗贝尼乌斯互反定理：限制和诱导是一对伴随的函子，类比hom和张量是一对伴随函子。表示论的困难一在于其定义就是双对象也就是范畴或者是模，而不是过去的单个对象（或者是向量空间或者线性映射）；其次，在于不同的代数结构之间的关系和转换，表示论和范畴，模自然关联：群表示论是非交换环上模的特例，有限群是半单代数的特例，而半单代数通过wedderburn定理可以同构于可除代数（矩阵是其特例），通过修正矩阵代数中的Jordan正则形式可以得到李代数的抽象分解：直和+幂零（可解）代数。诺特发现代数这个简化的环结构，用群代数的模等价于有限群表示。群的正规表示就是把群代数看做自身的左模 不可约表示 就是群代数模是单的。杨氏表 是构造对称群的不可约表示的显示基底
评分通过修改具体的例子得到抽象模型的结构。弗罗贝尼乌斯互反定理：限制和诱导是一对伴随的函子，类比hom和张量是一对伴随函子。表示论的困难一在于其定义就是双对象也就是范畴或者是模，而不是过去的单个对象（或者是向量空间或者线性映射）；其次，在于不同的代数结构之间的关系和转换，表示论和范畴，模自然关联：群表示论是非交换环上模的特例，有限群是半单代数的特例，而半单代数通过wedderburn定理可以同构于可除代数（矩阵是其特例），通过修正矩阵代数中的Jordan正则形式可以得到李代数的抽象分解：直和+幂零（可解）代数。诺特发现代数这个简化的环结构，用群代数的模等价于有限群表示。群的正规表示就是把群代数看做自身的左模 不可约表示 就是群代数模是单的。杨氏表 是构造对称群的不可约表示的显示基底
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