具體描述
The primary goal of these lectures is to introduce a beginner to the finite dimensional representations of Lie groups and Lie algebras. Since this goal is shared by quite a few other books, we should explain in this Preface how our approach differs, although the potential reader can probably see this better by a quick browse through the book. Representation theory is simple to define: it is the study of the ways in which a given group may act on vector spaces. It is almost certainly unique, however, among such clearly delineated subjects, in the breadth of its interest to mathematicians. This is not surprising: group actions are ubiquitous in 20th century mathematics, and where the object on which a group acts is not a vector space, we have learned to replace it by one that is {e. g. , a cohomology group, tangent space, etc. }. As a consequence, many mathematicians other than specialists in the field {or even those who think they might want to be} come in contact with the subject in various ways. It is for such people that this text is designed. To put it another way, we intend this as a book for beginners to learn from and not as a reference. This idea essentially determines the choice of material covered here. As simple as is the definition of representation theory given above, it fragments considerably when we try to get more specific.
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用戶評價
從實用性的角度來看，我希望這本書能夠展現錶示論在解決實際問題中的強大能力。雖然它是數學領域的理論，但我相信它絕非空中樓閣。我期待書中能夠包含一些具體的應用案例，例如在密碼學、編碼理論、化學鍵分析、材料科學或者粒子物理學中，錶示論是如何被用來構建模型、分析數據或者解決難題的。我尤其好奇，錶示論是否能夠幫助我們理解某些對稱性結構，並將其轉化為可計算的數學語言。例如，在化學中，分子的對稱性往往決定瞭其光譜性質，而錶示論是否能提供一種係統化的方法來分析這些對稱性？在物理學中，量子態的對稱性又如何與錶示論聯係起來？我希望這本書能夠像一座橋梁，連接起抽象的數學理論和生動的現實世界，讓我看到數學的實用價值和無窮魅力。如果讀完這本書，我能夠運用錶示論的知識去理解一些更前沿的科學問題，或者激發我進一步探索其應用領域的興趣，那將是對我最大的迴報。
评分我對於本書的理論深度和嚴謹性有著很高的期待。雖然它定位是“基本教程”，但我並不希望它過於淺嘗輒止。我希望它能夠清晰地闡述每一個概念的數學定義，並且提供嚴謹的證明過程，即使對於初學者，也能通過細緻的講解理解證明的邏輯。我特彆關注書中對“群錶示”的定義，以及如何通過群的元素和錶示空間中的嚮量之間的作用來定義這種關係。我也希望書中能詳細講解“錶示的直和”和“張量積”這些概念，因為我預感這些是構建更復雜錶示的關鍵。更重要的是，我希望這本書能夠介紹錶示論中的一些基本定理，例如“馬爾可夫定理”或者“舒爾引理”等，並對它們的意義和應用進行深入的闡述。即使證明過程可能需要一定的基礎，但如果作者能夠提供清晰的思路和解釋，我相信即使是初學者也能從中獲益。我還會留意書中是否有關於“酉錶示”的介紹，以及它們在物理學中的重要性。一本好的教程，不僅要講授知識，更要培養讀者的數學思維和嚴謹性。
评分我對於書中關於“李群和李代數錶示”的介紹非常感興趣。我知道這是錶示論的一個更深層次、更抽象的分支，它在量子力學、粒子物理學等領域有著至關重要的作用。我希望這本書能夠為我打開這扇門，讓我能夠初步瞭解李群和李代數的概念，以及它們與錶示論之間的聯係。我期待書中能夠介紹一些典型的李群，比如 $SU(2)$、$SO(3)$ 等，並講解它們的錶示。我希望能夠理解，李代數的伴隨錶示是如何反映李代數本身的結構，以及如何通過李代數的根係和權來構建李群的錶示。我還需要瞭解，如何利用錶示論來理解量子力學中的自鏇、角動量等概念。盡管我知道這是一個非常龐大且復雜的領域，但我希望這本書能夠給我一個清晰的框架，讓我能夠建立起初步的認識，並為我進一步深入學習打下基礎。
评分這本書的排版和章節安排是我非常看重的一點。我希望它能有一個非常閤理的邏輯遞進，從最簡單的群論基礎知識開始，比如群的定義、子群、陪集、正規子群、商群等等，確保我這個初學者能夠紮實地掌握這些基本概念。然後，逐步引入錶示論的核心，我想這會包括錶示的定義、錶示的空間、群同態與錶示之間的關係等。我特彆希望作者能用清晰的圖示或者錶格來輔助說明這些概念，因為有時候抽象的數學定義僅憑文字會顯得非常枯燥和難以理解。我期待書中能有一個章節專門講述“特徵標理論”，因為我聽過這個詞，覺得它聽起來就非常有力量，能夠幫助我們更有效地分析和計算錶示。另外，對於綫性代數的基礎知識，我也希望這本書能夠有所側重，畢竟錶示論與嚮量空間、綫性變換等概念是緊密相連的。如果書中能有專門的章節迴顧或補充必要的綫性代數知識，那將對我這樣背景稍顯薄弱的讀者來說是莫大的福音。最後，我還會留意書中是否有習題，並且希望這些習題能夠覆蓋各個章節的重點，並且由易到難，這樣我纔能在實踐中鞏固所學，檢驗自己的理解程度。
评分我希望這本書能夠讓我感受到一種“數學的和諧”。錶示論將抽象的代數結構與幾何、分析等數學分支聯係起來，形成瞭一個龐大而和諧的數學體係。我期待這本書能夠體現這種數學的統一性。例如，當介紹群錶示時，我希望能夠看到它與嚮量空間的幾何性質的聯係，以及與綫性代數中矩陣運算的對應關係。我希望書中能夠適當地引入一些分析工具，比如希爾伯特空間，來處理無限維錶示。我還會關注書中是否能夠展示錶示論在解決不同數學問題時的普適性，比如在代數幾何、組閤數學等領域，錶示論是否也能發揮作用。我希望通過這本書，我能夠看到數學各個分支之間並非孤立存在，而是相互聯係、相互促進的，而錶示論正是連接這些分支的橋梁之一。這種數學上的和諧感，是我對一本優秀數學教程的最高追求。
评分我非常看重學習過程中的“引導性”和“啓發性”。一本好的教程，不應該隻是知識的堆砌，更應該是一種思維的啓濛。我希望這本書能夠像一位經驗豐富的嚮導，在我探索錶示論的旅途中，不斷給我提示和方嚮。我期待書中能夠包含一些“思考題”或者“小練習”，它們不一定要求給齣詳細的答案，但能夠引導我去思考概念的內在聯係，或者嘗試自己去推導一些簡單的性質。我希望書中能夠有“曆史背景”的介紹，比如錶示論是如何發展起來的，哪些數學傢做齣瞭重要的貢獻，他們的思想是如何影響瞭這一領域的發展。這不僅能增加學習的趣味性，也能幫助我更深入地理解某些概念的由來和意義。我還會關注書中是否有“延伸閱讀”的推薦，如果我想要深入學習某個特定的方麵，能夠有清晰的指引。我希望這本書能激發我的好奇心，讓我不僅僅是為瞭完成任務而學習，而是真正地愛上這個領域，並願意去探索更多。
评分這本書的封麵設計就足夠吸引我瞭，一種沉穩而富有智慧的藍色調，搭配上簡潔大氣的字體，瞬間就勾起瞭我對數學深處奧秘的好奇心。作為一名非數學專業的讀者，我對“錶示論”這個詞匯最初的認知，僅僅停留在它似乎是一個非常高深莫測、與物理學、化學等領域息息相關的分支。拿到這本書，我並沒有期望立刻就能成為錶示論的專傢，但它傳遞齣的“基本教程”的定位，給瞭我莫大的信心。我想象著，這本書會像一位循循善誘的老師，一步步地引導我，從最基礎的概念講起，用清晰易懂的語言，一點點揭開錶示論的麵紗。我尤其期待它能解釋清楚，為什麼抽象的群論概念需要“錶示”的引入，以及這些錶示究竟是如何幫助我們理解和應用群的。我還會關注書中是否有足夠的例子，特彆是那些能聯係到實際應用場景的例子，比如在晶體學、量子力學或者信號處理中，錶示論是如何發揮作用的。我對數學的學習，總是希望能夠看到它的力量和價值，而不僅僅是紙麵上的抽象推導。如果這本書能夠在我心中播下對錶示論的興趣種子，讓我體會到數學的邏輯之美和應用之廣，那麼它就已經非常成功瞭。我更希望的是，這本書能讓我感受到一種“豁然開朗”的愉悅，當我遇到一些在其他學科中似曾相識但又難以名狀的數學結構時，能夠找到“錶示論”這把鑰匙，去解鎖它們背後的原理。
评分我對書中關於“有限群錶示”的介紹充滿瞭期待。Finite group representations 是錶示論的一個重要分支，我瞭解到它在很多領域都有廣泛的應用。我希望這本書能夠詳細地介紹有限群錶示的基本概念，比如錶示的次數、酉錶示的性質，以及不可約錶示的完備性。我尤其希望能看到關於“特徵標”的深入講解，以及如何利用特徵標來判斷錶示的不可約性，以及如何計算錶示的張量積和直和。我想瞭解，如何利用特徵標錶來分析一個有限群的結構，比如它的中心、它的可解性等。我還會關注書中是否會介紹一些特殊的有限群，例如對稱群 $S_n$、交錯群 $A_n$、或者一些著名的簡單散群，並講解它們的錶示理論。我希望這本書能夠為我打下堅實的基礎，讓我能夠理解更復雜的錶示論理論，並為我後續的學習和研究做好準備。
评分我特彆看重本書在數學語言的清晰度和準確性方麵的錶現。雖然它是“基本教程”，但數學的嚴謹性是不可或缺的。我希望書中使用的數學符號和術語能夠規範、統一，並且有清晰的定義。我希望作者能夠用最簡潔、最準確的語言來闡述每一個概念，並且在必要的時刻提供詳細的解釋和說明。例如，當引入“群”或者“嚮量空間”這樣的基本概念時，我希望它能給齣一個清晰且易於理解的定義，而不是直接跳到更復雜的層麵。我也會留意書中是否有對關鍵概念的“直觀解釋”，即使是抽象的數學概念，如果能夠結閤一些比喻或者類比，往往能幫助初學者更好地理解其本質。我希望這本書能夠讓我感受到一種“嚴絲閤縫”的邏輯美，每個定理的證明都滴水不漏，每個概念的引入都有其必然的理由。
评分我期待這本書能為我打開一扇新的數學視角。我一直認為，數學的魅力在於它能夠用簡潔的語言描述復雜的世界。而錶示論，在我有限的認知裏，就是一種將抽象的代數結構“具象化”的工具。我希望這本書能夠教會我，如何將一個抽象的群，通過作用在嚮量空間上的綫性變換來“錶示”齣來。更重要的是，我希望它能讓我理解，不同錶示之間是如何聯係的，它們之間是否存在一種“等價性”的概念，以及如何通過這些錶示來揭示群本身的結構性質。我特彆好奇，在錶示論中，是否有像“不可約錶示”這樣的核心概念，它代錶瞭什麼，又有什麼樣的重要性。我還會關注書中是否會介紹一些經典的錶示，比如對稱群、循環群的錶示，以及它們在不同領域的應用。我希望這本書不僅能讓我理解“是什麼”，更能讓我明白“為什麼”。為什麼我們需要學習錶示論？它解決瞭什麼問題？它帶來瞭什麼樣的啓示？如果這本書能在我腦海中構建起一個關於錶示論的清晰圖景，讓我能夠用它來思考和解決一些數學問題，那麼它就是一本成功的教科書。
评分更適閤初學者
评分更適閤初學者
评分通過修改具體的例子得到抽象模型的結構。弗羅貝尼烏斯互反定理：限製和誘導是一對伴隨的函子，類比hom和張量是一對伴隨函子。錶示論的睏難一在於其定義就是雙對象也就是範疇或者是模，而不是過去的單個對象（或者是嚮量空間或者綫性映射）；其次，在於不同的代數結構之間的關係和轉換，錶示論和範疇，模自然關聯：群錶示論是非交換環上模的特例，有限群是半單代數的特例，而半單代數通過wedderburn定理可以同構於可除代數（矩陣是其特例），通過修正矩陣代數中的Jordan正則形式可以得到李代數的抽象分解：直和+冪零（可解）代數。諾特發現代數這個簡化的環結構，用群代數的模等價於有限群錶示。群的正規錶示就是把群代數看做自身的左模 不可約錶示 就是群代數模是單的。楊氏錶 是構造對稱群的不可約錶示的顯示基底
评分讓newleft幫我把這本書帶到美國真是太明智瞭
评分更適閤初學者
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