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出版者:科学出版社

作者:朱砾

出品人:

页数:188

译者:

出版时间:2011-9

价格:18.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030170675

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 中国
• 2011
• 线性代数
• 矩阵
• 向量
• 行列式
• 特征值
• 特征向量
• 线性方程组
• 向量空间
• 数学
• 高等数学

《空间的低语：几何直观下的数学脉络》 这是一本关于如何“看见”数学的书。它并非一本陈述枯燥定理和冰冷公式的教科书，而是一场邀请读者深入探索数学之美的旅程。我们将一同穿越那些看似抽象的概念，用具象的图形、生动的场景，揭示隐藏在数字背后的深刻内涵。本书的宗旨是，让每一个读者都能在脑海中构建起一幅幅清晰的几何画面，从而理解并掌握那些至关重要的数学思想。 本书的开篇，我们将从最基础的“点”和“线”出发。你是否曾想过，我们所描绘的无数图形，从简单的直线到复杂的曲面，它们是如何在抽象的数学空间中存在的？我们将尝试用一种全新的视角来审视这些基本元素。点，不再仅仅是坐标轴上的一个数值，而是一个具有潜在“方向”和“大小”的微小实体；线，也并非仅仅是方程组的解集，而是无数个“点”在特定规则下的有序排列，它们拥有方向、长度，甚至可以被“拉伸”或“压缩”。我们会通过可视化工具，让你直观地感受到不同“点”的集合如何构成“线”，以及这些“线”如何定义空间中的方向。 随后，我们将步入二维平面，在这里，我们学习如何描述和操纵“向量”。向量，常常被描绘成带有箭头的线段，它不仅指示了方向，更承载着大小的信息。你会在书中看到，平移、旋转、缩放这些我们在现实世界中熟知的操作，在数学上是如何通过向量的加法、数乘以及更复杂的变换来精确表达的。我们将用生活中常见的例子来比喻，比如，从家到公司的路线，可以看作是一个从起点到终点，同时具有距离和方向的向量；而如果你要从公司绕道去超市，那么这段新的路程，就是一个新的向量，与原来的向量相加，就得到了新的总行程。 本书的核心之一，将是“空间”的概念。从我们熟悉的二维平面，我们自然而然地会向三维空间延伸，甚至会想象更高维度的存在。我们会详细阐述“基底”的作用。你可以把基底想象成一套坐标系，它为空间中的所有点和向量提供了一个“参照物”。不同的基底，就像是用不同的尺子和方向来丈量同一个空间，虽然描述方式不同，但空间本身的结构和点与向量之间的关系是不会改变的。我们会通过大量的图示，让你直观地理解，为什么改变基底，就如同更换了观察世界的“滤镜”，让原有的图形发生“形变”，但其内在的数学本质却得以保留。 “线性变换”将是本书的另一大亮点。如果说向量是空间中的“点”和“方向”，那么线性变换就是改变这些“点”和“方向”的“规则”。你会在书中看到，一个看似复杂的图形变换，例如将一个正方形变成一个倾斜的平行四边形，可以通过一个简单的矩阵来描述。我们将深入解析这个矩阵的每一个元素，它们是如何共同作用，将原有的空间进行“拉伸”、“压缩”、“旋转”甚至“坍缩”。我们会用一个形象的比喻：想象你在一张橡皮膜上画了一个圆，然后你用手去拉伸和扭曲这张橡皮膜，圆的形状会发生改变，但它依然是“圆”在变形后的样子，而那个“拉伸和扭曲”的过程，就是线性变换。 本书不会回避“矩阵”这一重要工具，但我们会用一种更加直观的方式来呈现它。矩阵将不再是冰冷的数字排列，而是线性变换的“动作脚本”。我们会通过大量的几何例子，让你看到矩阵是如何对应着空间中的特定变换。矩阵的乘法，也将不再是抽象的运算，而是“变换的叠加”，一个变换接连另一个变换，它们如何共同作用，最终产生一个总体的效果。例如，先旋转一个物体，再将其放大，这个过程就可以用两个矩阵相乘来表示。 “线性方程组”是我们学习代数时常常遇到的问题，但本书会从几何的角度来解读它们。一个线性方程组，在二维空间中，可以看作是两条直线，求解这个方程组，就是在寻找这两条直线“相交”的点；在三维空间中，可以看作是三个平面，求解就是寻找这三个平面“共同相交”的点。你会看到，方程组解的存在性、唯一性，都与这些几何图形的“相交”关系息息相关。无解意味着没有交点，无穷多解则意味着它们可能重合或者交于一条直线。 本书还会触及“特征值”和“特征向量”的概念。这就像是空间中的一些“特殊方向”，当空间发生线性变换时，这些特殊方向上的向量，只会发生“拉伸”或“压缩”，而不会改变方向。我们可以将它们看作是空间在某种变换下的“不变方向”。理解了特征值和特征向量，就如同找到了理解空间变换“内在规律”的关键钥匙。我们会用物理学的例子来解释，比如，一个物体在受到外力作用时，它会发生形变，但总有一些“倾向性”的方向，使得它在形变后依然保持大致的方向不变，这些就是类似特征向量的概念。 “向量空间”的抽象概念，也将通过丰富的几何例子来具体化。我们不会一开始就抛出严格的公理定义，而是通过对点、线、面的几何性质的深入探讨，自然而然地引出向量空间的构成要素。你会发现，我们熟悉的二维平面、三维空间，以及其他更复杂的数学对象，都可以被统一地纳入“向量空间”的框架下，它们共享着相似的“运算规则”和“结构特性”。 本书的语言风格力求通俗易懂，避免使用过于专业或晦涩的术语，除非是必要且有清晰解释的。每一个概念的引入，都伴随着大量的图示和直观的类比，旨在帮助读者建立起清晰的几何直觉。我们相信，数学的魅力在于它的严谨性，但理解它的乐趣，则在于它的可视化和几何化。 《空间的低语：几何直观下的数学脉络》并非旨在成为一本详尽的数学理论手册，而是希望成为你探索数学世界的得力助手。它将帮助你克服对抽象数学的恐惧，让你看到隐藏在数字和公式背后的生动图景，感受数学的逻辑之美和创造之力。阅读本书，你将收获的不仅仅是知识，更是一种看待世界和解决问题的新视角，一种用几何的语言去理解抽象概念的能力。让我们一同开启这场精彩的数学之旅，倾听空间在我们耳边低语的数学真理。

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这本书的叙事风格非常具有个人色彩，读起来有一种和作者进行思想交流的错觉。它不像许多官方教材那样，用一种不带任何感情色彩的语气陈述事实，而是时不时地会流露出作者的“个人偏好”和“教学心得”。比如在处理某些存在多种等价表述的定理时，作者会明确指出哪种表述在后续的更高级别研究中更为常用，或者哪种表述在计算上更具优势，这种“过来人”的经验分享，对我们初学者来说是极其宝贵的“捷径提示”。有时候，当我被一个复杂的证明卡住时，翻到页边注，常常能看到作者用一种非常口语化甚至略带幽默的方式，提示我们应该从哪个角度切入思考，仿佛他正站在我的旁边轻声指导。这种亲切感大大缓解了学习数学的挫败感。它成功地将一门高度抽象的学科，转化为了一场引人入胜的智力冒险。如果说传统教材是冰冷的知识库，那么这本书，无疑是一个温暖且富有洞察力的向导。

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这本书的习题设计简直是教科书级别的典范。它们不是那种为了凑数量而设置的机械计算题，而是真正考验你对概念理解深度的阶梯式挑战。我特别喜欢它在每节课后设置的“概念辨析”部分，里面有些问题非常刁钻，比如要求你找出某个定理的“反例”，或者让你比较两个看似相似但本质上截然不同的矩阵性质。这些题目迫使你必须深入挖掘定义背后的细微差别，而不是停留在表面运算。更棒的是，书的后半部分开始出现的综合应用题，它们往往是将好几个章节的知识点融合在一起，模拟真实的工程或数据分析场景。我花了整整一个周末来攻克其中一个关于图像压缩的例子，虽然过程非常曲折，但当最终解出来时，那种成就感是无与伦比的。此外，书里还附带了一些“历史脚注”，穿插讲述了伽尔瓦、高斯等数学家发现这些理论时的心路历程，这使得原本枯燥的理论变得鲜活起来，充满了人性的探索光辉。这套习题系统，在我看来，是检验和巩固知识的最佳试金石。

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我以前在其他教材上接触过线性代数，但总觉得那些书像是在一本正经地背诵一本字典，概念之间缺乏有机的联系。但这本书完全不一样，它更像是一位经验丰富的老师在耐心地引导你思考。最让我印象深刻的是，它非常强调“为什么”要学这些工具，而不是仅仅告诉我们“怎么用”。比如在讲解最小二乘法时，作者用了整整一个单元的时间来讨论“如何用线性模型去拟合那些看起来毫无规律的真实世界数据”，而不是直接跳到正规方程组。这种将数学工具置于实际问题背景之下的教学方法，极大地激发了我的学习兴趣。每当遇到一个新概念，我总能感觉到它与之前学过的知识点形成了某种精妙的呼应，形成了一个不断自我强化的知识网络。例如，讲到内积空间时，作者自然地将勾股定理和欧几里得几何的知识点串联起来，让人豁然开朗。阅读过程中，我发现自己不再是被动地记忆定义，而是在主动地构建对这个数学体系的理解框架。这种由内而外的逻辑渗透力，是很多其他教材所不具备的，它真的教会了我如何“思考”线性代数。

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这本书的装帧设计非常有格调，封面那种略带磨砂质感的深蓝色调，配上简洁的几何图形，一下子就抓住了我的眼球。我拿到手的时候，首先注意到的就是它的纸张质量，厚实且不反光，阅读起来非常舒服，长时间盯着那些复杂的矩阵和向量推导也不会觉得眼睛很累。更让我惊喜的是，书里对概念的引入处理得非常巧妙。它没有一上来就堆砌晦涩的定义，而是通过一些直观的几何解释来铺垫，比如用平面上的旋转和平移来形象地展示线性变换的本质。记得第一次看到关于特征值和特征向量的那一章，作者没有直接给出公式，而是先通过一个实际例子——比如描述一个系统中能量的稳定模式——让我们对这些抽象概念有了初步的感知。这种由浅入深、注重直观理解的叙述方式，极大地降低了我对这门学科的畏惧感。而且，书中的排版布局也相当用心，公式的编号清晰，定理和引理之间的逻辑链条非常顺畅，即使是跨章节回顾知识点时，也能迅速定位到关键信息。整体来说，这本书从物理形态到内在逻辑构建，都体现出一种对读者体验的尊重，让人愿意沉下心来去钻研里面的内容。

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我必须强调一下这本书在“理论深度”和“教学广度”之间达成的这种微妙平衡。很多教材要么过于侧重于纯粹的理论证明，导致应用性不足，要么就是只讲应用，却对背后的数学原理轻描淡写。这本书却找到了一个完美的黄金分割点。它在讲解完核心概念后，通常会立刻引入一个“视角转换”的环节，比如从行空间视角看，再从列空间视角看，甚至引入对偶空间的概念作为预告。这种多维度的审视，极大地拓宽了我们对向量空间这一核心概念的理解边界。对于我们这些打算将线性代数应用于计算科学或工程领域的人来说，这本书的贡献在于，它不仅仅停留在欧几里得空间，而是稳健地过渡到了抽象向量空间的概念，为我们理解泛函分析和更高级别的数学结构打下了坚实的基础。我能感受到作者的匠心，他似乎在对读者说：“这些基础知识远不止于此，它们是通往更广阔数学世界的桥梁。”这种前瞻性的视野，让这本书的价值远远超出了仅仅作为一门初级课程教材的范畴。

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