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出版者:Princeton University Press

作者:John Milnor

出品人:

页数:340

译者:

出版时间:1974-8-1

价格:USD 85.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780691081229

丛书系列:Annals of Mathematics Studies

图书标签:

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• 庞特里亚金类
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《拓扑学的基石：特征类及其在几何与代数中的深邃联系》 本书深入探索了数学中一个至关重要的概念——特征类。它不仅仅是一个抽象的代数构造，更是理解各种几何对象内在属性和连接不同数学分支的强大工具。本书旨在为读者提供一个清晰、详尽且充满洞察力的视角，来领略特征类的魅力及其在代数拓扑、微分几何、代数几何乃至更广泛的数学领域中所扮演的关键角色。 内容梗概： 本书的旅程始于对拓扑空间的基本概念的重温，为后续的深入探讨奠定坚实的基础。我们将从纤维丛（fiber bundles）的视角出发，这是特征类誕生的自然温床。通过对向量丛（vector bundles）和主丛（principal bundles）的细致剖析，读者将理解为什么需要引入“类”这一概念来描述丛的拓扑性质。 接着，本书将引出Stiefel-Whitney类，这是最基础也是最直观的一类特征类。我们将展示如何通过嵌入拓扑空间到欧几里得空间，并考虑其法丛（normal bundles）来定义这些类。读者将学习到Stiefel-Whitney类如何刻画空间的定向性、可定向性以及其他重要的拓扑不变量。 随后，我们将转向Pontryagin类，它们是与微分流形（differentiable manifolds）上的切丛（tangent bundles）密切相关的特征类。本书将详细介绍Pontryagin类与流形曲率的深刻联系，特别是通过Gauss-Bonnet定理的推广来揭示其几何意义。我们将探索Pontryagin类在判断流形是否可微差分（differentiably equivalent）等问题上的应用。 本书的另一重要部分将集中于Chern类。对于复向量丛（complex vector bundles），Chern类提供了比Stiefel-Whitney类更丰富的分类信息。我们将从复射影空间（complex projective space）入手，构建第一批Chern类，并展示它们如何编码了复流形（complex manifolds）的几何特性。本书还将触及Euler类，并探讨它与Chern类之间的关系，特别是对于复向量丛的Euler类就是Chern类的第一特征类。 为了理解特征类的代数结构，本书将深入介绍上同调理论（cohomology theory）。我们将回顾CW复形（CW complexes）上的奇异上同调（singular cohomology）和胞腔上同调（cellular cohomology），并解释特征类如何被视为上同空间（cohomology groups）中的特定元素。我们将详细阐述Whitney求和公式（Whitney sum formula）和Whitney积公式（Whitney product formula），这些公式是特征类运算的核心，它们揭示了张量积（tensor product）和 Whitney 和（Whitney sum）如何影响特征类。 此外，本书还将探讨Thom类，这是理解特征类作为 Thom 空间（Thom space）上特定类别的关键。我们将介绍 Thom 构造，并说明 Thom 类如何提供了一种统一的框架来定义和理解各种特征类，包括Generalized Kohler-Fulton类。 本书的另一亮点在于展示特征类在其他数学分支中的广泛应用。我们将探讨： 代数几何： Chern类在代数簇（algebraic varieties）上的推广，以及它们在计算黎曼-Roch定理（Riemann-Roch theorem）中的作用。 微分几何： 特征类与流形上的几何结构（如联络、曲率）的联系，以及它们在Morse理论（Morse theory）和Index定理（Index theorem）中的应用。 李群与李代数（Lie groups and Lie algebras）： 特征类与李群的表示论（representation theory）之间的关系，以及它们在流形上的作用。 低维拓扑： 特征类在研究3-流形和4-流形时扮演的角色，例如Donaldson不变量（Donaldson invariants）的构建。 为了使读者能够融会贯通，本书还包含一系列精心设计的例题和练习，涵盖了从基础概念的验证到复杂问题的解决。这些练习旨在巩固读者对理论的理解，并鼓励其独立思考和探索。 本书特点： 循序渐进： 从基础概念出发，逐步深入到复杂的理论和应用。 严谨与直观并重： 在保持数学严谨性的同时，力求提供直观的几何和代数解释。 广泛的联系： 强调特征类在不同数学领域之间的桥梁作用。 丰富的示例： 通过具体的例子来阐明抽象概念，帮助读者建立清晰的认知。 为进阶研究打下基础： 为有志于深入研究代数拓扑、微分几何等领域的读者提供坚实的理论支撑。 《拓扑学的基石：特征类及其在几何与代数中的深邃联系》是一部旨在揭示数学深层结构的著作。它将引导读者穿越抽象的概念，发现特征类在理解世界几何本质中所蕴含的强大力量，并激发其对数学之美的更深层次的欣赏。

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收到这本书，我立刻被它厚重的质感和精美的排版所吸引。我知道“Characteristic Classes”是一个在现代数学，特别是微分几何和拓扑学领域非常核心的概念。它代表了一种量化和描述几何空间“形变”或者“弯曲”程度的有力工具。我非常好奇书中将如何阐述这些抽象的概念，是否会从向量丛和联络的定义开始，逐步引导读者进入示性类的世界。我尤其期待书中能详细介绍不同类型的示性类，例如Chern类、Pontryagin类、Stiefel-Whitney类以及Wu类。我希望能够理解它们各自的构造方法，以及它们在区分不同流形时的作用。书中是否会包含一些经典的例子，比如如何用示性类来证明一些关于球面或者其他空间的定理？我猜想，这本书的深度可能需要读者具备扎实的数学基础，但我相信作者的叙述方式会尽量做到清晰易懂，并辅以必要的图示和直观解释。我更期待的是，书中能否展现示性类在物理学中的应用，比如在规范场论中，示性类是否能与某些物理量产生联系，或者在弦理论中，它们是否能够描述某些重要的结构？这本书无疑是一次深入的数学探索之旅。

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翻开这本书，首先映入眼帘的是密密麻麻的公式和符号，这让我既感到一丝挑战，又充满了一种“硬核”的期待。我知道，这本书所探讨的主题——示性类，在数学界是相当高级和抽象的。它似乎与几何空间的拓扑性质紧密相连，能够量化和描述一个空间的“洞”或者“扭曲”程度。我一直对这些概念感到着迷，因为它们似乎能够揭示我们肉眼无法直接观察到的空间深层结构。我猜想，书中会从示性类的基本定义入手，逐步深入到各种示性类的构造，比如陈类、吴类、斯蒂夫尔类等等，并详细介绍它们的性质和相互关系。我特别期待书中能够提供一些几何直观的解释，虽然数学上的严谨是必需的，但如果能辅以恰当的图示或者类比，将会极大地帮助理解。我很好奇，这些抽象的数学对象，究竟是如何被“定义”出来的？它们的定义背后又蕴含着怎样的数学思想？我隐隐感觉到，示性类在理解微分流形，比如球面、环面，甚至更复杂的空间时，扮演着至关重要的角色。我也希望这本书能展现示性类在代数几何、微分几何和拓扑学之间的桥梁作用，甚至可能触及到它们在物理学中的应用，比如在描述物理场的性质，或者在量子场论中作为某种不变量。这本书的厚度和内容密度，都预示着它将是一次深入的智力探险，我准备好迎接挑战。

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我一直对那些能够揭示空间本质奥秘的数学理论感到着迷。这本书的标题“Characteristic Classes”让我看到了希望。我了解到，示性类是一类非常强大的数学工具，它们可以用来研究流形的拓扑性质，并且在一定程度上反映了流形的几何结构。我非常想知道，作者将如何从最基础的概念开始，引导读者理解这些抽象的概念。我希望书中能够详细介绍各种示性类，比如Chern类、Pontryagin类、Stiefel-Whitney类和Wu类，并且阐述它们之间的联系和区别。我特别想了解，这些示性类是如何被构造出来的，以及它们在分类流形和研究流形同胚不变量方面的作用。我猜想，书中会包含很多严谨的数学推导和定理证明，但我也希望作者能够通过一些直观的例子和图示来帮助读者理解这些复杂的概念。此外，我也对示性类在物理学中的应用非常感兴趣，比如它们是否与规范场论中的一些重要概念有关，或者在弦理论中扮演着怎样的角色？这本书的出现，无疑为我提供了一个深入了解这一重要数学领域的绝佳机会。

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我最近对一些更深层次的数学概念产生了浓厚的兴趣，特别是那些与几何空间的内在属性相关的理论。这本书的标题“Characteristic Classes”正是我近期一直在寻找的。我知道，示性类是数学中一个非常重要的概念，它们能够捕捉流形的拓扑和几何特征，并且具有不变量的性质。我非常期待书中能够系统地介绍各种示性类，例如陈类、吴类、Pontryagin类、Chern类以及Stiefel-Whitney类。我希望能够理解它们的定义、构造方法以及它们之间的相互关系。特别地，我想了解这些示性类是如何从更基本的概念，比如向量丛、联络和曲率中导出的。书中是否会包含一些关于示性类在代数几何、微分几何和拓扑学中应用的具体例子？我猜想，示性类在研究流形的分类、同胚不变量等方面扮演着重要角色。此外，我也非常好奇示性类在物理学中的应用，比如在规范场论中，示性类是否能够用来描述一些重要的物理量，或者在弦理论中扮演什么角色？这本书看起来是一本内容丰富且深入的学术著作，我期待它能为我打开一扇理解更高深数学世界的大门。

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当我看到这本书的名字《Characteristic Classes》时，我的大脑立刻联想到了抽象代数和微分几何的深邃领域。我了解到，示性类是用来描述和分类数学对象（通常是流形或向量丛）的拓扑不变量，它们能够捕捉到这些对象最本质的“特征”。我对此感到非常兴奋，因为这意味着本书将可能深入探讨数学中一些最抽象但又最核心的概念。我非常期待书中能够清晰地阐述不同类型的示性类，例如Chern类、Pontryagin类、Stiefel-Whitney类以及Wu类，并解释它们各自的定义、构造方法以及它们之间有趣的代数关系。我希望作者能够用一种既严谨又不失优雅的方式来呈现这些内容，或许会包含一些经典的数学史料，让我们了解这些概念的起源和发展。我猜想，书中会大量运用到代数拓扑和微分几何的语言，我非常好奇这些抽象的数学构造，在具体的研究中是如何应用的。例如，示性类在研究流形的同伦分类、同调理论以及在代数几何中扮演着怎样的角色？我尤其想知道，这些纯粹的数学概念，是否能在物理世界中找到有趣的对应，比如在规范场论或者量子场论中，示性类是否能作为某种重要的不变量或者导出某些物理现象？这本书对我来说，是一场充满挑战但又极具吸引力的智力冒险。

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自从我开始涉足更高级的数学领域，我就一直对那些能够深入挖掘空间本质的理论充满了探索欲。《Characteristic Classes》这本书的标题，完美地契合了我近期对拓扑学和微分几何中一些核心概念的浓厚兴趣。我了解到，示性类是一类重要的拓扑不变量，它们能够用来区分不同的流形，并且与流形的几何属性密切相关。我迫切地想知道，这本书将如何系统地介绍各种示性类，比如陈类、吴类、Pontryagin类、Chern类以及Stiefel-Whitney类。我希望能够理解它们的精确定义、构造原理，以及它们在分类流形、研究流形的同胚不变量等方面所扮演的角色。书中是否会提供一些关于示性类如何从向量丛、联络以及曲率等概念中导出的详细解释？我猜想，对于那些想要深入理解示性类的读者来说，这本书无疑是一份宝贵的资源，或许会包含一些经典的定理和证明，需要读者具备一定的数学基础。我也非常好奇，这些抽象的数学概念，在现代物理学中究竟扮演着怎样的角色？它们是否与规范场论、弦理论中的某些重要现象或模型有关联？这本书对我来说，是一次对数学深层结构的全面探索。

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这本书的封面设计简洁而有力，银色的字体在深蓝色的背景上熠熠生辉，仿佛蕴藏着宇宙深邃的奥秘。我拿到这本书的时候，就被它散发出的那种严谨而又不失诗意的学术气息所吸引。虽然我并不是数学专业的科班出身，但长久以来，我对数学与物理之间那些微妙而深刻的联系一直充满好奇。听说这本书能深入浅出地探讨拓扑学和微分几何的精髓，尤其是在描述几何空间的内在属性方面，我一直渴望能有一本这样的读物来满足我的求知欲。我特别期待书中能用清晰的语言和直观的例子来解释那些抽象的概念，比如示性类如何捕捉流形的“形变”和“扭曲”，又如何与物理世界中的某些现象产生关联。我猜想，书中应该会涉及许多前沿的理论，比如陈类、吴类，以及它们在现代物理学，特别是弦理论和规范场论中的应用。想象一下，那些看似抽象的数学公式，在作者的笔下，能够转化为描绘宇宙结构和粒子行为的强大工具，这本身就足够令人激动。我希望这本书能够帮助我构建起一个更完整的数学知识体系，让我能够更好地理解那些高深的物理理论，甚至能够从中获得一些全新的视角，去审视我们所处的世界。我非常期待书中能够包含一些历史渊源的介绍，让我了解这些概念是如何一步步发展起来的，以及那些伟大的数学家们是如何在探索中塑造了我们今天的数学世界。

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我一直以来都对数学与物理之间那些精妙而深刻的联系保持着高度的好奇心。这本书的标题“Characteristic Classes”一下子就抓住了我的眼球，因为我知道这个概念在现代数学和理论物理中都占有举足轻重的地位。我了解到，示性类是用来捕捉流形和向量丛的拓扑和几何特征的一类重要的不变量。我非常期待书中能够深入浅出地介绍各种示性类，例如Chern类、Pontryagin类、Stiefel-Whitney类和Wu类。我希望能够理解它们的定义、构造方法，以及它们在区分不同几何对象方面的强大能力。书中是否会提供一些直观的几何解释，或者通过生动的例子来帮助我理解这些抽象的概念？我猜想，这本书的内容可能相当有深度，需要读者具备一定的数学背景，但我相信作者的叙述风格会尽量做到清晰明了，并且会辅以必要的数学工具。我更感兴趣的是，示性类在物理学领域有哪些重要的应用？它们是否能帮助我们理解规范场论中的一些基本原理，或者在弦理论、量子引力等前沿领域发挥作用？这本书无疑为我提供了一个深入探索数学与物理交叉领域奥秘的绝佳机会。

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我一直对那些能够揭示数学结构内在之美的概念深感好奇。这本书的书名《Characteristic Classes》立刻勾起了我的兴趣。我初步了解到，示性类是数学中一类非常重要的拓扑不变量，它们能够量化和描述几何对象（尤其是流形和向量丛）的拓扑和几何性质。我非常期待这本书能够系统地介绍各种示性类，比如Chern类、Pontryagin类、Stiefel-Whitney类和Wu类。我希望能深入理解它们的定义、构造方法，以及它们之间的深刻联系。书中是否会包含一些关于示性类如何从更基本的几何概念（如曲率、联络）中产生的解释？我猜想，这本书的阅读需要一定的数学功底，但我相信作者会努力提供一些直观的例子和图示，来帮助读者理解那些抽象的概念。我特别想知道，示性类在研究流形的分类、同胚问题以及在代数几何中的应用。更让我感到兴奋的是，示性类是否能在物理学中找到应用？例如，在量子场论或弦理论中，它们是否能作为描述某些物理量的关键工具？这本书为我提供了一个绝佳的机会，去探索数学中这一重要且迷人的领域。

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我一直以来都对数学和物理交叉领域的书籍情有独钟，特别是那些能够揭示隐藏在自然现象背后的深刻数学结构的书。这本书的标题“Characteristic Classes”立刻引起了我的注意。我了解到，示性类是一类非常重要的拓扑不变量，它们能够用来区分不同的流形，并且与流形的几何性质有着密切的联系。我希望这本书能够详尽地介绍不同类型的示性类，例如陈类、吴类、 Pontryagin 类、Chern 类以及 Stiefel-Whitney 类等等。我尤其感兴趣的是，这些示性类是如何被构造出来的，以及它们在不同数学分支中的作用。比如，我想了解 Chern 类是如何与复向量丛的曲率联系在一起的，以及 Pontryagin 类是如何描述实向量丛的。我猜测，书中会包含大量的定理和证明，并且需要读者具备一定的数学基础，比如微分几何和代数拓扑的知识。但我同时也期待作者能够提供一些直观的解释和例子，帮助读者理解这些抽象的概念。我很好奇，示性类在现代物理学中扮演着怎样的角色？它们是否与某些重要的物理概念，比如规范场论、弦理论或者量子引力有关？我希望这本书能为我揭示这些联系，让我看到数学的抽象之美如何转化为对宇宙运行规律的深刻洞察。

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Milnor的另一本好书，还在做习题中。

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囊括了微分拓扑几乎所有经典的内容，非常清晰；缺点是稍老，continuous的框架稍有过时

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大致扫了下, 习题似乎都挺软...

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囊括了微分拓扑几乎所有经典的内容，非常清晰；缺点是稍老，continuous的框架稍有过时

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囊括了微分拓扑几乎所有经典的内容，非常清晰；缺点是稍老，continuous的框架稍有过时