Introduction to Plane Algebraic Curves pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhäuser Boston

作者:Ernst Kunz

出品人:

页数:305

译者:Richard G. Belshoff

出版时间:2005-8-15

价格:USD 74.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780817643812

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 代数曲线
• Birkhäuser
• 2005
• 代数曲线
• 平面曲线
• 代数几何
• 射影几何
• 复分析
• 代数拓扑
• birational geometry
• 曲线论
• 高等代数
• 数学

《空间几何的维度之旅》 本书是一次深入探索高维空间几何奥秘的旅程，旨在揭示几何学在三维之外的广阔天地。我们将暂时搁置平面代数曲线的特定框架，转而拥抱更为普适和抽象的几何概念，从点、线、面这些基础元素出发，逐步构建起理解更复杂空间结构的理论基石。 第一章：从欧几里得到黎曼——几何的演进与哲学 我们首先会回顾几何学的历史脉络，从古希腊欧几里得的《几何原本》所奠定的公理化体系出发，考察其在平面和三维空间中的辉煌成就。在此基础上，我们将引入非欧几何的思想，特别是黎曼几何的革命性贡献。理解黎曼几何的关键在于其对曲率概念的深刻洞察，以及它如何允许空间在局部表现出非平直的特性。我们将探讨曲率张量在描述空间几何性质中的作用，以及它如何成为理解弯曲空间的关键工具。本章还将触及几何学与物理学、哲学的交叉，思考不同几何范式对我们认识世界的影响。 第二章：拓扑学的视角——不变性的探索 在进入高维空间之前，理解拓扑学的基本思想至关重要。拓扑学关注的是在连续形变下保持不变的性质，比如连通性、孔洞的数量等。我们将学习同胚、同伦等基本概念，并理解它们如何在不改变空间内在结构的前提下进行“拉伸”和“压缩”。通过引入同调论和上同调论的初步概念，我们将看到如何用代数工具来量别拓扑空间。本章将特别强调，拓扑学为我们提供了一种独立于度量和坐标的视角来研究空间，这对于理解高维几何的本质具有深远意义。我们将通过一些经典的拓扑例子，如球面、环面、克莱因瓶等，来直观感受拓扑学的魅力。 第三章：微分流形——光滑空间的框架 微分流形是本书的核心概念之一。我们将从局部胚胎（charts）和坐标映射（coordinate maps）的角度出发，定义光滑流形。流形上的每一点都有一个邻域，这个邻域可以被同胚于欧几里得空间中的一个开集，这使得我们可以在局部进行微积分运算。我们将学习切空间（tangent space）的概念，理解它如何代表了流形在某一点的“局部线性化”结构。切向量场（vector fields）将被引入，并讨论它们在描述流形上的“方向”和“运动”时的作用。本章还将介绍微分形式（differential forms），这是理解流形上积分和微积分的重要工具，并为后续的陈-西恩斯特征类等概念打下基础。 第四章：向量丛与主丛——几何的附加结构 为了更精细地描述流形的几何性质，我们需要引入向量丛（vector bundles）和主丛（principal bundles）的概念。向量丛可以看作是在流形的每一点上附加了一个向量空间，例如切丛（tangent bundle）和余切丛（cotangent bundle）。我们将探讨平凡向量丛（trivial vector bundles）和非平凡向量丛的区别，并理解如何通过截面（sections）来描述向量丛的局部性质。主丛则是在流形的每一点上附加了一个群的陪集空间，它为我们提供了理解联络（connection）和曲率（curvature）提供了更加普适的框架。我们将看到，向量丛和主丛是许多现代几何理论和物理理论（如规范场论）的基石。 第五章：联络与曲率——度量弯曲的语言 在引入了流形和向量丛之后，我们现在可以深入研究“弯曲”的本质。联络（connection）的概念允许我们在流形上“平行移动”向量，从而定义协变导数（covariant derivative）。协变导数描述了向量在流形上如何随着位置的变化而变化。我们将学习里奇联络（ है, the Levi-Civita connection，在黎曼流形上的自然联络），并理解它如何与流形的度量张量（metric tensor）紧密相关。曲率张量（curvature tensor）将被引入，它量化了平行移动的向量路径依赖性，即当向量沿不同路径绕行一圈后，其最终方向的变化。我们将探讨里奇曲率（Ricci curvature）和标量曲率（scalar curvature）等重要几何不变量，它们在描述空间的整体弯曲性质方面起着关键作用。 第六章：黎曼流形上的积分几何——测度和测量 当流形上存在一个度量张量时，我们就拥有了长度、角度和体积的概念，此时我们称之为黎曼流形。本章将探讨黎曼流形上的积分几何，包括如何定义体积元（volume element）以及在流形上进行积分。我们将学习测地线（geodesics），它们是黎曼流形上“最短路径”的推广，并理解测地线的性质与曲率的关系。柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality）在黎曼流形上的推广，以及一些基本的积分几何公式将被介绍。本章还将触及一些与积分几何相关的经典问题，例如测度论在几何中的应用。 第七章：同调论与上同调论的进阶——代数不变量的洞察 在第一章中我们初步接触了拓扑学，在本章我们将深入探讨同调论（homology theory）和上同调论（cohomology theory）的进阶概念。我们将学习奇异同调（singular homology）和胞腔同调（cellular homology）等具体的构造方法，并理解它们是如何将代数对象（如群）与拓扑空间关联起来。本章将重点介绍德拉姆上同调（de Rham cohomology），它将微分形式与拓扑不变量联系起来，特别是德拉姆定理（de Rham's theorem），该定理表明了德拉姆上同调群与奇异上同调群之间的同构关系。我们将看到，这些代数不变量如何能够区分具有不同拓扑结构的流形。 第八章：微分几何中的流形——对物理学的启示 本书的最后一章将探讨微分几何与现代物理学之间的深刻联系。我们将概述广义相对论中如何使用黎曼流形来描述时空，其中度量张量描述了引力场的性质，而曲率则代表了引力的表现。爱因斯坦场方程（Einstein field equations）将被简要提及，说明几何如何与物质和能量相互作用。此外，我们还将简要介绍在规范场论（gauge theory）中，向量丛和主丛（尤其是向量丛和主丛）在描述基本粒子相互作用中的作用。本书的结尾将展望微分几何在其他前沿领域的应用，例如数学物理、计算几何以及人工智能等。 通过对《空间几何的维度之旅》的学习，读者将能够建立起对高维空间几何的直观理解，并掌握分析和描述复杂几何结构的强大工具。本书致力于培养读者独立的几何思维能力，为进一步深入研究数学和物理学的相关领域打下坚实的基础。

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阅读这本书的过程，对我来说更像是一场智力上的长途跋扎，充满了挑战与顿悟的交替。我尤其欣赏作者在处理“奇点”这类棘手问题时的细腻笔触。很多教材在引入奇点时，往往直接给出判别式和一些晦涩的局部性质，让人感到无从下手。但这本书不同，它花费了大量的篇幅，从最简单的自交点开始，逐步过渡到更复杂的尖点和汇合点，并通过一系列精巧的代数计算，展示了局部拓扑结构是如何由高阶导数的零点决定的。我花了几乎一个下午的时间来啃读关于牛顿多面体如何预示曲线性质的那一节，一开始完全摸不着头脑，那些矩阵的运算和不等式的推导让我感到头晕目眩。但是，在作者用一个具体的、低次的三元三次曲线例子进行演示后，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。这说明作者深知读者在学习过程中的思维障碍点，并提前设置了“知识缓冲垫”。当然，对于想深入研究黎曼曲面理论的读者来说，这本书可能显得不够“前沿”，它似乎更专注于代数几何的基础框架和经典理论的扎实奠基，但对于构建一个坚固的理论基石而言，这种“慢工出细活”的态度恰恰是最可贵的。我希望后续能有更多关于模空间的讨论，但目前的叙述已经足够精彩。

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这本书的语言风格带着一种独特的、近乎哲学的思辨色彩。它不是那种冷冰冰的数学公式堆砌，而是充满了对“形式美”和“结构不变性”的赞叹。例如，在讲解贝祖定理（Bézout's Theorem）的几何意义时，作者没有仅仅停留在复平面上的交点数计算，而是深入探讨了射影平面上“无穷远点”如何保证了定理的普适性，这让我开始思考，我们所定义的几何空间，其“完备性”对数学真理的成立是多么重要。这种对概念背后深层含义的挖掘，使得阅读体验远超一般的教科书。我发现自己不仅仅是在学习如何计算曲线的亏格（Genus），更是在思考为什么亏格这个拓扑不变量能够如此精确地被代数方程的次数所决定。书中的证明结构非常严谨，每一步逻辑推导都如同精密的钟表齿轮咬合，几乎没有跳跃或模糊之处。不过，这种严谨性也带来了一点小小的副作用——对于那些更偏爱直观几何图像的读者，可能需要付出额外的努力去“翻译”这些纯粹的代数语言。对于我个人而言，这种挑战是令人愉悦的，它强迫我用更精确的数学词汇来构建我的几何直觉。

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总体而言，这本书成功地架起了一座坚实的桥梁，连接了基础微积分和线性代数知识，与高等代数几何的殿堂。它不是一本速成手册，而更像是邀请你进入一个数学“老宅”进行深度考察的导览。它要求读者具备一定的耐心和对抽象思维的接受能力，但回报是丰厚的——它提供的不仅仅是计算工具，更是一种看待几何问题的全新视角。我尤其欣赏作者在引言中提及的，代数曲线如何作为研究更高维度代数簇的基石。这种“放眼未来”的叙述策略，有效地激励了读者超越当前所学的内容，去想象代数几何更广阔的天地。书中没有过多涉及如“模空间理论”或“范畴论”的现代术语，这使得它在二十一世纪的今天依然保持了极佳的阅读价值，因为它教授的是永恒的数学思想，而不是时髦的语言。如果说有什么可以改进的地方，也许是希望作者能在书的最后，附上一份关于“代数几何发展简史”的导读，为读者指明下一步的深入阅读方向，但就其作为一本扎实的基础读物而言，它已经达到了近乎完美的标准。

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让我印象深刻的，是作者在处理曲线的“不变量”概念时所展现出的洞察力。他似乎对哪些性质是“本质的”、哪些是“偶然的”有着深刻的理解。比如，在引入“自同构群”（Automorphism Group）时，作者非常清晰地划分了哪些变换会改变曲线的几何特征，而哪些变换（如线性变换）仅仅是改变了我们在坐标系中的观察角度。这种对“不变性”的关注，是理解代数几何深层结构的钥匙。他没有将这些概念孤立地介绍，而是将它们串联起来，展示了奇点理论、亏格计算、以及自同构群大小之间的内在联系。这像是一张精心编织的网，每一条线索（理论）都指向同一个核心。我个人最喜欢的一章是关于“有理参数化曲线”的讨论，作者非常清晰地展示了如何将复杂的有理函数关系转化为参数方程，这对于处理实际工程或物理问题中遇到的曲线描述非常有帮助。对比我之前读过的几本更侧重于微分几何视角的著作，这本书完全聚焦于代数表示的强大力量，给人一种无比坚实和可靠的感觉。虽然练习题相对保守，但它们的设计目的显然是为了巩固核心概念，而非展示计算技巧的炫技。

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这本书的封面设计，第一眼看过去，就有一种古典而深邃的美感。那种略带磨砂质感的纸张，配上雅致的字体排版，让人立刻联想到数学殿堂里那些跨越世纪的经典著作。我并不是科班出身的数学专业人士，只是对几何学怀有浓厚的兴趣，所以一开始对“代数曲线”这个标题感到有些望而生畏。然而，当我翻开第一章，惊喜地发现作者的叙述方式异常清晰且富有条理。他并没有急于抛出那些令人眼花缭乱的复杂公式，而是耐心地从基础概念入手，仿佛一位经验丰富的向导，一步步带领读者走进这个迷宫般的世界。特别是他对历史背景的穿插描述，让我感觉这不是一本纯粹的理论教材，更像是一部关于人类智慧探索几何边界的史诗。比如，在讲解射影几何的引入时，作者巧妙地将开普勒和笛卡尔的贡献融入叙述，使得原本枯燥的定义变得生动起来，为后续更抽象的讨论打下了坚实的情感和知识基础。这种循序渐进又不失深度的处理方式，极大地降低了非专业人士的阅读门槛，让我有信心继续探索下去。这本书的排版设计也值得称赞，图表的插入时机恰到好处，那些用来阐释复杂交点和奇点的插图，线条流畅，标记清晰，极大地辅助了空间想象力的构建，这是很多同类书籍所欠缺的。

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