第一部分 代數學基礎 1
第一章 集閤和映射 3
§1. 子集的運算. 元素數目的計算 3
§2. 映射和子集的數目的計算, 二項式係數 4
§3. 置換 6
§4. 遞推關係. 歸納法 10
§5. 求和 13
第二章 算術空間和綫性方程組 15
§6. 算術空間 15
§7. 矩陣的秩 18
§8. 綫性方程組 22
第三章 行列式 31
§9. 2 階和 3 階行列式 31
§10. 展開行列式. 歸納定義 32
§11. 行列式的基本性質 33
§12. 按照一行或一列的元素展開行列式 36
§13. 藉助初等變換計算行列式 38
§14. 計算特殊行列式 41
§15. 矩陣乘積的行列式 42
§16. 附加的習題 44
第四章 矩陣 49
§17. 矩陣的運算 49
§18. 矩陣方程. 可逆矩陣 53
§19. 特殊矩陣 58
第五章 復數 61
§20. 復數的代數式 61
§21. 復數的三角式 62
§22. 復數的根. 分圓多項式 65
§23. 藉助復數計算和與積 68
§24. 復數和平麵幾何 70
第六章 多項式 73
§25. 帶餘除法. Euclid 算法 73
§26. 特徵為 0 的域上的單根和重根 75
§27. 在 R 和 C 上的素分解 77
§28. 有理數域和有限域上的多項式 78
§29. 有理分式 81
§30. 插值 82
§31. 對稱多項式. Vieta 公式 83
§32. 結式和判彆式 88
§33. 根的分離 90
第二部分 綫性代數與幾何 93
第七章 嚮量空間 95
§34. 嚮量空間的概念. 基 95
§35. 子空間 98
§36. 綫性函數和綫性映射 103
第八章 雙綫性和二次函數 107
§37. 一般的雙綫性和半雙綫性函數 107
§38. 對稱雙綫性函數, Hermite 函數和二次函數 115
第九章 綫性變換 121
§39. 綫性變換的定義. 像, 核, 綫性變換的矩陣 121
§40. 特徵嚮量, 不變子空間, 根子空間 124
§41. Jordan 標準形及其應用. 最小多項式 129
§42. 賦範嚮量空間和代數, 非負矩陣 134
第十章 度量嚮量空間 139
§43. 度量空間的幾何 139
§44. 伴隨變換和正規變換 146
§45. 自伴隨變換. 二次型化簡到主軸上 150
§46. 正交變換和酉變換. 極分解 153
第十一章 張量 159
§47. 基本概念 159
§48. 對稱張量和斜稱張量 162
第十二章 仿射幾何, Euclid 幾何和射影幾何 165
§49. 仿射空間 165
§50. 凸集 170
§51. Euclid 空間 175
§52. 二次超麯麵 180
§53. 射影空間 186
第三部分 基本代數結構 191
第十三章 群 193
§54. 代數運算. 半群 193
§55. 群的概念. 群的同構 194
§56. 子群. 群的元素的階. 陪集 199
§57. 群在集閤上的作用. 共軛關係 204
§58. 同態和正規子群. 商群, 中心 209
§59. Sylow 子群. 小階群 213
§60. 直積與直和. Abel 群 216
§61. 生成元和定義關係 221
§62. 可解群 225
第十四章 環 229
§63. 環和代數 229
§64. 理想, 同態, 商環 235
§65. 特殊代數類 244
§66. 域 249
§67. 域擴張. Galois 理論 253
§68. 有限域 263
第十五章 錶示論初步 267
§69. 群的錶示. 基本概念 267
§70. 有限群的錶示 272
§71. 群代數和它們的模 276
§72. 錶示的特徵標 280
§73. 連續群的錶示的初始知識 285
答案和提示 289
理論知識 417
§I. 仿射幾何和 Euclid 幾何 417
§II. 二次超麯麵 419
§III. 射影空間 421
§IV. 張量 422
§V. 錶示論初步 423
定義匯總 427
符號錶 437
· · · · · · (收起)