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出版者:中国科学技术大学出版社

作者:刘彦佩

出品人:

页数:458

译者:

出版时间:2008-9

价格:88.00元

装帧:

isbn号码:9787312022753

丛书系列:

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图的拓扑理论 简介 《图的拓扑理论》是一本深入探讨图论及其与拓扑学交叉领域的学术专著。本书旨在为读者提供一个全面而严谨的视角，理解图结构在拓扑空间中的嵌入、映射以及由此衍生的各种拓扑性质。不同于侧重于组合图论或图算法的传统教材，《图的拓扑理论》将目光投向了更抽象、更本质的几何和空间属性，揭示了图作为一种基础的离散结构，如何能够反映和影响其所在拓扑环境的内在特性。 本书的出发点在于认识到，尽管图最初起源于离散数学的抽象建模，但其固有的连接性和结构信息，使其在很多场合下可以被视为“离散的空间”。这种视角促使我们应用拓扑学的强大工具来分析图的性质。拓扑学研究的是在连续变形下保持不变的性质，例如连通性、洞的数量、空间的紧致性等。当我们将图的概念推广到拓扑空间中，或者研究拓扑空间在图上的某种离散化表示时，这些拓扑性质便开始显现出其深刻的意义。 《图的拓扑理论》的核心内容可以概括为以下几个方面： 第一部分：图的拓扑基础 在这一部分，我们首先回顾和建立必要的图论和拓扑学基础。这包括： 图论基本概念的拓扑化： 重新审视图的顶点、边、路径、环等基本元素，并探讨如何将它们置于拓扑空间的框架下。例如，可以将顶点视为拓扑空间中的点，将边视为连接这些点的路径或曲线段。我们将引入“图的拓扑空间”的概念，即由图的顶点集和由边所生成的“邻域”结构定义的拓扑空间。 图嵌入与可嵌入性： 深入研究将图嵌入到不同拓扑空间（如平面、球面、环面等）的问题。我们将分析哪些图可以在给定的二维或高维空间中进行“无自交”嵌入，并引入亏格（genus）等重要概念，它衡量了一个图“穿过”其表面所需的“洞”的数量。本书将详细介绍著名的库拉托夫斯基定理（Kuratowski's Theorem），它提供了判断一个图是否为平面图的充要条件，以及欧拉公式（Euler's formula）在图嵌入中的应用。 图的同胚与同伦： 探索图的拓扑等价性。同胚（homeomorphism）是指两个图可以通过连续的双射和其逆映射相互转换，这在图的拓扑理论中对应着“形状”上的完全等价。同伦（homotopy）则是一种更弱的等价关系，它允许路径的连续变形，对于理解图的“连通性”和“洞”具有重要意义。我们将分析在哪些意义下，两个具有不同组合表示的图可以被认为是“拓扑上相同”的。 第二部分：基于拓扑学的图结构分析 在奠定基础之后，本书将着力于运用拓扑学的视角和工具来分析图的各种结构属性： 图的连通性与拓扑空间： 深入探讨图的连通分量、桥（bridge）、割点（cut vertex）等概念，并将其与拓扑空间的连通性、局部连通性等性质联系起来。我们将分析一个图的拓扑空间表示是否为连通的，以及如何通过拓扑学的手段（如覆盖空间理论）来理解图的更复杂的连通结构。 图的边界与核心： 引入图的“边界”和“核心”的概念，并赋予其拓扑上的意义。例如，一个图的“边界”可以被理解为它在某个拓扑空间中的“边缘”或“限制”。我们将探讨如何利用拓扑学的工具来定义和研究这些抽象的边界结构，以及它们如何影响图的整体属性。 图的度量与测度： 探索将度量概念引入图的研究中，并分析由此产生的拓扑性质。例如，最短路径距离是图论中的一个基本概念，它可以被视为一种离散的度量。我们将研究如何利用拓扑学的概念来理解和泛化这些距离度量，以及它们在分析图的“紧致性”、“直径”等性质时的作用。 图上的流形与同调： 这是一个更高级的专题，我们将探讨如何将图的结构提升到流形（manifold）的层面。例如，一个图的细分（subdivision）或者一个图的“细胞复形”表示，可以被视为一种离散的流形。我们将介绍图的同调（homology）和上同调（cohomology）理论，这些强大的代数拓扑工具可以用来描述图的“洞”和“连通性”，例如，我们可以通过计算图的同调群来确定它的“亏格”或“环度”。 第三部分：图的拓扑理论在相关领域的应用 最后，本书将展示图的拓扑理论在多个相关学科中的实际应用，这些应用不仅仅是例证，更是对理论深度的体现： 神经网络与深度学习的拓扑视角： 探讨如何使用拓扑数据分析（TDA）的方法来理解神经网络的结构和学习过程。例如，利用持久同调（persistent homology）等技术来分析神经网络的“形状”或“连通性”，从而更好地理解其表达能力和泛化能力。 物理学中的图与拓扑： 介绍图的拓扑理论在统计物理、凝聚态物理、量子信息等领域的应用。例如，在研究格点模型（lattice models）、量子纠缠、拓扑序（topological order）等问题时，图的拓扑结构扮演着至关重要的角色。 网络科学中的拓扑结构： 从拓扑学的角度深入分析复杂网络（如社交网络、生物网络、交通网络）的结构特性。我们将探讨网络的“聚类系数”、“平均路径长度”等指标的拓扑意义，以及如何利用拓扑不变量来区分不同类型的网络。 计算几何与计算机图形学： 介绍图的拓扑理论在计算几何问题中的应用，例如，网格重建、表面简化、形状匹配等。拓扑概念在这里用于保证计算结果的鲁棒性和正确性。 读者对象 《图的拓扑理论》面向数学、计算机科学、物理学、工程学等领域的博士生、研究生以及对图的拓扑性质感兴趣的资深研究人员。本书假设读者已经具备扎实的图论基础和基础的拓扑学知识，或者愿意通过附录的简要回顾来弥补相关知识。 本书特色 理论深度与广度并存： 既深入探讨了图的拓扑理论的核心概念和数学证明，又广泛涵盖了其在不同领域的应用。 严谨的数学表述： 采用规范的数学语言和符号，确保理论的准确性和严谨性。 清晰的逻辑结构： 内容组织层次分明，从基础概念到高级理论，再到实际应用，循序渐进。 启发性的思考： 鼓励读者从全新的视角审视图的结构，激发对该领域进一步研究的兴趣。 总而言之，《图的拓扑理论》旨在打开一扇新的窗户，让读者能够以一种全新的、更深层次的方式理解图这一 fundamental 的数学对象。通过融合图论的离散性和拓扑学的连续性，本书将揭示图结构背后隐藏的丰富几何和空间意义，为相关领域的研究和应用提供强大的理论支撑和思想启迪。

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从阅读体验的角度来看，这本书的行文节奏感是相当独特的，它呈现出一种近乎诗歌般的韵律，尽管其内容是冰冷的数学。作者在切换论点时，偶尔会使用一些非常精炼的总结性句子，这些句子像灯塔一样，在你迷失在复杂证明的长路上时，能瞬间把你拉回到宏观的结构上来。我个人特别喜欢它在描述那些极值情况或反例构建时的那种冷静的幽默感，虽然不露声色，但内行一看便知其中妙处。这种行文风格，让原本枯燥的符号运算有了一丝温度和人性的光辉。它不是一本冷冰冰的参考书，更像是一位深谙此道的智者，在用最精确的语言，为你描绘一个完美无瑕的数学宇宙的蓝图。

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初读这本书的感受，就像是进入了一个结构精密的迷宫，每一步的逻辑推进都带着一种不可抗拒的必然性。作者的叙事风格极其克制和严谨，几乎没有多余的叙述或感情色彩，每一个论断都像是经过了千锤百炼的数学证明，直接指向核心。我尤其欣赏作者在引入新概念时的那种步步为营的策略，不是一下子抛出全部的定义和公理，而是通过一系列精心构造的简单例子，逐步揭示出复杂理论背后的内在联系。这种教学方法，有效地避免了初学者在面对大量抽象符号时的畏难情绪。不过，也正因为其高度的纯粹性，对于那些期望有更多历史背景介绍或者与实际工程应用紧密结合的读者来说，可能需要配合其他辅助材料才能更好地理解其深层价值。它更像是一部纯粹的、服务于数学美学的经典著作。

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这本书的装帧设计给我留下了非常深刻的印象。那种厚重的封面，触感细腻，带着一种沉静的学术气息，让人一拿到手就感觉不是那种轻飘飘的流行读物。内页的纸张质量也堪称一流，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到明显的疲劳。排版布局上，作者似乎非常注重读者的阅读体验，大量的图表和公式都清晰地分布在合适的段落旁边，没有出现那种把关键信息挤到角落里的情况。特别是那些复杂的图示，线条流畅，逻辑清晰，即便是初次接触这些抽象概念的人，也能通过视觉辅助快速建立起初步的认知框架。整体来看，出版方在书籍的物理呈现上是下足了功夫的，这种对细节的打磨，无疑为内容的高深性提供了一个坚实而体面的载体，让人愿意捧着它，沉浸到那些严谨的数学世界中去。这本书的物理存在本身，就是一种对知识尊重的体现。

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这本书在理论深度上的挖掘确实是令人叹为观止的。我发现它对某些经典定理的推导过程进行了大量的重新审视和阐述，提出了好几套不同视角的证明方法，这对于已经有一定基础的读者来说，无疑是宝藏级别的资源。例如，在讨论连通性与割集的关系时，书中不仅涵盖了标准的证明路径，还引入了一种基于代数拓扑视角的新颖解读，这极大地拓宽了我对这些基本概念的理解边界。每一章的末尾都有精心设计的习题组，这些习题的难度梯度设置得非常合理，从基础巩固到开放式探索性问题都有涵盖，强制读者必须动手去操作和演算，才能真正内化书中的知识体系。这本书显然不是为速成者准备的，它要求读者投入大量的时间去咀嚼和消化那些密集的数学语言。

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我花了一些时间去对比这本书与其他同类教材在处理相似主题时的差异。这本书最突出的一点，在于它对“结构保持性”这一核心思想贯穿始终的强调。在讨论不同类型的变换和映射时，作者总是将读者的注意力引向那些不变的量和关系，而不是仅仅停留在表面的几何形态变化上。这种深层次的洞察力，使得书中构建的理论体系异常稳固且具有强大的普适性。它仿佛在告诉你，无论你用什么工具去观察这个世界，总有一些底层的、不可磨灭的结构存在。对于有志于从事理论研究的人来说，这本书提供的思维框架，其价值远超具体的计算技巧，它塑造的是一种看待问题的底层视角。

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