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出版者:CRC Pr I Llc

作者:Gross, Jonathan L./ Yellen, Jay

出品人:

页数:800

译者:

出版时间:2005-9-22

价格:usd94.95

装帧:HRD

isbn号码:9781584885054

丛书系列:

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《数学的深层结构：图论及其应用》 导言 在现代科学的广阔图景中，有一门学科以其简洁的语言和强大的解释力，渗透到几乎所有领域，揭示着事物之间错综复杂的联系和内在的组织规律。这门学科便是图论。它不仅仅是数学的一个分支，更是一种思考世界的方式，一种理解系统、网络和关系的通用语言。从交通网络的规划到社交媒体的连接，从生物分子的折叠到计算机算法的设计，图论无处不在，默默地支撑着我们对复杂世界的认知和改造。 《数学的深层结构：图论及其应用》并非一本孤立的学术专著，它致力于将图论这一抽象而优美的数学工具，与现实世界中千姿百态的应用场景相结合，展现其在解决实际问题中的强大力量。本书并非仅仅罗列枯燥的定义和定理，而是以一种探索性的视角，引导读者一步步深入图论的核心，感受其逻辑的严谨与思维的魅力。我们将从最基础的概念出发，逐步构建起图论的理论框架，并在此基础上，展示其如何在工程、计算机科学、生物学、经济学乃至社会科学等多个领域绽放异彩。 第一部分：图论的基石——概念与结构 本书的开篇，将带领读者穿越图论的入门殿堂。我们并非以枯燥的公式轰炸，而是以直观的例子和形象的比喻，来引入图论最核心的概念。 什么是图？ 我们将以最简单的事物作为起点：点（顶点）和线（边）。想象一下城市地图上的各个站点（点）以及连接它们的道路（边），这就是一个最直观的图。我们将详细介绍不同类型的图：有向图和无向图，它们分别代表着单向的联系和双向的互动；加权图和非加权图，边的“重量”可以代表距离、成本、容量等重要信息。 图的构成要素：除了顶点和边，我们还将探讨其他重要的组成部分，例如： 邻接与关联：哪些顶点直接相连？一条边连接了哪些顶点？这些基本的关系构成了图的骨架。 度：一个顶点连接的边的数量，它反映了这个顶点的重要性或活跃度。我们将区分入度和出度，尤其是在有向图中，它们能揭示信息流动的方向。 路径与回路：如何从一个顶点到达另一个顶点？是否存在绕一圈回到原点的路径？路径的长度、最短路径、简单路径等概念，是解决许多实际问题的基础。 连通性：图中的各个部分是否能够相互到达？我们将引入连通分量、强连通分量等概念，它们对于分析网络的鲁棒性至关重要。 图的特殊结构：除了通用的图结构，我们还将介绍一些具有特殊性质的图，它们在理论研究和实际应用中都占有重要地位： 树：一种特殊的无环连通图，以其结构的简洁和高效，在数据结构、层次关系等方面扮演着核心角色。 二分图：顶点可以被分成两类，边只连接不同类别的顶点。这种结构广泛应用于匹配问题，如人才招聘、资源分配等。 平面图：可以在平面上绘制，边不相交的图。它在电路设计、地图绘制等领域有着直接的应用。 图的同构：两个图在结构上是否“相同”，即使它们的顶点和边标记不同。这个问题看似抽象，实则关系到识别重复的模式和结构。 在这一部分，我们强调的不是死记硬背定义，而是通过丰富的插图和生动的例子，让读者对图论的基本概念产生深刻的直观理解。我们相信，扎实的基础是理解后续复杂应用的关键。 第二部分：图论的核心算法——探索与优化 掌握了图论的基本概念后，我们便进入了探索图结构及其性质的算法世界。算法是图论的灵魂，它们将抽象的图模型转化为解决实际问题的有效工具。 遍历与搜索：如何系统地访问图中的所有顶点和边？ 广度优先搜索 (BFS)：如同涟漪扩散，一层一层地探索图，非常适合寻找最短路径（在非加权图中）。 深度优先搜索 (DFS)：如同探险家深入探索，一条路走到黑，在寻找回路、拓扑排序等方面表现出色。 我们将详细分析这两种算法的原理、复杂度，以及它们在图的连通性判断、拓扑排序等问题中的应用。 最短路径算法：在现实世界中，我们常常需要找到“最近”的路线，例如导航软件中的最短路径。 Dijkstra算法：适用于边权为非负数的图，能找到从单个源点到所有其他顶点的最短路径。 Floyd-Warshall算法：能够找到所有顶点对之间的最短路径，尽管计算量更大，但在需要全局最优解时不可或缺。 我们将剖析这些算法的逻辑，并给出在交通规划、网络路由等场景下的实例。 最小生成树算法：在连接所有顶点的情况下，如何选择最少的边，使得总权值最小？ Prim算法：贪婪地逐步构建生成树。 Kruskal算法：同样是贪婪策略，但从边的角度出发。 这两种算法在构建通信网络、管道铺设等问题中有着直接的应用，旨在以最低的成本实现连接。 网络流算法：如何最大化信息的传输量或资源的分配量？ Ford-Fulkerson算法：通过不断寻找增广路径来逐步增加流量，直至达到最大流。 Edmonds-Karp算法：Ford-Fulkerson算法的一个具体实现，利用BFS来寻找最短增广路径。 网络流在资源分配、生产调度、通信网络带宽分配等领域发挥着关键作用。 匹配算法：在二分图中，如何找到最大的匹配，即尽可能多的边，使得任意两条边没有公共顶点？ 匈牙利算法：解决著名的指派问题，在人力资源分配、任务分配等问题中具有重要应用。 我们将展示匹配算法如何在实际场景中帮助我们做出最优的配对决策。 在这一部分，我们将注重算法的逻辑清晰性和效率分析，同时辅以代码示例（伪代码或实际语言实现），帮助读者理解算法的执行过程，并能将其应用于实际问题。 第三部分：图论的应用领域——连接现实世界的桥梁 图论的价值在于其广泛的应用性。本书的第三部分，将带领读者领略图论如何在形形色色的领域中大显身手，解决真实世界的难题。 计算机科学： 数据结构：链表、树、图本身就是重要的抽象数据类型，它们是构建复杂软件系统的基石。 算法设计：图论提供了解决许多计算问题的框架，例如排序、搜索、路径规划、图着色等。 网络与通信：互联网的路由协议、数据包传输、网络拓扑设计都离不开图论。 数据库设计：关系型数据库中的表之间关系可以建模为图。 编译器设计：代码优化、依赖关系分析等常常用到图。 运筹学与管理科学： 物流与交通：最短路径问题、车辆路径问题、网络设计、排队论等。 生产与调度：任务调度、资源分配、项目管理（如PERT图）。 库存管理：供应链网络的优化。 生物学与化学： 蛋白质折叠：蛋白质的结构可以看作是由氨基酸组成的图。 基因调控网络：基因之间的相互作用可以用图来表示。 药物设计：分子结构可以用图来表示，并分析其性质。 代谢通路：生物化学反应网络。 社会科学与信息传播： 社交网络分析：分析人际关系、信息传播、社区发现、意见领袖识别。 谣言传播模型：研究信息在网络中的扩散方式。 交通流量分析：模拟和预测交通拥堵。 其他领域： 电路设计：电路元件之间的连接。 地图绘制与地理信息系统：地理要素之间的空间关系。 推荐系统：基于用户兴趣和商品之间关系的图模型。 在这一部分，我们将选取具有代表性的应用案例，深入剖析图论是如何被用于建模、分析和解决问题的。我们强调的不是仅仅列举应用，而是展示思维方式的转变：如何将一个现实世界的问题抽象成一个图，如何利用图论的工具来找到解决方案，以及如何解释和应用这些解决方案。 结论 《数学的深层结构：图论及其应用》旨在成为一本能够激发读者兴趣，引导读者掌握图论精髓的指南。我们相信，通过对本书的学习，读者不仅能获得扎实的图论知识，更能培养出一种用图论的视角去观察和理解世界的能力。图论的魅力在于其普遍性，它像一把钥匙，能够解锁我们对复杂系统背后逻辑的深入洞察。愿这本书成为您探索数学世界，解决实际问题的有力伙伴。

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从排版和可读性的角度来看，这本书的表现略显保守，甚至可以说有些古板，但这或许恰恰符合其严谨的学术定位。图表的绘制清晰明了，线条和节点的表示法高度统一，这在处理复杂的图结构时显得尤为重要，避免了因视觉混乱而导致的理解偏差。然而，我个人认为，在引入新概念时，如果能增加一些更为多样化的图示案例，尤其是在解释一些非平面图的性质时，或许能进一步提升读者的直观感受。例如，某些涉及三维空间的图嵌入概念，纯文字的描述总让人感觉隔了一层。尽管如此，书中对于术语的定义几乎是无可指摘的精确，没有留下任何模糊地带，这对于进行规范的数学交流和撰写技术文档至关重要。可以说，这本书更像是一部工具书，它的价值在于其内容的确定性和权威性，而非追求花哨的阅读体验。

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这本书的阅读体验，对于那些习惯于依赖直觉和实例来理解抽象概念的读者而言，可能会是一个不小的挑战，但也正是在这种挑战中，蕴含着巨大的收获。它并非那种事无巨细地提供大量生活化比喻的入门读物，而是更偏向于一本严谨的、面向专业人士的参考手册。作者在处理诸如网络流、匹配理论等核心章节时，那种对定理的精确表述和对证明步骤的毫不妥协的逻辑推演，体现出极高的学术素养。我花了相当长的时间去消化其中关于对偶理论的部分，那种层层递进、环环相扣的论证过程，让人不得不放慢速度，反复咀嚼每一个词汇背后的精确含义。虽然有些地方需要借助外部资料进行辅助理解，但这反而促使我主动去探索更广阔的数学图景，将图论与其他分支（比如组合优化）联系起来。这是一本需要“沉下心来磨”的书，它提供的不是即时的满足感，而是长期的智力馈赠。

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我发现这本书在覆盖面的广度和深度上取得了绝佳的平衡。它没有止步于传统的连通性、回路这些基础概念，而是勇敢地深入到了现代图论的一些热门应用领域。例如，在讨论图的着色问题时，作者不仅清晰地阐述了四色定理的背景和意义，还花笔墨探讨了涉及图的嵌入和拓扑性质的更深层次问题。更让我惊喜的是，书中对于一些前沿研究方向的介绍，尽管篇幅不长，但信息密度极高，像是为有志于继续深造的研究生提供了一张精心绘制的“地图”，指明了潜在的研究热点和尚未解决的难题。尽管某些高级主题的论述略显精炼，需要读者具备一定的数学背景才能完全领会其妙处，但这种“惜墨如金”的写作风格，反而让这本书的价值感倍增——它更像是一份经过提纯的知识精华，而不是稀释过的教学材料。

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这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，那种沉稳而又不失现代感的封面，仿佛在诉说着其中蕴含的深刻知识。初次翻阅，便被其清晰的逻辑结构所吸引。作者似乎深谙如何引导读者从最基础的概念逐步迈向复杂的前沿理论。对于一个初学者来说，那些繁复的数学符号和抽象的定义不再是难以逾越的高山，而是被巧妙地拆解成一个个可以理解和掌握的积木。尤其值得称赞的是，书中对图论中一些经典问题的讲解，不仅详尽梳理了历史上的关键突破，还以极其生动的方式阐述了不同证明思路之间的微妙差异。我特别喜欢它在章节末尾设置的那些富有挑战性的习题，它们并非简单的重复操练，而是真正需要你调动全局思维去解决的智力体操，这极大地提升了我的学习兴趣和自我检验的能力。可以说，这本书在构建知识体系的严谨性上，达到了一个非常高的水准，为深入研究打下了坚实的基础。

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这本书最打动我的一点，在于它对“应用”二字的深刻理解和处理方式。它并没有将应用部分割裂开来，当作可有可无的“花边新闻”，而是将理论的推导过程与现实世界的模型构建紧密地结合在一起。我尤其欣赏作者在描述网络优化问题时，如何将图的割、路径寻找等抽象概念，无缝对接于实际的通信网络设计或物流调度场景。这种理论与实践相互印证的写作手法，极大地增强了学习的动力。每当我在理论上感到迷茫时，回头翻阅那些具体的应用案例，总能重新找到理解的支点。这本书成功地证明了，图论绝不仅仅是数学家手中的抽象玩具，而是解决现实世界复杂问题的强大武器。它不仅仅教会了我“是什么”，更重要的是教会了我“为什么”以及“如何用”。

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Nice to beginners

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