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出版者:McGraw-Hill Science/Engineering/Math

作者:[美] Kenneth H·Rosen

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2006-07-27

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780073312712

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• 数学
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《计算的逻辑基石：离散结构与算法设计》 导言：数字时代的隐秘架构师 在信息技术飞速发展的今天，我们每天都在与复杂的软件、高效的网络和精妙的算法打交道。然而，支撑这一切奇迹的底层逻辑和基本结构，往往被隐藏在华丽的应用界面之下。本书《计算的逻辑基石：离散结构与算法设计》旨在深入剖析这些支撑现代计算科学的数学原理，为读者构建一个坚实而全面的理论框架。我们不关注特定的编程语言或商业应用，而是聚焦于那些跨越技术代际、决定计算效率和正确性的核心概念。 第一部分：离散结构的宇宙——集合、关系与逻辑的基石 计算的本质是对有限对象和离散过程的精确描述。本部分将带领读者进入离散数学的初始领域，奠定严谨的思维方式。 第一章：基础逻辑与证明的艺术 计算的可靠性源于严谨的逻辑推理。我们将从命题逻辑开始，系统地探讨联结词、真值表以及逻辑等价性。重点在于谓词逻辑（一阶逻辑）的引入，它允许我们对集合中的个体进行量化描述，这是构建任何正式系统的前提。 随后，我们将深入探讨数学证明的方法论。这不仅仅是逻辑推理的堆砌，更是一种发现和表达数学真理的艺术。我们将详尽剖析直接证明、反证法、数学归纳法（特别是强归纳法和良基性原理的应用）以及构造性证明的内在机制。理解何时以及如何应用这些工具，是区分初级用户和系统架构师的关键分水岭。 第二章：集合论的精微与构造 集合是所有数学对象的容器。本章将从朴素集合论出发，界定集合的定义、表示法以及基本运算（并、交、差、补集）。我们将着重探讨笛卡尔积的构造性意义，它如何将一元概念扩展为多元组，是关系和函数的基础。 一个重要的侧面是集合的势（Cardinality）的概念。我们将区分有限集合与无限集合，并详细阐述康托尔的对角线论证，以此证明自然数集 $mathbb{N}$ 与实数集 $mathbb{R}$ 之间存在本质上的大小差异，引入可数无限与不可数无限的范畴。这不仅是理论上的深刻洞见，也对理解计算模型的能力边界至关重要。 第三章：关系、函数与代数结构的原型 在集合之上，我们需要定义对象之间的联系——即关系。本章将系统分类关系的性质，如自反性、对称性、传递性。我们将重点分析等价关系（Equivalence Relations）及其如何将集合划分为互不相交的等价类，这是数据分块和抽象层次划分的数学基础。 偏序关系（Partial Orders）及其对应的偏序集（Posets）和格（Lattices）的结构，将作为理解层次化数据结构和依赖关系的数学模型。 紧接着，我们将正式定义函数，探讨其单射、满射、双射的特性。双射的逆函数概念，是信息编码和信息可恢复性的核心保证。 第二部分：组合学的艺术——计数、概率与信息的边界 在有限世界中，我们如何精确地计算事件发生的可能性或排列组合的方式？本部分关注离散概率和组合计数。 第四章：精确计数的技术与策略 组合学是算法分析中确定时间复杂度的关键工具。我们将系统地介绍加法原理和乘法原理。随后，我们将深入探讨排列（Permutations）和组合（Combinations）的公式，并区分有重复和无重复情况下的计数问题。 鸽巢原理（The Pigeonhole Principle），看似简单，却是证明某些现象必然存在的有力工具。我们将展示其在数据结构中负载均衡和查找效率分析中的应用。 更高级的主题包括容斥原理，用于解决复杂的重叠计数问题，以及生成函数（Generating Functions），它将离散的序列问题转化为连续域中的代数运算，是解决复杂递归关系的关键桥梁。 第五章：离散概率论基础 我们将计算的视角从确定性推向随机性。本章从离散概率空间的定义出发，讲解样本空间、事件以及概率的公理化定义。重点分析独立事件与条件概率的概念。 贝叶斯定理是逆向推理的数学核心，它在统计推断和机器学习中的作用不可替代。此外，我们将介绍常见的离散随机变量，如伯努利试验、二项分布和泊松分布，并计算其期望值与方差，以量化随机过程的平均行为和波动性。 第三部分：结构化思维——图论与网络模型 图论是描述网络、流程和连接性的最自然语言。它是现代互联网、交通网络乃至社交媒体结构分析的核心数学工具。 第六章：图论的几何与拓扑 本章将正式引入图（Graphs）的概念，定义顶点（Vertices）、边（Edges）以及不同的图类型：有向图、无向图、带权图等。我们将详细研究图的表示方法，特别是邻接矩阵和关联矩阵，这些是实现图算法的底层数据结构。 关键概念包括图的连通性、路径、回路（Cycle）以及图的同构性，后者是判断两个结构是否本质上相同的严格标准。 第七章：图的遍历与连通性算法的数学基础 本部分深入图论的应用，重点关注算法的数学原理。我们将剖析深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）的逻辑结构，并证明它们在遍历和连通性检测中的正确性。 关于连通性的高级话题包括割点（Articulation Points）和割边（Bridges）的识别，这对于网络健壮性分析至关重要。我们还将介绍欧拉路径/回路和哈密顿路径/回路的存在性条件，这些是路径规划问题的理论极限。 第八章：树结构与优化路径 树（Trees）作为无环连通图的特殊结构，是分层数据组织的基础。我们将研究树的性质，如 $n$ 个节点恰有 $n-1$ 条边的特性。 重点将放在最小生成树（MST）问题上。我们将详尽解析普里姆算法（Prim's Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）的贪婪选择策略，并利用数学归纳法严格证明这些贪婪选择能导向全局最优解——最小化网络总成本。 第四部分：代数结构与编码——抽象化的力量 本部分探讨更抽象的代数系统，这些结构是现代密码学和错误检测机制的理论核心。 第九章：代数系统：群、环与域的抽象 我们将从代数结构的四个基本要素（集合、运算、封闭性、满足特定公理）出发，引入群（Groups）的概念。群论描述了对称性和逆运算的存在性。我们将分析循环群、二面体群以及同态映射，理解结构如何在不同层次间保持不变。 随后，我们将扩展到环（Rings）和域（Fields），它们在处理加法和乘法运算时具有更丰富的性质。这些结构为线性代数和抽象代数奠定了基础，并在代数编码理论中发挥关键作用。 第十章：数论基础与应用 虽然数论看似古老，但它是现代公钥密码学（如RSA）的生命线。本章将聚焦于整数的性质：整除性、素数的唯一分解定理。 核心将是模运算（Modular Arithmetic）。我们将系统研究同余关系、欧拉定理和费马小定理，并详细解析扩展欧几里得算法，这是计算乘法逆元、实现加密和解密的基石。本章展示了纯粹的离散数学如何直接转化为具有实用价值的计算工具。 结论：构建严谨的计算思维 《计算的逻辑基石》旨在培养读者对计算世界进行精确、抽象和系统性思考的能力。通过对这些离散结构的深入理解，读者将不仅能“使用”算法，更能理解其“为何”有效，并有能力设计出更优雅、更鲁棒的计算解决方案。这些数学原理是计算机科学领域永恒的知识财富，不受技术潮流的更迭而褪色。

评分☆☆☆☆☆

Discrete mathematics is always the most fun part of computer science, and this book proved it. From the Holmes-styled logic problems to the brain teasing graph theory and algorithms - you name it. Oh, and don't forget the ever-so-beautiful set theory... It'...  

评分☆☆☆☆☆

http://book.douban.com/subject/1231286/ 读这本之前最好先看下离散数学导学 其实很多书没网上说的那么好，很多只是国人崇洋媚外心态作祟而已，如果你第一次看这本可能是失去信心，所以我推荐有前面那本铺垫下，不过前面那本写作风格很像国内的书，不过因为挂着外国的名字，...

评分☆☆☆☆☆

很多时候我们在编程的时候思想都不是那么完善，一直在想为什么会这样，在某一天我看到这本书的时候，我发现它教我们很多思想方法……各种证明方法……各种思考分析的方法……离散书计算机的基础学科……我还是希望大家好好学……虽然你学的时候会发现是很理论性的东西……盗后...  

评分☆☆☆☆☆

终于能够在考研之后静下心来重新阅读这本书。计算机科学专业的人士自然都是在学生时代便听无数老师前辈论述“内功”之重要性。所谓天下武功各式各样。当我们拥有了深厚的内功，则是万变不离其宗，各类武功皆会触类旁通。如果说将每一本计科书籍比作一本武功秘籍。那么我...  

评分☆☆☆☆☆

很多时候我们在编程的时候思想都不是那么完善，一直在想为什么会这样，在某一天我看到这本书的时候，我发现它教我们很多思想方法……各种证明方法……各种思考分析的方法……离散书计算机的基础学科……我还是希望大家好好学……虽然你学的时候会发现是很理论性的东西……盗后...  

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这本书简直像一个引路人，在我迷失在各种抽象概念的海洋中时，为我指明了方向。它不是那种一眼就能看完的速成指南，而是需要静下心来，反复琢磨，才能真正领会其中精髓的著作。我特别喜欢它在介绍证明方法时，那种“由简入繁”的处理方式，从基本的直接证明、反证法，到更复杂的数学归纳法，每一种方法都配有详尽的例子，并且还分析了不同证明方法的优缺点。这让我不再害怕证明，反而开始享受在逻辑的海洋中探索的过程。书中关于关系和函数的部分，让我重新审视了数据结构和算法的设计思路，理解了为什么某些操作在特定结构上效率更高，以及如何通过数学模型来分析和优化它们。此外，书中关于有限自动机和形式语言的部分，也为我理解编译原理和自然语言处理打下了坚实的基础。这本书最吸引我的地方在于，它鼓励读者主动思考，而不是被动接受，很多练习题都非常有挑战性，但解决它们的过程本身就是一种极大的学习和享受。

评分☆☆☆☆☆

这本书就像一本精心打磨的工具书，每一次翻阅都能学到新的东西。我尤其喜欢它对数学概念的清晰定义和严谨阐述，这让我在面对各种复杂的数学问题时，不再感到迷茫。它在讲解图论时，不仅限于理论，还给出了很多实际应用场景的分析，比如网络路由、社交网络分析等，这让我看到了数学在现实世界中的巨大价值。书中关于组合数学的部分，对我来说是一大亮点，它详细介绍了各种计数技巧，比如容斥原理、鸽巢原理等，并且通过大量的例题，让我能够熟练运用这些技巧解决实际问题。我印象特别深刻的是书中关于离散概率的部分，它将概率论的思想与离散结构相结合，为理解随机算法和数据挖掘等领域提供了重要的理论基础。而且，这本书的排版和设计也非常人性化，章节之间的过渡自然流畅，关键概念和定理都得到了突出显示，这使得阅读过程更加高效和愉悦。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是打开了我对数学思维方式的全新视角！作为一名软件工程的学生，我一直觉得数学枯燥乏味，只是为了考试而存在。但这本书彻底改变了我的看法。它不仅仅是关于定理和证明，更多的是关于如何用一种严谨、逻辑化的方式去思考问题。比如，它在讲解集合论的时候，让我第一次真正理解了“关系”和“函数”的本质，而不仅仅是记住那些符号。书中大量的实例，尤其是那些与计算机科学紧密相关的例子，比如图论在网络分析中的应用，或者逻辑在算法设计中的作用，都让我觉得数学不再是遥不可及的抽象概念，而是解决实际问题的强大工具。我特别喜欢其中关于计数原理的部分，虽然听起来很简单，但书中通过各种巧妙的组合和排列问题，让我看到了数学在解决现实世界中的很多“有多少”的问题上的威力。最重要的是，这本书的叙述方式非常有启发性，它不是直接抛出结论，而是引导读者一步步去思考，去发现规律，去构建自己的理解。读完之后，我感觉自己面对复杂问题时，思路变得更加清晰，解决问题的能力也得到了显著提升。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是我学习离散数学道路上的“圣经”，每一次的阅读都是一次深刻的洗礼。它不仅仅是一本书，更像是一位循循善诱的良师益友。我一直觉得抽象数学概念很难理解，但这本书通过生动形象的比喻和层层递进的讲解，将那些看似高深的理论变得触手可及。例如，在介绍图论时，它并没有枯燥地列举定义，而是从生活中的实际例子入手，比如社交网络、交通路线图等，让我立刻就产生了学习的兴趣。书中关于数论的部分，虽然我之前接触不多，但这本书通过清晰的讲解和丰富的例子，让我对素数、同余等概念有了更深刻的认识，并且了解了它们在密码学等领域的应用。最让我惊喜的是，书中还涉及了一些与计算理论相关的知识，比如有限状态机和正则表达式，这让我对计算机的底层运作有了更直观的理解。这本书的优点太多，我很难一一列举，但可以肯定的是，它极大地提升了我解决复杂问题的能力，让我对数学的理解上升到了一个新的高度。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是一本宝藏，对于任何想要深入理解计算机科学理论基础的人来说，都是必不可少的参考。我之前也看过一些离散数学的入门资料，但总觉得不够系统，不够深入。这本书在保持概念清晰易懂的同时，又提供了非常详尽的理论推导和严谨的证明，让我对每个知识点都有了更深刻的认识。我尤其欣赏它在逻辑部分的处理，从命题逻辑到谓词逻辑，循序渐进，讲解得非常到位，让我彻底理解了逻辑推理的规则和力量。在图论的部分，书中不仅介绍了基本的图的概念和性质，还深入探讨了许多经典的图算法，例如最短路径算法和最小生成树算法，并且还给出了详细的伪代码和复杂度分析，这对于我进行算法设计和优化非常有帮助。此外，书中关于组合数学的部分，像生成函数和递推关系，虽然一开始接触时可能有些挑战，但通过书中丰富的例子和逐步深入的讲解，我逐渐掌握了解决这类问题的技巧。总的来说，这本书的内容非常扎实，覆盖面广，而且讲解深入，是学习离散数学不可多得的优秀教材。

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还行吧。教材嘛～～

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参考

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