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出版者:清华大学出版社

作者:Miklos Bona

出品人:

页数:526

译者:

出版时间:2009-11

价格:55.00元

装帧:

isbn号码:9787302213406

丛书系列:

图书标签:

计数组合学
数学
计算机科学
组合数学
数理逻辑7
Matroid
2009
组合数学
计数组合
数学
算法
离散数学
高等数学
计算机科学
数学建模
排列组合
图论

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具体描述

《计数组合学导引》内容简介：The book can be used in 'at least three ways. One can teach a onesemester course from it, choosing the most general topics. One can alson use the book for a two-semester course, teaching most of the text and exploring the supplementary material that is given in form of exercises.If one has already taught a one-semester course using a general Combi-natorics textbook and wants to follow up with a second semester that focuses on enumeration, one may use the last six chapters of this book.The book is also useful for teaching an introductory course for graduate students who do not have solid background in Combinatorics.

There are several topics here that are discussed in detail in an under-graduate textbook for a first time, such as acyclic and parking functions,unimodality, log-concavity, the real zeros property, and magic squares.Therefore, we hope the book will provide a useful reference material for students interested in these topics.

《组合计数方法浅析》本书旨在为读者提供一个清晰、系统且深入的组合计数理论入门。我们不追求罗列海量的公式或技巧，而是着力于讲解组合计数的内在逻辑和核心思想，帮助读者建立起严谨的数学思维，掌握分析和解决组合问题的基本方法。全书内容紧密围绕组合计数学的核心展开。第一章，我们将从最基本的概念入手，如集合、子集、排列、组合等，并辅以大量直观的例子，让读者对这些基础概念有深刻的理解。我们还会探讨集合的基数、笛卡尔积等基本性质，为后续的学习打下坚实基础。第二章，我们将正式引入计数的基本原理——加法原理和乘法原理。这两个原理看似简单，却是整个组合计数学的基石。我们将通过各种生动有趣的实际场景，如安排活动、分发物品、绘制图形等，来展示这两个原理的强大应用能力。理解了这两个原理，读者便能初步尝试解决一些简单的计数问题。进入第三章，我们将深入探讨“容斥原理”。这是一个非常强大且富有技巧性的计数工具，特别适用于处理带有“至少”、“至多”、“都不是”等否定条件的计数问题。我们将详细讲解容斥原理的推导过程，并展示其在数论、图论以及其他组合学分支中的经典应用，如计算素数个数、判断集合的交集大小等。第四章，我们将聚焦于“递推关系”在组合计数中的应用。许多组合问题可以通过将大问题分解为若干个规模更小的相似子问题来解决，而递推关系正是描述这种问题的数学语言。我们将介绍如何建立递推关系，以及求解递推关系的一些常用方法，包括特征方程法、母函数法等。通过对斐波那契数列、卡特兰数等经典递推数列的分析，读者将深刻体会递推方法在解决路径计数、括号匹配、二叉树计数等问题中的威力。第五章，我们将介绍“母函数”这一强大的代数工具。母函数将一个组合问题转化为一个多项式或幂级数的问题，通过对母函数进行代数运算，可以方便地得到组合数的信息。我们将详细讲解普通母函数和指数母函数的构造与性质，并展示如何利用它们来解决诸如背包问题、划分问题、组合数恒等式证明等一系列复杂的计数问题。第六章，我们将探讨“鸽笼原理”（或称抽屉原理）。这个看似朴素的原理，却能导出许多意想不到的结论。我们将阐述鸽笼原理的两种形式，并给出其在证明存在性问题、构造性证明以及一些趣味数学问题中的精彩应用，例如证明是否存在满足特定条件的整数、判断图形的染色是否存在某种性质等。第七章，我们将引导读者认识“ Pólya 计数定理”。这是一个处理带有对称性的计数问题的强大工具。当我们需要对具有相同结构的物体进行计数，并且这些物体可以通过对称操作互相转化时，Pólya 计数定理就能发挥其独特的作用。我们将详细介绍置换群、轨道、固定点等概念，并展示如何利用 Pólya 计数定理来解决诸如给项链染色、给立方体着色等具有高度对称性的计数问题。在全书的编排上，我们力求逻辑清晰，循序渐进。每个章节都以基础概念为起点，逐步深入到更复杂的理论和方法。大量的例题和习题贯穿全书，旨在帮助读者巩固所学知识，并培养独立分析和解决问题的能力。习题的设计既有对基本概念的检验，也有对综合应用能力的提升。本书的读者对象是具有一定数学基础（例如，掌握基本的集合论、函数、代数等知识）的高校学生、研究生以及对组合计数学感兴趣的数学爱好者。我们希望通过本书的学习，读者能够不仅掌握组合计数的技巧，更重要的是能够领悟其中蕴含的数学思想，并将其灵活应用于数学研究和实际问题中。本书的目的是开启一扇门，引领读者进入广阔而迷人的组合计数世界。我们期待它能成为您在这条探索道路上的得力助手。

作者简介

目录信息

前言序致谢第1章基本方法 1.1 何时用加法，何时用减法 1.1.1 何时用加法 1.1.2 何时用减法 1.2 何时用乘法 1.2.1 乘法原理 1.2.2 联合使用几个计数原理 1.2.3 何时不允许有重复 1.3 何时用除法 1.3.1 除法原理 1.3.2 子集 1.4 基本计数原理的应用 1.4.1 双射的证明 1.4.2 项式系数的性质 1.4.3 有重排列 1.5 鸽巢原理评注小结练习题习题解答补充习题第2章基本方法的直接应用 2.1 多重集与合成 2.1.1 弱合成 2.1.2 合成 2.2 集合的划分 2.2.1 第二类斯特林数 2.2.2 第二类斯特林数的递推关系 2.2.3 何时块的数量是不固定的 2.3 整数的分拆 2.3.1 整数的非增有限序列 2.3.2 法勒斯图样及其应用 2.3.3 尝试一下：欧拉五角形数定理 2.4 容斥原理 2.4.1 两个相交的集合 2.4.2 三个相交的集合 2.4.3 任意多个相交的集合 2.5 放球入箱的12类方式评注小结练习题习题解答补充习题第3章母函数 3.1 幂级数 3.1.1 广义二项式系数 3.1.2 形式幂级数 3.2 轻松一刻：解递推关系式 3.2.1 通常母函数 3.2.2 指数型母函数 3.3 母函数的积 3.3.1 通常母函数 3.3.2 指数型母函数 3.4.尝试一下：两个母函数的复合 3.4.1 通常母函数 3.4.2 指数型母函数 3.5 尝试一下：母函数的不同形式评注小结练习题习题解答补充习题第4章排列的计数 4.1 欧拉数 4.2 排列的循环结构 4.2.1 第一类斯特林数 4.2.2 给定类型的排列 4.3 循环结构和指数型母函数 4.4 逆序 4.4.1 关于逆序排列的计数评注小结练习题习题解答补充习题第5章图的计数 5.1 树和森林的计数 5.1.1 树的计数 5.2 图同构 5.3 标号顶点树的计数 5.3.1 森林的计数 5.4 图和函数 5.4.1 非循环函数 5.4.2 停车函数 5.5 何时顶点不能自由标号 5.5.1 有根平面树 5.5.2 二叉平面树 5.6 尝试一下：着色顶点图 5.6.1 色多项式 5.6.2 k色图的计数 5.7 图和母函数 5.7.1 树的母函数 5.7.2 连通图的计数 5.7.3 欧拉图的计数评注小结练习题习题解答补充习题第6章极值组合学 6.1 极图理论 6.1.1 二部图 6.1.2 图兰定理 6.1.3 无圈图 6.1.4 无完全二部图的图 6.2 超图 6.2.1 具有分段相交边的超图 6.2.2 具有分段不可比边的超图 6.3 没有的反面：存在性证明 6.3.1 性质B 6.3.2 排除单色等差数列 6.3.3 有限字母表组成的代码评注小结练习题习题解答补充习题第7章对称结构 7.1 具有对称性的超图 7.2 有限投影平面 7.2.1 尝试一下：质数幂阶的有限投影平面 7.7 纠错码 7.3.1 字的区分 7.3.2 由超图得到的码 7.3.3 完满码 7.4 对称结构的计数评注小结练习题习题解答补充习题第8章组合学中的序列 8.1 单峰性 8.2 对数凹性 8.2.1 对数凹性蕴含着单峰性 8.2.2 积性质 8.2.3 内射的证明 8.3 实零点性质评注小结练习题习题解答补充习题第9章幻方和幻立方的计数 9.1 一个有趣的分布问题 9.2 固定规模的幻方 9.2.1 n=3的情形 9.2.2 对固定n的厅Hn(r)函数 9.3 固定线和的幻方 9.4 为什么幻立方就不同了评注小结练习题习题解答补充习题附录A 数学归纳法 A.1 弱归纳 A.2 强归纳参考文献索引常用记号
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读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计确实很有新意，封面那种深沉的藏蓝配上烫金的字体，在书架上显得格外沉稳大气。我拿到手的时候，首先被它的纸张质感所吸引，那种略带粗粝但又手感温润的纸张，让人忍不住想多翻阅几页。内页的排版也看得出是用心了，字体大小适中，行距留白处理得当，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。不过，我得说，刚开始翻阅时，我对书中的某些插图感到有些困惑，它们似乎更偏向于抽象的几何图形而非直观的示意图，这对于初学者来说，可能需要花更多时间去理解其背后的数学逻辑。特别是关于拓扑结构的部分，如果能配上更具象化的模型图示，想必能让读者更快地抓住核心概念。总体来说，作为一本工具书或者参考读物，它的物理形态和视觉体验是令人愉悦的，但内容呈现的直观性上，仍有提升空间，希望未来的再版能在图文结合上做得更完美一些。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事节奏把握得相当到位，它没有一上来就抛出复杂的公式和定理，而是非常耐心地从历史的演变和实际问题的背景出发，慢慢引导读者进入主题。这种“故事化”的引入方式，极大地缓解了阅读纯粹数学著作时容易产生的枯燥感。比如，它在讲解生成函数的时候，会穿插一些古典概率论中的经典案例，让原本抽象的数学工具立刻变得鲜活起来。然而，我发现这种叙述风格在后半部分略显不足。当内容进入到更前沿的研究课题时，似乎为了保持篇幅的紧凑，讲解的广度大于深度，导致一些更复杂的证明细节被草草带过，读者只能看到“是什么”，却难以完全领悟“为什么是这样”。如果作者能在这部分保持前半部分的细致入微，即使篇幅增加一些也完全值得。总而言之，前半部分的引导极为出色，但后半部分的处理方式显得有些仓促，期望作者能在此后修订中予以平衡。

评分☆☆☆☆☆

我最欣赏这本书的一点是它展现出的那种对数学美学的追求。作者在探讨问题时，总能找到那种隐藏在复杂运算背后的简洁、优雅的结构。阅读过程中，我常常被那些看似复杂的公式经过巧妙转化后所显现出的对称性或简洁性所折服。这种对内在和谐的强调，使得学习过程本身也成为一种智力上的享受，而非单纯的技能训练。然而，这种对“美”的执着，有时也会影响到对“效率”的考量。在某些涉及计算复杂度的讨论中，作者倾向于展示最优雅的证明路径，但这条路径往往不是计算效率最高的。对于需要快速求解大规模问题的应用场景，这种倾向可能需要读者自行甄别和取舍。总而言之，它是一本能够提升读者数学审美境界的佳作，但对于那些以解决实际计算瓶颈为首要目的的读者，可能需要在阅读时保持一份审慎的批判性视角，以平衡理论的优雅与工程的实用。

评分☆☆☆☆☆

从图书馆借阅此书的经历，让我对它的实用价值有了更直观的认识。我观察到，这本书在工程学和计算机科学相关的几个热门研究小组中被频繁传阅，这足以证明其理论在实际应用领域的广泛认可度。特别是其中关于网络流和匹配理论的应用章节，我发现很多业界同行都在密切关注。但有趣的是，尽管理论基础扎实，书中直接指向具体编程实现的例子却相对较少。它提供的更多是算法思想的数学描述，而不是可以直接转化为代码的伪代码或具体的数据结构实现。对于希望立刻将理论知识投入到算法设计中的读者而言，可能需要自行“翻译”和“适配”这些数学语言。因此，我建议这本书可以与一本更偏重于算法实现的配套教材搭配使用，这样理论与实践的结合将更加紧密。这本书更像是一座坚实的理论基石，而非即插即用的应用模块。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的学术深度表示赞赏，它并非那种浅尝辄止的科普读物，而是真正深入到了理论体系的构建层面。作者在梳理基本概念时，那种严谨的逻辑推导过程，简直就像是在进行一场精密的数学证明的展览。我尤其欣赏它对于“公理化方法”的坚持，书中每一步的论述都有坚实的基础支撑，很少出现那种为了叙述方便而采取的“跳跃式”讲解。不过，也正是这种极度的严谨性，给非数学专业背景的读者设置了一个不小的门槛。例如，在处理一些高级组合结构时，如果读者对群论或抽象代数的基础知识储备不足，读起来会感到吃力，需要反复查阅前置知识点。我个人建议，如果能增加一个“预备知识快速回顾”的附录，或者在关键的数学工具出现时做简要的背景补充，将更有利于跨学科读者的友好度。这本书无疑是为有志于深入研究的读者准备的“硬核”教材，适合作为专业课程的参考书目，但可能不太适合作为零基础入门的启蒙读物。

评分☆☆☆☆☆