Hyperbolic Partial Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society/Courant Institute of Mathematical Sciences

作者:Peter D. Lax

出品人:

页数:217

译者:

出版时间:2006-12-12

价格:USD 33.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821835760

丛书系列:Courant Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

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双曲偏微分方程：理论、方法与应用 双曲偏微分方程（Hyperbolic Partial Differential Equations, HPDEs）是数学和物理学中一类至关重要的方程。它们描述了许多自然现象的传播特性，例如波的传播、流体的动力学行为以及电磁场的动态演变。本书旨在为读者提供一个全面而深入的理论框架，涵盖双曲偏微分方程的经典理论、现代数值方法以及在各个科学和工程领域的广泛应用。 第一部分：理论基础 本部分将系统地介绍双曲偏微分方程的基本概念和理论。首先，我们将从二阶双曲方程入手，深入探讨其分类、特征线理论以及基本解的存在性和性质。通过对特征线方程的分析，我们将理解信息如何在双曲系统中传播，并建立起理解更复杂问题的基础。 随后，我们将转向一阶双曲方程组，特别关注守恒律（Conservation Laws）及其解决方案的性质。我们将详细介绍黎曼问题（Riemann Problem）的解法，包括其构造思路、熵条件（Entropy Conditions）以及弱解（Weak Solutions）的概念。这些内容对于理解激波（Shocks）、膨胀波（Rarefaction Waves）等非线性现象至关重要。 此外，本部分还将涉及双曲方程的适定性（Well-posedness），包括解的存在性、唯一性和稳定性。我们还将介绍几种重要的概念，如熵方程（Entropy Equations）、弱解的性质以及解的奇点形成（Singularity Formation）等。这些理论工具为分析和理解双曲方程的复杂行为提供了坚实的数学基础。 第二部分：数值方法 鉴于许多双曲偏微分方程无法获得精确解析解，发展有效的数值方法显得尤为重要。本部分将全面介绍当前主流的双曲偏微分方程数值求解技术。 我们将从经典的有限差分方法（Finite Difference Methods）开始，重点介绍迎风格式（Upwind Schemes）、Lax-Friedrichs、Lax-Wendroff等方法。我们将分析这些方法的截断误差、稳定性和相容性，并讨论如何通过构造高分辨率格式（High-Resolution Schemes）来处理解中的不连续性。 接着，我们将深入探讨有限体积方法（Finite Volume Methods）。该方法基于积分守恒律，能够很好地保持物理量的守恒性，因此在流体力学等领域得到了广泛应用。我们将详细介绍通量分裂（Flux Splitting）、黎曼求解器（Riemann Solvers）以及限制器（Limiters）等关键技术，以确保数值解的鲁棒性和精度。 此外，我们还将介绍有限元方法（Finite Element Methods）在双曲问题上的应用，特别是 Petrov-Galerkin 方法以及其推广形式，如 Discontinuous Galerkin (DG) 方法。DG 方法以其局部化性质、高阶精度和处理复杂几何的能力而备受关注。我们将详细介绍 DG 方法的离散化过程、数值积分以及边界条件的处理。 最后，本部分还将触及一些先进的数值技术，例如谱方法（Spectral Methods）和谱元方法（Spectral Element Methods），它们在某些问题上能提供极高的精度。我们还将讨论自适应网格细化（Adaptive Mesh Refinement, AMR）和多分辨率分析（Multiresolution Analysis）等技术，以提高计算效率和处理局部精度需求。 第三部分：应用领域 双曲偏微分方程在众多科学和工程领域都扮演着核心角色。本部分将通过具体的案例，展示双曲方程在不同领域的应用。 流体力学： 我们将深入探讨可压缩流体动力学（Compressible Fluid Dynamics），如Navier-Stokes方程（对于某些情况双曲性质显著）及其简化形式，以及 Euler 方程。我们将分析激波管问题（Shock Tube Problem）、高超声速流动（Hypersonic Flows）以及边界层（Boundary Layers）等经典问题，并展示如何利用双曲方程的数值方法来模拟这些现象。 气体动力学： 本部分将聚焦于气体动力学中的双曲方程，例如 Boltzmann 方程（在某些近似下表现出双曲特性）以及其宏观近似。我们将探讨气体动力学的基本原理，以及如何模拟气体在不同条件下的行为。 电磁学： Maxwell 方程组是描述电磁场传播的基本方程，其在空间域上具有双曲性质。我们将探讨 Maxwell 方程的数值求解，以及在光学、天线理论和电磁散射等领域的应用。 弹性力学： 在某些情况下，弹性力学中的应力波传播和结构动力学问题可以用双曲偏微分方程来描述。我们将介绍波在弹性介质中的传播，以及地震波的模拟。 其他领域： 除了上述主要领域，本书还将简要介绍双曲方程在其他新兴领域的应用，例如交通流模型（Traffic Flow Models）、金融数学中的Black-Scholes方程（在某些衍生品定价中可视为双曲方程的推广）以及医学成像等。 本书的写作旨在为本科生、研究生以及相关领域的科研人员提供一个坚实的理论基础和丰富的实践指导。通过对双曲偏微分方程的深入学习，读者将能够更好地理解和解决现实世界中的复杂问题，并为未来的研究和开发打下坚实的基础。

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这本书的作者在序言中提到，他希望通过这本书，让更多的读者能够理解双曲偏微分方程的精妙之处。他用了大量的篇幅来介绍双曲几何的历史发展，从高斯、黎曼到庞加莱，每一个名字都代表着一个时代的数学革新。我对作者在梳理历史脉络时所展现出的严谨态度和深厚学识深感钦佩。他对不同数学学派的观点和争议进行了深入的剖析，让读者在学习数学知识的同时，也能感受到数学思想的碰撞与演进。

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这本书的排版设计也值得称赞。清晰的字体、合理的行间距以及精美的插图，都为阅读体验加分。每一页都经过精心设计，使得学习过程更加轻松愉快。我尤其喜欢书中对数学公式的排版，它们清晰、规范，并且容易识别，这对于理解复杂的数学推导至关重要。这本书的整体品质，无愧于其高水准的学术内容。

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在解决问题的技巧方面，这本书也提供了许多宝贵的建议。作者在介绍每一种解法时，都会详细分析其适用范围和优缺点，并提供了一些实用的数值模拟方法。他鼓励读者积极思考，尝试不同的解题思路，并且不要畏惧复杂的计算。书后提供的习题也具有很高的挑战性，既有理论性的证明题，也有需要动手计算的应用题，能够有效地检验读者的学习成果。

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在学习过程中，我发现这本书的一个显著特点是其严谨的数学推导过程。作者对于每一个定理和引理都给出了详尽的证明，并且逻辑清晰、条理分明。我尤其欣赏作者在讲解复杂推导时，会适时地插入一些背景知识的补充，或者对关键步骤进行强调，这使得读者在跟进推导时不会感到困惑。他还巧妙地运用了一些辅助定理和性质，将复杂的证明分解为一系列可管理的步骤，让学习过程充满了成就感。

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这本书的封面设计极具吸引力，深邃的蓝色背景中，流动的曲线交织出复杂的几何图案，让人联想到宇宙的深邃与数学的优雅。我刚拿到这本书时，就被它所散发出的学术气息深深吸引。作为一名数学爱好者，我对非欧几何和偏微分方程有着浓厚的兴趣，而“双曲偏微分方程”这个标题，立刻激起了我探索其中奥秘的强烈愿望。这本书不仅仅是一本教科书，更像是一扇通往全新数学世界的窗户。

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这本书的内容不仅仅局限于理论的阐述，更包含了大量实际应用的案例。作者通过分析诸如声波传播、流体动力学以及广义相对论中的某些现象，展示了双曲偏微分方程在各个领域的广泛应用。我特别被其中关于超音速流动的分析所吸引，作者用双曲方程的语言解释了激波的形成和传播机制，这对于我理解空气动力学中的一些前沿问题非常有帮助。

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总体而言，这本书为我打开了认识双曲偏微分方程世界的大门。它不仅在理论上进行了深入浅出的讲解，更在应用层面提供了丰富的案例和实用的方法。我相信，这本书将成为我数学学习道路上的重要里程碑，并且会对我未来在相关领域的研究提供重要的理论支持和实践指导。我迫不及待地想继续深入探索这本书的更多精彩内容。

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我必须承认，这本书并非易读之作。其中涉及的数学概念和推导过程对于初学者来说可能具有一定的难度。然而，正是这种挑战性，才使得学习过程充满意义。作者在书中多次强调了耐心和坚持的重要性，鼓励读者在遇到困难时不要放弃，而是要多花时间去理解和消化。我个人认为，这本书更适合那些已经具备一定数学基础，并且对双曲偏微分方程有强烈求知欲的读者。

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这本书的语言风格非常独特。作者善于运用形象的比喻和生动的叙述，将抽象的数学概念形象化。例如，在解释双曲空间的“无穷远”时，他用“一个永远无法抵达的海岸线”来形容，这种生动的描述立刻让我对这个概念有了深刻的理解。他的文笔流畅而富有感染力，使得阅读过程不仅仅是知识的获取，更是一种精神的享受。

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翻开书的第一个章节，我被作者精炼而富有洞察力的语言所吸引。他从最基本的概念入手，循序渐进地讲解了双曲空间的几何性质，包括测地线、曲率以及各种度量张量的定义。作者通过大量的几何直观图示，将抽象的数学概念变得生动易懂，让我能够轻松地在脑海中构建出双曲空间的图像。尤其是对罗氏几何的详细阐述，让我对平行公理的“叛逆”有了全新的认识，也为理解双曲偏微分方程的独特性奠定了坚实的基础。

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