微分几何例题详解和习题汇编 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:陈维桓

出品人:

页数:317

译者:

出版时间:2010-1

价格:20.00元

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isbn号码:9787040187731

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《流形与张量：现代数学的基石》 本书旨在深入探索微分几何的核心概念，为读者构建一个坚实的理论框架，并引导其掌握解决实际问题的能力。我们将从“流形”这一基本概念出发，详细阐述其拓扑性质、光滑结构以及在不同空间中的表现形式。通过对切空间、向量场、微分形式的深入剖析，读者将理解流形上微积分的精妙之处。 第一部分：微分流形理论基础 拓扑空间与度量空间复习： 在进入微分几何的殿堂前，本章将快速回顾拓扑空间和度量空间的基本概念，包括开集、闭集、紧集、连通集、完备性等，为后续流形定义的严谨性奠定基础。 流形定义与构造： 从局部欧几里得空间的视角出发，清晰定义光滑流形。我们将详细介绍如何从局部构造全局流形，例如球面、环面、射影空间等经典例子，并通过图示和实例帮助读者建立直观感受。 坐标系与图册： 深入探讨流形上的局部坐标系和图册概念，以及不同图册之间的光滑过渡映射（同胚与微分同胚）。重点讲解坐标变换的规则及其在张量运算中的作用。 切空间与向量场： 本章将严谨地定义流形上的切空间，并阐释切向量的本质——作用于光滑函数的导数算子。我们将详细讨论向量场，包括其线性性、光滑性以及向量场之间的运算，如李括号。 微分形式与外微分： 引入微分形式的概念，从0-形式（函数）到n-形式，详细讲解外积、收缩积等运算。重点阐述外微分算子，并证明其满足莱布尼茨法则和$d^2=0$的重要性质。 子流形与嵌入： 探讨流形之间的映射，特别是单射、满射、同胚和微分同胚。详细讲解子流形的定义、切空间与诱导度量，以及高维空间到低维空间的嵌入定理。 第二部分：黎曼几何与曲率 黎曼度量与度量张量： 引入黎曼度量的概念，它赋予流形以距离和角度的概念。我们将详细讲解度量张量，以及它如何定义流形上的长度、角度、体积和体积形式。 联络与协变微分： 在度量张量的框架下，引入联络的概念，它允许我们在流形上“平行移动”向量。重点讲解 Levi-Civita 联络，并推导其具体表达式。协变微分将作为核心工具，用于处理向量场和张量的微分。 曲率： 本章将深入探讨黎曼几何的核心——曲率。我们将定义曲率张量（Riemman张量），并从不同角度分析其含义：截面曲率、Ricci曲率和标量曲率。通过对曲率的分析，揭示流形在弯曲程度上的信息。 测地线： 定义测地线作为流形上“最短路径”的推广，并阐述其与联络的关系。我们将讨论测地线的存在性、唯一性以及指数映射，这对于理解流形上的距离和几何结构至关重要。 等距映射与等距群： 探讨保持流形距离的映射——等距映射。我们将分析等距映射的性质，以及流形的等距群，这有助于理解流形的对称性。 第三部分：张量分析与应用 张量的表示与运算： 严谨地定义张量作为多线性映射，并详细介绍张量的协变分量和逆变分量。重点讲解张量加法、数乘、张量积、收缩积等基本运算。 爱因斯坦求和约定： 介绍爱因斯坦求和约定，它极大地简化了涉及张量指标的运算，是后续计算的关键。 度量张量与逆变张量： 运用度量张量进行指标的升降，定义逆变张量，并阐述其与协变张量之间的关系。 张量微分： 详细介绍协变微分在张量上的应用，包括协变微分的计算规则，以及曲率张量、Ricci张量等关键张量的协变微分。 张量分析在物理中的应用： 本章将展示张量分析在物理学中的重要应用，例如： 狭义相对论： Minkowski 时空的度量、四维向量（位置、动量、力）及其洛伦兹变换。 广义相对论： 流形作为时空的描述，度量张量描述时空几何，引力场方程（Einstein场方程）的形式及其含义。 电动力学： 电磁场的张量表示（电磁张量）、Maxwell方程组的协变形式。 风格与特色： 本书力求理论严谨与直观理解并重。每一概念的引入都伴随着清晰的定义、详实的证明和易于理解的例子。书中穿插了大量的图示，帮助读者建立对抽象概念的具象化认识。在涉及具体计算时，我们会逐步演示，帮助读者掌握核心技巧。此外，本书还强调微分几何作为一种语言，在现代物理学（特别是广义相对论和宇宙学）中的关键作用，激发读者将其知识应用于更广阔的领域。 目标读者： 本书适合数学、物理学以及相关交叉学科领域的研究生、高年级本科生，以及对微分几何有浓厚兴趣的科研人员。尤其适合需要深入理解流形、张量及其在现代物理学中应用的读者。 通过对本书的学习，读者将能够： 熟练掌握微分流形的基本概念和理论工具。 理解黎曼度量、联络和曲率的核心思想。 运用张量分析解决几何和物理问题。 建立微分几何在现代物理学中的坚实联系。

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老实说，我最初选择这本书，很大程度上是被它“例题详解”和“习题汇编”这两个关键词所吸引。我一直觉得，数学的学习，尤其是在像微分几何这样抽象的领域，光有理论是远远不够的，必须通过大量的练习和对例题的深入剖析，才能真正掌握。这本书在这方面做得非常出色。它不像一些教材那样，理论讲完就撒手不管，而是紧随其后，提供了一系列高质量的例题。这些例题的难度梯度设计得非常合理，从最基础的曲线参数化、曲率计算，到更深入的测地线、曲率张量等，都包含了。而且，每一道例题的解答都异常详细，作者并没有省略任何关键的步骤，甚至对于一些容易出错的计算细节，也做了特别的提示。我尤其喜欢书中对于一些核心概念（比如曲率、挠率、联络等）的例题，它通过具体的计算，将抽象的定义具象化，让我不再对这些概念感到模糊。比如，在讲到曲率张量时，书中通过计算一个具体的曲面（比如球面、柱面）的曲率张量，并解释了张量中的每个分量所代表的几何意义，这比单纯的文字描述要直观和深刻得多。此外，更让人称道的是，这本书的习题汇编部分。题目数量庞大，涵盖面广，而且很多题目都具有挑战性，能够激发你去思考和探索。更重要的是，作者在很多习题后面都给出了解答思路或者提示，即使是那些我认为非常困难的题目，也能通过这些提示找到突破口，而不是感到完全无从下手。这种“有梯度”的习题设置，以及“有提示”的解答模式，让我感觉这本书真的在帮助我成长，而不是仅仅在给我增加负担。

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坦白说，我购买这本书的主要目的是为了解决我在学习微分几何过程中遇到的实际问题，特别是那些复杂的计算和理论推导。这本书的“例题详解”部分，完全满足了我的需求。它不仅仅是简单地给出例题的答案，而是对整个解题过程进行了细致入微的剖析。作者在展示计算步骤时，会清晰地标明每一步的数学依据，以及可能出现的陷阱。比如，在计算一些曲面的高斯曲率时，书中会详细讲解如何正确选取曲面的参数表示，以及如何利用第一和第二基本形式来简化计算。这种严谨而周全的解析，让我能够从中学习到很多实用的数学技巧和思维方式。我尤其赞赏书中在介绍一些关键概念时，所采取的“由点及面”的策略。例如，在讲解“张量”的概念时，作者首先从向量和余向量的变换入手，然后逐步推广到高阶张量，并通过具体的例子来展示张量的运算。这种循序渐进的教学方式，让我能够很好地理解那些看似抽象的概念。习题汇编部分也提供了大量的练习机会，题目类型丰富，难度适中，能够帮助我巩固和深化对理论知识的理解。我觉得这本书最大的价值在于，它能够帮助我克服学习中的“卡点”，让我能够更自信地去探索微分几何的奥秘。

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从一个初学者的角度来看，这本书最大的优点在于它的“可读性”和“指导性”。很多微分几何的书籍，一开始就充斥着各种抽象的定义和复杂的符号，很容易让人望而却步。而这本书，在开篇就用了相当大的篇幅来解释一些基础概念，并配以大量的几何图形，帮助读者建立起初步的直观认识。例如，在讲解“切空间”时，书中通过曲面上点和切向量的直观图像，让我能够立刻理解切空间的几何含义。这种“先易后难”的处理方式，大大降低了学习的门槛。而且，书中的例题选择都非常具有代表性，它们不仅仅是检验知识点的工具，更是学习方法和技巧的演示。我尤其喜欢书中关于“联络”和“协变导数”的例题，通过具体的计算，将抽象的数学定义转化为具体的几何操作，让我能够清晰地理解联络在曲面上的作用。作者在解答例题时，非常注重逻辑的严谨性和计算的规范性，每个步骤都清晰明了，并且会指出一些容易出错的地方，这对于我这种喜欢按部就班学习的人来说，帮助非常大。习题的设置也非常合理，从基础的练习到有一定难度的综合题，都有涵盖，能够帮助我系统地巩固和提高。总的来说，这本书就像一位耐心细致的导师，一步步引导我走进微分几何的世界，让我不仅学到了知识，更学到了如何去学习。

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当我拿到这本书的时候，我最大的感受就是“内容翔实，体系完整”。从最基本的向量空间和线性映射，到微分流形、张量分析，再到黎曼几何的初步，这本书几乎涵盖了微分几何的所有重要领域。作者在内容的组织上，遵循了由浅入深的原则，每个章节的衔接都非常自然，没有突兀感。我个人非常欣赏书中在介绍新概念时，所采用的“先铺垫，后引申”的方式。比如，在讲解“黎曼度量”时，作者先回顾了内积空间的概念，然后引入曲面上的度量张量，最后才推广到流形上的黎曼度量。这种循序渐进的教学方法，大大降低了理解的难度。更值得称道的是，书中例题的详尽解析。许多例题都涉及复杂的计算，但作者都一一列出了详细的推导过程，并且对其中的关键步骤进行了重点说明。比如，在计算曲面的曲率时，书中会清晰地展示如何计算第一基本形式和第二基本形式，以及如何利用它们来计算高斯曲率和平均曲率。这些详细的解答，让我能够模仿学习，掌握实际的计算技巧。此外，书中还穿插了一些历史背景和理论思想的介绍，这使得我在学习枯燥的数学公式之余，能够感受到数学家们探索这些概念时的智慧和努力。习题汇编部分也非常有价值，题目数量多，覆盖面广，并且很多题目都具有一定的深度，能够激发我去思考和探索。总而言之，这是一本让我感到非常充实和受益匪浅的书。

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从一个读者的角度来说，这本书最大的吸引力在于它的“实用性”和“全面性”。很多微分几何的教材，要么过于理论化，要么过于侧重计算，而这本书在这两者之间取得了很好的平衡。它在提供扎实理论基础的同时，也配备了大量精心设计的例题和习题，能够帮助读者将理论知识转化为实际的应用能力。我非常欣赏书中在介绍新概念时，所采用的“循序渐进”的原则。比如，在讲解“微分流形”时，作者会先从欧几里得空间开始，逐步过渡到更一般的流形概念，并且通过大量的例子来阐释流形的几何性质。这使得我对那些抽象的定义不再感到陌生。更值得称道的是，书中对例题的解析非常详细。作者不仅给出了计算过程，还会对每一步的意义进行解释，并且指出一些容易出错的地方。这使得我在自己尝试做题时，能够更好地理解问题的关键所在，避免走弯路。我尤其记得书中关于“曲率”的例题，作者通过具体的计算，让我深刻理解了曲率与曲面形状之间的关系。习题的设置也非常合理，涵盖了从基础的计算到复杂的证明，能够全面地锻炼我的数学能力。总而言之，这本书为我提供了一个非常好的学习平台，让我在掌握微分几何知识的同时，也培养了解决实际数学问题的能力。

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这本书的价值，在于它不仅仅提供了理论框架，更关键的是，它教会我如何去“思考”微分几何的问题。我之前接触过一些微分几何的教材，它们往往过于侧重形式上的推导，而忽略了概念背后的几何直观。这本书则不同，它在引入每一个新的概念时，都会花费大量的篇幅来解释其几何意义，以及它在整个理论体系中的位置。例如，在讲解“联络”的性质时，作者会用“平行移动”来直观地解释联络的含义，然后才引出协变导数和挠率张量。这种从直观到形式的过渡，让我能够更好地理解这些抽象概念的本质。书中的例题设计得非常巧妙，它们不仅仅是理论知识的简单应用，更是对数学思想方法的集中体现。比如，书中关于“测地线”的例题，不仅仅是计算，更是引导读者理解测地线作为“最短路径”的几何意义，以及它在曲面几何中的重要性。作者在解答例题时，也非常注重逻辑的连贯性和计算的规范性，这对于培养严谨的数学思维至关重要。我尤其喜欢书中对一些“反直觉”结论的解释，比如曲率的定义和性质，作者通过具体的例子，层层剥茧，让我能够理解这些结论的合理性和深刻性。此外，书中的习题汇编也做得非常扎实，题目类型多样，难度适中，能够有效地巩固和检验学习成果。我个人觉得，这本书最出色的地方在于，它能够在我遇到困难时，提供清晰的思路和有效的指导，而不是让我陷入迷茫。

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这本书的封面设计虽然算不上惊艳，但却透露出一种扎实、严谨的气息，这正是学习微分几何所需要的。当我翻开第一页，看到目录时，内心是既期待又有些忐忑的。期待的是能够从基础开始，一步步深入理解微分几何的精髓，而忐忑则是因为我知道这是一门抽象程度较高的学科，稍有不慎就可能迷失在概念的海洋中。然而，在阅读的过程中，我的这种忐忑逐渐被一种豁然开朗的喜悦所取代。作者在引入每个概念时，都辅以大量的图示和直观的解释，这对于我这种更偏向于几何直观理解的学生来说，无疑是雪中送炭。例如，在讲解曲面论时，书中关于曲率的图形演示，以及高斯曲率和平均曲率与曲面形状之间关系的具体例子，都让我受益匪浅。书中对一些经典定理的证明，例如高斯曲率的内禀性，并没有一味地追求数学的严谨和形式化，而是通过一步步的逻辑推导，引导读者理解其背后的思想和方法。这种“授人以渔”的教学方式，让我不仅仅是记住结论，更能理解结论的来源和意义。书中例题的选择也十分恰当，它们涵盖了微分几何的各个重要分支，从曲线的参数表示到曲面的内禀几何，再到黎曼几何的初步接触，每一个例题都经过精心挑选，能够有效地检验和巩固所学知识。更重要的是，作者在解答例题时，不仅给出了详细的计算步骤，还深入分析了每一步的意义，以及可能遇到的陷阱和易错点，这使得我在自己尝试解答时，能够有章可循，避免走弯路。这本书不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的老师，引导我在微分几何的知识殿堂中，一步步探索，一步步领悟。

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在我对微分几何的初探过程中，这本书无疑是我最得力的助手。我一直认为，一本好的数学书，不仅仅是要讲清楚理论，更要能帮助读者“学得会、用得好”。而这本书，恰恰满足了这一点。它的内容组织非常清晰，从最基本的仿射几何概念，到黎曼几何的引言，每一章都循序渐进，层层递进。作者在讲解抽象概念时，总是先给出直观的几何解释，然后才引入严格的数学定义和定理。例如，在讲解“联络”这个概念时，作者用“平行移动”这个直观的例子来引入，并配以精美的插图，让我能够很快地把握住这个概念的核心思想，而不是一开始就被一堆公式所淹没。更令人赞赏的是，书中对每一个重要定理的证明，都经过了精心的设计，既保证了逻辑的严谨性，又力求清晰易懂。我记得在学习“高斯-博内公式”时，书中不仅给出了公式的推导过程，还详细解释了公式中各项的几何意义，以及这个公式在理解曲面整体性质中的重要性。书中提供的例题，也都非常具有代表性，它们不仅是知识点的应用，更是对方法论的示范。比如，在计算一个复杂曲面的黎曼曲率张量时，书中展示了一整套系统化的计算流程，包括如何选择坐标系，如何进行雅可比矩阵和行列式的计算，以及如何利用张量代数来简化计算。这些细致的步骤，让我学到了很多实用的计算技巧。而且，习题的质量也很高，很多题目都不是简单的套公式，而是需要一定的分析和创造力，这极大地锻炼了我的独立思考能力。

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这本书带给我的惊喜，在于它不仅仅是一本“学习资料”，更像是一位“学习伙伴”。在接触微分几何之前，我对这个领域一直存在一种距离感，觉得它抽象且难以理解。但是，这本书的出现，大大地改变了我的看法。作者在内容的组织上，非常注重逻辑的连贯性和概念的引入。他会先用清晰的语言和直观的图示，来解释一些基础概念，例如“向量场”、“微分形式”等，让我能够很快地建立起对这些概念的初步认识。然后，再逐步深入到更复杂的理论，比如“联络”和“曲率”。我尤其喜欢书中对例题的讲解方式，它不仅仅是给出答案，更重要的是，它会展示出思考的过程，以及解决问题的思路。例如，在讲解如何计算一个复杂曲面的“测地线”时，书中会详细地分析如何建立曲面的微分方程，以及如何求解这个方程。这种“手把手”的教学方式，对于我这种需要具体指导的学习者来说，是至关重要的。而且，书中的习题也非常有代表性，它们不仅涵盖了各个知识点，而且很多题目都具有一定的深度，能够激发我去思考和探索。我感觉这本书就像一个引路人，带领我在微分几何的道路上，稳步前行，并且从中获得了许多乐趣。

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我不得不说，这本书在“理论与实践相结合”方面做得非常出色。作为一个对微分几何感到有些畏惧的学习者，我最看重的是书籍能否帮助我将那些抽象的理论转化为具体的计算和应用。这本书在这方面做得让我非常满意。它并没有一上来就抛出大量的公理和定理，而是循序渐进地引导读者进入微积分的世界。尤其是在介绍曲面论的部分，书中对曲面的参数化、第一基本形式、第二基本形式的解释，都非常细致，并且配以大量的图示，让我能够很直观地理解这些概念的几何意义。我印象深刻的是，书中关于曲率计算的例题，每一个步骤都讲解得非常清楚，从如何选取参数，如何计算偏导数，到如何代入公式，甚至一些容易混淆的符号，都做了详细的说明。这使得我在自己尝试做题时，能够有章可循，不易出错。更值得一提的是，书中在讲解一些深层次的概念，如“黎曼几何”时，也并未显得过于艰涩。它通过对一些基本概念的引入，如“度量张量”和“测地线”，让读者能够初步接触到更广阔的领域。习题的设置也非常合理，既有巩固基础的计算题，也有一些需要思考和分析的证明题，能够全方位地锻炼我的能力。我感觉这本书真正做到了“授人以渔”，让我不仅学会了“是什么”，更学会了“怎么做”。

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题目还是少了些。

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我喜欢这纸张和排版。

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