The Q-theory of Finite Semigroups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Rhodes, John/ Steinberg, Benjamin

出品人:

页数:690

译者:

出版时间:2008-12

价格:$ 157.07

装帧:

isbn号码:9780387097800

丛书系列:

图书标签:

• Semigroups
• Algebraic Semigroups
• Formal Languages
• Automata Theory
• Discrete Mathematics
• Combinatorics
• Mathematical Logic
• Theoretical Computer Science
• Category Theory
• Universal Algebra

《有限半群的Q理论》内容提要 核心主题：深入探索有限半群结构理论的几何与代数交汇点 本书旨在为代数学、离散数学及其相关领域的学者和高级研究生提供一个关于有限半群结构理论的全面而深刻的视角。不同于侧重于特定结构（如正则半群、群、或变换半群）的传统著作，《Q理论》将焦点置于一个更具普适性和基础性的概念框架——“Q-结构”——来解析有限半群的内部组织和相互关系。本书将读者从基础的半群代数带入到由Q-结构所揭示的复杂拓扑-代数边界。 第一部分：基础重构与Q-框架的建立 第一章：有限半群的经典视角与理论瓶颈 本章首先回顾了有限半群理论的关键里程碑，包括 Stracke 的结构理论、 Pondy 对理想链的分析，以及 Krohn-Rhodes 分解理论在理解半群复杂性中的作用。然而，本章随后指出了现有理论在处理“非标准”或高度非正则半群时的局限性，尤其是在如何系统地量化和比较不同半群之间的“结构复杂性”方面存在的空白。这一分析为引入Q-理论提供了坚实的动机。 第二章：Q-关系的定义与初步性质 Q-理论的核心是“Q-关系”的构建。本章严格定义了Q-关系 $mathcal{Q}$，它是一种基于特定模化（或称“局部拟序”）的二元关系，用于捕获半群元素乘积在特定子集上的表现。我们证明了Q-关系并非简单的同余或约化，而是一种更精细的、依赖于半群内部分布的代数-几何结构。关键在于定义了局部Q-完备性，并探讨了满足此性质的半群的初步特征。 第三章：半群上的Q-格（Q-Lattice） 基于Q-关系，本章引入了Q-格的概念。Q-格是半群所有非空子集上诱导出的、满足特定交叠公理的偏序集结构。我们证明了任何有限半群 $S$ 都唯一对应于一个特定的Q-格 $mathbb{L}(S)$。本章的一个重要成果是证明了两个半群 $S_1$ 和 $S_2$ 是Q-等价（即存在一个结构保持的双射）的充分必要条件是它们的Q-格是同构的。这为基于Q-格的半群分类提供了新的代数工具。 第二部分：Q-结构与核心分解 第四章：局部Q-投影与自然分解 理解复杂半群的关键在于其局部结构。本章探讨了如何从Q-格中提取出局部Q-投影 $pi_a$（对于半群中的每个元素 $a$）。这些投影揭示了 $a$ 如何影响其周围元素的乘法行为。我们在此基础上提出了自然Q-分解 $langle B, {S_i} angle$，其中 $B$ 是由具有特殊Q-性质的元素构成的“骨架半群”，而 ${S_i}$ 是一系列通过Q-连接粘合在一起的“Q-模块”。这与传统的理想分解不同，Q-连接考虑了乘法如何跨越结构边界。 第五章：Q-自由度与结构复杂性度量 结构复杂性是Q-理论的核心应用之一。本章定义了半群的Q-自由度 $ ext{df}_Q(S)$。它量化了为了完全确定半群结构，需要多少独立的“Q-关系生成元”。我们证明了 $ ext{df}_Q(S)$ 与半群中最大非正则链的长度存在直接关系，并为正则半群（$ ext{df}_Q(S)=0$）和幂零半群（$ ext{df}_Q(S)$ 最大化）提供了精确的量化指标。 第六章：Q-同态与结构保持映射 本章考察了在Q-框架下保持结构特征的映射。Q-同态 $phi: S o T$ 被定义为不仅保持乘法，还保持Q-关系在象集上的诱导结构的映射。我们建立了Q-同态与半群的特定双模结构之间的联系，并证明了任意有限半群都可以通过一系列Q-同态从一个“自由Q-生成元”半群构造出来，这为构造性证明提供了基础。 第三部分：Q-理论的应用与高级主题 第七章：有限半群的Q-分类 基于前述的Q-自由度和Q-等价性，本章系统地对有限半群进行了新的分类。我们引入了Q-类，这些类具有比传统分类更强的代数一致性。例如，我们定义了Q-严格半群，它们是那些其Q-格具有最小交叠的半群。对 $N imes M$ 矩阵半群和循环半群的Q-分类分析揭示了它们在不同Q-自由度层级上的位置。 第八章：Q-理论与自动机理论的交叉 本章将理论应用于计算模型。我们证明了有限半群的状态转换系统（即有限自动机）的最小化问题可以被重新表述为寻找具有最小Q-自由度的最小Q-表示。这在设计高效的字符串匹配算法和状态机优化中具有实际意义。特别是，我们讨论了具有特定Q-循环结构的半群如何对应于一类易于优化的有限自动机。 第九章：Q-谱分析与边界问题 在最后一章，我们将Q-理论提升到更抽象的层面，探讨其“谱”结构。我们定义了Q-特征值，它们是与半群中最大Q-环相关的代数不变量。这些不变量揭示了半群内部信息流动的基本限制。本章最后对未来研究方向进行了展望，特别是在非交换几何和高维半群结构中Q-理论的应用潜力。 --- 目标读者： 专注于代数结构、离散数学、形式语言理论、以及理论计算机科学的研究人员和高级学生。本书要求读者对抽象代数和有限群论有扎实的背景知识。 关键词： 有限半群、Q-理论、Q-格、结构分解、Q-自由度、代数分类、自动机理论。

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