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出版者:北京师范大学出版社

作者:邓冠华

出品人:

页数:246

译者:

出版时间:2010-3

价格:24.00元

装帧:

isbn号码:9787303107551

丛书系列:21世纪高等学校研究生教材 数学学科硕士研究生系列教材

图书标签:

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《数学之旅：从基础到前沿》 本书将带领读者踏上一段引人入胜的数学探索之旅，从最基础的概念出发，循序渐进地深入到现代数学的前沿领域。我们不求面面俱到，而是精选了能够展现数学思想精髓、激发学习兴趣的关键主题，旨在培养读者严谨的逻辑思维和解决问题的能力。 第一部分：数学的基石——抽象与严谨 我们将从集合论和逻辑学入手，构建起数学语言的基础。你将学习如何准确地描述数学对象，理解命题的真伪判断，以及掌握证明的基本方法。这一部分将帮助你摆脱对数学的直观臆想，建立起严谨的数学思维框架。我们将深入探讨自然数、整数、有理数和实数的构造，理解它们之间深刻的联系以及实数完备性的重要意义。在代数领域，我们会从多项式的性质开始，逐步引入群、环、域等基本代数结构，展现代数运算的普适性和抽象之美。 第二部分：函数的奥秘——连续与变化 在打下坚实的基础后，我们将进入函数的广阔天地。首先，我们将深入理解函数的概念，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等基本性质。随后，我们将聚焦于“极限”这一核心概念，它是微积分的灵魂。你将学习如何精确地定义和计算极限，理解连续性的本质，并掌握求导的各种技巧。导数作为描述函数变化率的强大工具，我们将通过大量实例展示其在优化问题、曲线分析等方面的应用。积分，作为导数的逆运算，将带领我们探索面积、体积等几何量的计算，以及解决各种累积效应问题。我们将介绍定积分和不定积分，并探讨微积分基本定理的深刻内涵。 第三部分：空间的维度——几何与拓扑 我们将从欧几里得几何出发，回顾点、线、面、角的基本性质，以及三角形、四边形、圆等基本图形的特性。在此基础上，我们将引入向量的概念，用代数的语言来描述和分析几何对象，学习向量加减、数乘、点乘、叉乘等运算，并探索它们在几何问题中的应用，如判断平行、垂直、计算夹角、求解距离等。接着，我们将跳出传统的几何框架，进入拓扑学的奇妙世界。在这里，我们关注的是图形的“连通性”和“连续形变”，而不是精确的距离和角度。你将了解到同胚、同伦等概念，并被一些看似简单却充满智慧的拓扑学问题所吸引，例如著名的“柯尼斯堡七桥问题”和“四色问题”。 第四部分：数之舞——数论与组合 我们将进入数论的殿堂，探索整数的奇妙性质。从整除、约数、倍数等基本概念开始，我们将学习质数、合数、最大公约数、最小公倍数等重要概念。同余理论将是数论中的一大亮点，你将学会如何处理模运算，理解同余方程的解法，并接触到中国剩余定理等经典成果。组合数学则是一门研究“计数”的艺术。我们将学习排列、组合的公式和思想，掌握如何解决各种复杂的计数问题。二项式定理、鸽笼原理、容斥原理等将是你手中强大的计数工具。 第五部分：结构的和谐——抽象代数进阶 在初步接触代数结构后，我们将对其进行更深入的探索。我们将详细研究群的定义、性质和分类，理解子群、正规子群、商群等概念，并学习同态和同构定理。这将帮助我们理解对称性在数学中的普遍存在。接着，我们将进入环的理论，理解加法和乘法的双重代数结构，并学习理想、商环等概念。域作为一种特殊的环，其重要性不言而喻，我们将探讨有限域、代数数域等内容，为理解更高级的数学分支奠定基础。 第六部分：变化的旋律——微分方程与动力系统 微分方程是描述自然界和工程领域中变化过程的数学语言。我们将学习常微分方程的基本类型，如一阶线性方程、齐次方程、可分离变量方程等，并掌握求解它们的常用方法。我们将通过大量实例展示微分方程在物理学（如运动学、电学）、生物学（如种群增长）、经济学等领域的广泛应用。接着，我们将步入动力系统的研究，它关注的是系统随时间演化的规律。你将了解到相空间、吸引子、分岔等概念，并初步领略到混沌理论的迷人之处。 结语：探索永无止境 本书的结尾并非终点，而是另一段旅程的起点。我们希望通过这些内容的介绍，点燃你对数学的求知欲，让你看到数学的丰富多彩和无限可能。数学的魅力在于它的严谨、它的普适、它的创造性。愿你在未来的学习中，能够继续保持这份好奇与热情，不断探索数学的更深层次。

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这部作品简直是一场智力探险的盛宴！我花了整整一个下午沉浸在其中，那种感觉就像是踏入了一个由纯粹逻辑和优雅结构构筑的迷宫。作者的叙事手法极其高超，他没有直接堆砌复杂的公式，而是将那些抽象的概念通过生动的比喻和精巧的例子缓缓展开。举个例子，书中对“解析延拓”的描述，竟然让我联想到了探险家在未知大陆上绘制地图的过程，每一步都小心翼翼，每一步都充满了发现的惊喜。文字的节奏控制得非常到位，时而如行云流水般顺畅，让你感觉一切都理所当然地水到渠成；时而又像突然出现的峭壁，需要你停下来，深吸一口气，用全新的视角去审视眼前的难题。我特别欣赏作者在不经意间流露出的那种对数学美学的深刻理解，那些原本冰冷枯燥的定理，在他的笔下焕发出了一种近乎诗意的光芒。读完后，我感觉自己不仅掌握了一门工具，更重要的是，我的思维方式似乎也被微妙地重塑了，看待世界的方式都变得更加精确和有层次感了。

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从一个完全非专业读者的角度来看，这本书的魅力更多地体现在它所营造的“氛围”上。它像是一扇通往另一种世界的窗户，让我窥见了数学家们看待世界的独特视角——那种对无限、对奇异点、对对称性的极致迷恋。阅读时，我时常会停下来，不是因为没看懂，而是因为被作者描述的某个数学结构的美感所震撼。比如书中对于某一特定函数族性质的描述，那种优雅的自洽性，简直让人感到惊叹，仿佛作者揭示了宇宙中隐藏的一条基本规律。全书的行文风格是极其沉稳且富有洞察力的，没有华而不实的辞藻，每一个用词都经过了深思熟虑，充满了学者的克制与精准。它提供了一种超越日常琐事的思考维度，让我从快节奏的生活中抽离出来，进入一个更恒久、更纯粹的精神领域进行遨游。

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这本书的排版和设计风格，我必须得给个大大的赞。通常来讲，数学类的书籍在视觉呈现上往往比较单调乏味，但这一本完全打破了我的刻板印象。打开书本的那一刻，我就被那种清晰、现代的字体和合理的留白吸引住了。页边距的宽度恰到好处，给人一种呼吸的空间，而不是被密密麻麻的文字紧紧压迫。图表的绘制更是达到了教科书级别的水准——线条干净利落，色彩的运用既有区分度又不至于花哨，每一个示意图都精准地服务于文字的阐述，它们不是可有可无的点缀，而是论证中不可或缺的视觉锚点。我甚至发现，有些关键的推导过程，作者采用了双栏布局，将主要的证明步骤和辅助性的注释分离开来，极大地提高了阅读的效率和理解的深度。这不仅仅是一本书，更像是一件精心打磨的工艺品，阅读体验堪称一流，让我在长时间的钻研中也保持了高度的专注和愉悦感。

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坦白说，我对这类理论性极强的著作通常抱有敬畏之心，生怕自己理解不了其中的深层含义。但这本书的作者展现了一种罕见的教育家天赋。他似乎能预判到读者在哪个环节会产生困惑，并在那个点上提前设置了“导航灯”。这种“引导式”的教学方法，使得原本高不可攀的知识点变得触手可及。他处理复杂概念的方式非常扎实，总是从最基础的直觉感受入手，然后逐步搭建起严格的数学框架，这种循序渐进的逻辑链条，让人在不知不觉中就完成了知识的内化。我特别喜欢书后附带的“历史背景与应用思考”部分，它将枯燥的理论与现实世界（比如信号处理或流体力学中的应用）巧妙地联系起来，让我立刻明白了学习这些抽象概念的价值所在。这不只是一本“怎么算”的书，更是一本“为什么这么算”的书，极大地激发了我探索的内在驱动力。

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我不得不承认，这本书的深度是令人敬畏的，它绝非一本速成的入门读物，更像是为那些已经有一定基础、渴望攀登更高峰的求知者准备的宝典。作者对细节的把握达到了吹毛求疵的地步，每一个定理的证明都力求完备和严谨，没有丝毫的含糊带过。我花了好几天时间去啃噬其中的一个核心章节，过程中反复查阅了参考文献，那种“拨开云雾见青天”的成就感无与伦比。它挑战了我的思维极限，迫使我必须用更精确的语言去组织我的思考，去定义我所理解的每一个术语。这种高强度的思维训练，虽然过程略显艰辛，但带来的认知提升是立竿见影的。这本书的价值在于，它不会喂给你现成的答案，而是磨砺你的工具，让你有能力自己去解决更复杂、更前沿的问题。对于严肃的研究者而言，这无疑是一部值得反复咀嚼的经典。

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