Linear Representations of Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Basel

作者:Ernest B. Vinberg

出品人:

页数:146

译者:

出版时间:2010-12-3

价格:USD 49.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783034800624

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 其余代数7
• 群论
• 线性表示
• 数学
• 代数
• 表示论
• 抽象代数
• 李群
• 拓扑群
• 数学物理
• 高等代数

线性表示理论：群的几何与代数语言 线性表示理论是一门深刻而迷人的数学分支，它为理解抽象群的结构提供了强大的工具。这本书《线性表示理论》（Linear Representations of Groups）将带领读者深入探索这一领域，揭示群的内在对称性如何在向量空间中得以具象化。我们将从基本概念出发，逐步构建起一个完整的理论框架，最终展现其在数学和物理学的广泛应用。 核心概念与基础 本书的起点是对“表示”这一核心概念的严谨定义。我们将解释，一个群的线性表示，本质上是将群的抽象元素映射到某个向量空间上的可逆线性变换（即矩阵）的同态。这意味着，原本只存在于抽象代数中的群运算，现在可以用熟悉的矩阵乘法来描述。这种映射方式不仅保留了群的结构（即保持运算的相容性），更赋予了群以几何的直观性。 我们首先关注有限群的表示，这是理论的基石。对于一个有限群 G，其一个线性表示 $ ho$ 将 G 的每个元素 g 映射到一个 $n imes n$ 的可逆矩阵 $ ho(g)$，使得对于 G 中的任意两个元素 $g_1, g_2$，都有 $ ho(g_1 g_2) = ho(g_1) ho(g_2)$。这个简单的同态性质，却是理解群结构的钥匙。 一个表示的好坏，或者说其“复杂度”，可以通过“维度”来衡量，即表示的向量空间的维数，或者对应矩阵的大小。一个给定的群可能拥有许多不同维度的表示，而“不可约表示”则扮演着至关重要的角色。不可约表示是指那些不能被分解为更小、不相交的表示的表示。它们如同数学中的“原子”，是构成所有其他表示的基本单元。本书将深入探讨如何识别和分类不可约表示，以及它们的性质。 表示的分解与结构 任何一个表示都可以被分解为一系列不可约表示的“直和”。这意味着，我们可以将复杂的表示问题转化为分析更简单的不可约表示。理解这种分解是线性表示理论的核心任务之一。我们将介绍“完备可约性”定理，证明任意表示都可以被分解为不可约表示的直和。 为了更好地分析表示，我们将引入“特征标”（character）的概念。一个表示的特征标是一个函数，它将群的每个元素映射到其对应矩阵的迹（trace）。特征标具有许多优良的性质，它们能够唯一地确定一个表示（在同构意义下），并且计算和分析起来比直接处理矩阵更为便捷。我们将详细推导特征标的性质，并展示如何利用特征标来判断两个表示是否等价，以及如何判断一个表示是否不可约。 对于有限群，其不可约表示的个数恰好等于其共轭类的个数。这一深刻的联系使我们能够通过分析共轭类来理解不可约表示的整体结构。本书将花费大量篇幅来介绍群的共轭类，以及它们与特征标和不可约表示之间的关系。例如，我们将介绍特征标表（character table），它以简洁而信息丰富的方式，列出了一个有限群的所有不可约表示的特征标，成为分析该群表示理论的强大工具。 诱导表示与群的扩张 除了研究一个群自身的表示，我们还会考察一个群的子群与该群表示之间的关系。这引出了“诱导表示”（induced representation）的概念。给定一个子群 H 的一个表示，我们可以将其“提升”或“诱导”成整个群 G 的一个表示。这个构造方法非常重要，它使我们能够从已知的较小群（子群）的表示出发，构造出较大群（原群）的表示。 本书将详细阐述诱导表示的构造过程，并介绍“诱导定理”（Mackey's theorem 或 Frobenius reciprocity theorem），这是连接子群表示与原群表示的一个核心定理。诱导表示的概念不仅为我们提供了构造新表示的方法，也让我们能够从子群的对称性来理解原群的对称性。 此外，我们还将触及群的扩张（group extensions）的表示。当一个群 G 是一个正常子群 N 的商群 G/N 与另一个群 K 的扩张时，G 的表示可以与 N 和 K 的表示联系起来。这种联系为理解更复杂的群结构提供了另一种视角。 李群与李代数的表示 线性表示理论的强大之处不仅体现在有限群上，它在连续群，特别是李群（Lie groups）的表示理论中，发挥着更为核心的作用。李群是由光滑流形组成的群，其上的运算也是光滑的。例如，旋转群 $SO(3)$ 就代表了三维空间中的所有旋转。 本书将适时引入李群和李代数（Lie algebra）的概念。李代数是与李群紧密相关的向量空间，其上的李括号（Lie bracket）捕捉了李群的无穷小性质。一个李群的表示可以诱导出其李代数的表示，反之亦然。我们将展示，李代数的表示理论，特别是其不可约表示的分类，对于理解李群的表示至关重要。 我们将探讨一些重要的李群，如一般线性群 $GL(n, mathbb{R})$、特殊线性群 $SL(n, mathbb{R})$、正交群 $O(n)$ 和特殊正交群 $SO(n)$，以及它们在物理学中的应用，例如在量子力学和粒子物理中。 应用领域 线性表示理论的应用贯穿了整个现代数学和物理学。本书将重点介绍其在以下几个方面的应用： 代数： 理解有限群的结构，研究对称性，分类简单群。 数论： 研究模形式，数论函数。 拓扑学： 研究空间的同调论，分类向量丛。 量子力学： 描述粒子的对称性（如角动量、自旋），理解哈密顿量的对称性，利用对称性简化薛定谔方程的求解。 粒子物理： 分类基本粒子及其相互作用，利用群的表示来描述粒子的内禀性质（如电荷、同位旋），理解对称性破缺。 晶体学： 描述晶体结构的对称性，理解晶格的性质。 本书的学习方法与读者收益 本书旨在为数学系学生、物理系学生以及对抽象代数和对称性有浓厚兴趣的读者提供一个坚实的理论基础。我们将力求使理论的推导清晰严谨，并通过大量的例子和习题来帮助读者巩固理解。 通过学习本书，读者将能够： 掌握线性表示理论的基本概念、定理和计算方法。 理解群的抽象结构如何通过矩阵和向量空间得以具体呈现。 学会分析和分解表示，识别不可约表示。 能够运用特征标和特征标表来研究群的表示。 了解诱导表示的概念及其在构造新表示中的作用。 认识到线性表示理论在数学和物理学中的广泛而深刻的应用。 为进一步学习更高级的主题，如无限维表示理论、代数群的表示理论等打下坚实基础。 《线性表示理论》将是一次激动人心的智力旅程，它将为读者打开一扇通往数学和物理学更深层结构的大门，让读者用全新的视角去理解对称性的力量。

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**书评三：** 我通常认为，一部顶尖的数学专著，其价值不仅在于内容的深度，更在于它能否激发读者的创造性思维。这部作品在这方面做得非常出色。它不仅仅是在“教”你如何计算表示，更是在“教”你如何“思考”表示。作者对于如何将群的代数结构与在线性空间上的作用联系起来的阐述，充满了洞察力。书中对酉表示、不变子空间分解的讨论，都极为透彻，特别是关于Maschke定理的多种证明方式的对比，展现了不同的数学视角。我发现，这本书在介绍完核心理论后，紧接着就会给出一些前沿研究的方向或尚未解决的问题，这对我后续的研究方向选择提供了极大的启发。虽然它的排版和插图相对传统，缺乏现代教材那种花哨的设计，但这丝毫不影响其内容的权威性和不可替代性。这是一部需要你静下心来，用钢笔和草稿纸一同陪伴才能真正领会的经典。

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**书评一：** 这部作品在数学领域无疑是一颗璀璨的明珠，它以极其严谨和深入的方式探讨了抽象代数中的一个核心分支。作者的叙述逻辑清晰，从最基础的概念出发，逐步构建起一个宏大而精妙的理论体系。我尤其欣赏它在处理复杂定理时的那种庖丁解牛般的清晰度，那些原本令人生畏的群论概念，在作者的笔下变得触手可及。书中大量的例子和习题设计得极为巧妙，它们不仅是对理论的巩固，更是对读者思维深度的挑战与拓展。阅读过程中，我时常能感受到作者深厚的学术功底和对教学艺术的深刻理解。对于任何希望在表示论领域打下坚实基础的研究生或资深爱好者来说，这本书都是一本不可或缺的案头必备。它不仅仅是一本教科书，更像是一部充满智慧的导览图，引领我们穿越群表示的复杂迷宫。我花了相当长的时间才消化完其中的精髓，但每一次回顾，都能发现新的领悟。

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**书评二：** 说实话，我初次拿起这本书时，内心是有些忐忑的。毕竟，群论本身就带有一种高高在上的神秘感，更何况是关于“线性表示”这种听起来就非常‘硬核’的主题。然而，这本书的开篇就成功地抓住了我的注意力，它没有急于抛出复杂的公式，而是耐心地铺陈了研究动机和历史背景，这使得抽象的理论似乎有了“人情味”。作者在讲解特征标理论的部分，简直是教科书级别的范例，那种层层递进的论证方式，让人不得不佩服其构建逻辑的严密性。虽然中间有几处证明过程相对冗长，需要读者投入极高的专注力，但这恰恰反映了作者对数学细节的极致追求，不容许任何跳跃性的思维。读完后，我对有限群和紧致群的表示理论都有了全新的、结构化的认识。如果说这是一次智力上的攀登，那么这本书就是那条清晰但充满挑战的路径指引。

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**书评四：** 对于那些习惯了应用数学或计算科学的读者来说，这本书可能一开始会显得有些“过于抽象”。它几乎将所有精力都集中在了纯粹的理论构建上，对实际应用场景的提及非常克制。但正是这种纯粹性，使得其理论结构异常坚固和优美。作者对 Schur 引理的探讨，细致到令人发指，每一个等式、每一个推论的成立条件都被标注得清清楚楚，这对于规范学术写作和严谨论证至关重要。我特别喜欢它在讨论无限维表示时引入的拓扑结构的概念，这显示出作者跨越了有限群的藩篱，将理论推广到了更广阔的领域。这本书的难度是毋庸置疑的，它要求读者具备扎实的线性代数基础和初步的群论知识。但一旦跨过最初的门槛，你将获得的是对数学结构本质的深刻理解，这远比掌握几个计算技巧要宝贵得多。

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**书评五：** 这是一部具有里程碑意义的著作，其深度和广度在同类书籍中鲜有匹敌。阅读它就像是与一位经验极其丰富的数学大师进行了一场漫长而深入的对话。作者的叙事风格是高度个人化的，既有清晰的逻辑线索，又不乏对数学美学的追求。例如，在讲解不可约表示时，那种循序渐进地揭示其“不可约”属性的证明过程，简直就是一场数学的‘解谜’游戏，充满了智力上的满足感。书中对矩阵代数和特征值的运用，显示出表示论作为连接不同数学分支的关键桥梁作用。美中不足的是，对于初学者而言，缺乏足够的“热身”材料，一些基础知识点需要读者自行补充。但对于进阶学习者而言，这种直奔主题的风格恰恰是最高效的学习方式。我建议有志于深入研究几何、物理中对称性问题的读者，务必将此书纳入精读范围。

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哇我好喜欢这本，深入浅出，适合做表示论的入门！

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