《矩陣計算六講》
前言
第一講schur 分解的計算1
1.1 標準schur 分解的計算 1
1.1.1 householder 變換和givens 變換 1
1.1.2 schur 分解定理 5
1.1.3 實schur 分解 7
1.1.4 qr 方法 8
1.1.5 實schur 標準形之對角塊的排序問題 26
1.2 廣義schur 分解的計算 28
1.2.1 廣義schur 分解定理 28
1.2.2 廣義實schur 分解 29
1.2.3 qz 方法 31
1.2.4 廣義實schur 標準形之對角塊的排序問題 40
1.3 周期schur 分解的計算 42
1.3.1 周期schur 分解定理 42
1.3.2 周期實schur 分解 44
1.3.3 周期qz 方法 46
1.3.4 周期實schur 標準形之對角塊的排序問題 58
習題 61
.第二講多項式之根的快速求法64
2.1 引言 64
2.1.1 基本問題 64
2.1.2 基本理論 65
2.2 newton-horner 方法 67
2.2.1 newton 迭代法簡介 67
2.2.2 newton-horner 方法 70
2.3 快速qr 方法 73
2.3.1 友矩陣 74
2.3.2 hn 類矩陣和它的參數化 75
2.3.3 單步位移的快速qr 迭代 82
2.3.4 雙重步位移的隱式快速qr 迭代 90
2.3.5 具體實現時的幾個問題 96
習題 98
第三講奇異值分解的計算100
3.1 基本概念和性質 100
3.2 golub-kahan svd 算法 105
3.2.1 對稱qr 方法概要 106
3.2.2 golub-kahan svd 算法 109
3.3 分而治之法 116
3.3.1 求解對稱特徵值問題的分而治之法 117
3.3.2 計算奇異值分解的分而治之法 127
3.4 jacobi 方法 134
3.4.1 求解對稱特徵值問題的jacobi 方法 135
3.4.2 計算奇異值分解的jacobi 方法 141
3.5 二分法 147
3.5.1 求解對稱特徵值問題的二分法 147
3.5.2 計算奇異值的二分法 152
習題 153
第四講krylov 子空間方法i 155
4.1 引言 155
4.2 krylov 子空間 157
4.2.1 krylov 子空間及其性質 157
4.2.2 arnoldi 分解 160
4.2.3 lanczos 分解 165
4.3 rayleigh-ritz 方法 166
4.3.1 rayleigh-ritz 投影方法 166
4.3.2 rayleigh 商的最佳逼近性 167
4.4 arnoldi 方法 170
4.4.1 經典arnoldi 算法 170
4.4.2 隱式重啓arnoldi 算法 172
4.4.3 位移求逆技術 180
4.5 lanczos 方法 181
4.5.1 經典lanczos 算法 181
4.5.2 收斂性理論 182
4.5.3 重啓lanczos 算法 192
習題 197
第五講krylov 子空間方法ii 200
5.1 引言 200
5.2 共軛梯度法 201
5.2.1 基本迭代格式 201
5.2.2 收斂性分析 207
5.3 極小剩餘法 210
5.3.1 minres 算法 211
5.3.2 收斂性分析 216
5.4 廣義極小剩餘法 217
5.4.1 gmres 算法 217
5.4.2 收斂性分析 221
5.5 擬極小剩餘法 228
5.5.1 非對稱lanczos 方法 229
5.5.2 qmr 算法 233
5.6 投影類方法 236
5.6.1 bcg 方法 237
5.6.2 cgs 方法 240
5.6.3 bicgstab 方法 243
習題 247
第六講共軛梯度法248
6.1 引言 248
6.2 最優步長的計算 251
6.3 最速下降法 254
6.3.1 經典最速下降法 254
6.3.2 收縮最速下降法 255
6.3.3 梯度型同時迭代法 257
6.3.4 預優最速下降法 259
6.4 共軛梯度法 263
6.4.1 共軛梯度法 263
6.4.2 收縮共軛梯度法 266
6.4.3 共軛梯度型同時迭代法 267
6.4.4 預優共軛梯度法 268
6.5 預優梯度型子空間迭代法 269
6.5.1 pgs 迭代法 269
6.5.2 收斂性分析 271
習題 292
符號和定義294
參考文獻300
· · · · · · (收起)