Lectures on Hyperbolic Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Riccardo Benedetti

出品人:

页数:346

译者:

出版时间:2003-9-9

价格:USD 59.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540555346

丛书系列:universitext

图书标签:

• 数学
• 几何
• Springer
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• 2003
• 微分几何7
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好的，这里有一份关于一本名为《欧几里得几何的深层探索》的图书简介。这份简介将着重于欧几里得几何的各个方面，并避免提及您提到的那本关于双曲几何的著作。 --- 《欧几里得几何的深层探索》：超越平面——线性结构的基石与拓扑的黎明 图书简介 《欧几里得几何的深层探索》旨在为读者提供一个全面、深入且富有启发性的欧几里得几何学视野。本书不仅仅是对公理系统的复述，更是一场关于空间、结构、逻辑严谨性和美学统一性的深刻旅程。我们从柏拉图学院的古老智慧出发，逐步揭示欧几里得《几何原本》所构建的、那个曾经被认为是描述宇宙的完美蓝图是如何在逻辑上得以确立，又如何在更广阔的数学图景中被重新审视。 本书的叙事结构分为四个主要部分：基础的逻辑构建、二维欧几里得空间的深入剖析、三维空间的几何学与向量的引入，以及几何学与其他数学分支的交汇点。 第一部分：逻辑的基石——公理、公设与证明的艺术 欧几里得几何的强大之处，并非仅仅在于它描绘的图形，而在于其无与伦比的逻辑纯粹性。本部分详尽考察了欧几里得所依赖的五大公设及其对整个几何体系的决定性作用。我们首先详细剖析了前四条公设，它们是如此直观，以至于几乎无需证明。然而，第五公设——著名的平行公设——的独特地位和复杂性，构成了几何学历史上最伟大的转折点。 我们将细致地探讨古代和中世纪数学家们对第五公设的反复尝试，试图将其简化或从前四条公设中推导出来。通过对Proclus、Saccheri和Legendre等人的早期研究的梳理，读者将领略到这种执着背后的数学哲学驱动力。我们强调，正是这种对“不证自明”原则的质疑，最终为非欧几何的诞生铺平了道路，但在此阶段，我们的重点仍完全置于在承认第五公设成立的框架下，如何构建一个自洽的演绎系统。 证明的方法论是本部分的核心。我们分析了穷举法、反证法以及构造性证明在早期几何学中的应用。通过对三角形全等定理（SSS, SAS, ASA）的严格论证，我们展示了如何从最基本的定义出发，逐步建立起关于平面图形性质的复杂定理链条。这不仅是学习几何，更是学习如何进行严密的数学推理的训练。 第二部分：二维欧几里得空间的精细解剖 在奠定了逻辑基础后，本书进入对平面（二维欧几里得空间）的细致描绘。我们不再仅仅满足于“看起来正确”的结论，而是深入探究其内在的度量结构和变换性质。 1. 度量与距离： 欧几里得几何的核心在于距离和角度的确定性。我们探讨了毕达哥拉斯定理（勾股定理）的多种证明方式，并将其作为定义欧几里得范数的起点。面积的计算、相似图形的性质，以及圆的精确定义（圆周率的几何意义）都在本部分得到了详尽的阐述。 2. 变换几何的先声： 虽然严格的群论要到十九世纪才成熟，但欧几里得几何早已包含了变换的思想。我们详细分析了欧几里得运动（Isometries）——平移、旋转和反射——在二维平面上的作用。我们证明了任何一个刚体运动都可以分解为一次平移和（或）一次旋转。这种对“保持距离不变”的操作的系统化研究，揭示了欧几里得空间内在的对称性，并为后续拓扑学的概念提供了直观的铺垫。 3. 经典构造问题： 本部分还回顾了尺规作图的限制。著名的三大难题（化圆为方、三等分角、倍立方体）并非因为我们技艺不精，而是由于它们超出了尺规工具所能达到的代数限制。通过对这些问题的分析，我们从侧面论证了欧几里得几何系统的边界。 第三部分：从平面到实体——三维欧几里得空间与解析几何的桥梁 欧几里得几何的直觉主要来源于我们所感知的外部世界，即三维空间。本部分将几何学的对象扩展到三维，并引入了坐标系作为连接直观几何与代数分析的强大工具。 1. 空间几何学： 我们研究了欧几里得三维空间中的基本对象：直线、平面、多面体（如正多面体——柏拉图多面体的完美性）、棱柱、锥体和球体。对多面体的欧拉公式 ($V-E+F=2$) 的讨论，是连接其拓扑属性和三维嵌入的重要环节。 2. 引入笛卡尔坐标系： 欧几里得的原始体系是纯粹的构造性和公理性的，缺乏代数的灵活性。笛卡尔的引入彻底改变了这一局面。我们将向量的概念引入三维空间，用坐标对点、线、面进行精确描述。点积和叉积的几何意义被深入剖析，它们如何帮助我们计算角度、投影和垂直关系，从而将复杂的几何问题转化为代数运算。我们强调，这种代数化是欧几里得几何得以在物理学和工程学中发挥巨大作用的关键。 第四部分：几何学的边界与展望 在完整阐释了欧几里得几何的内部结构和代数表示后，本书的最后一部分旨在将读者的目光投向几何学的未来图景，探讨欧几里得体系在更宏大数学范畴中的位置。 1. 拓扑学的萌芽： 我们通过讨论连续形变（拉伸、弯曲而不撕裂）来区分欧几里得几何与更广泛的拓扑学。例如，在欧几里得空间中，一个圆和一个椭圆的性质截然不同，但在拓扑学中，它们是等价的。这种对比突显了欧几里得几何对“距离”和“角度”的严格依赖性。 2. 射影几何的视角： 我们简要介绍了射影几何，它关注的是投影不变性。在射影几何中，平行线相交于无穷远点，这直接挑战了欧几里得第五公设的直觉。通过这种对比，读者能更深刻地理解第五公设的“特殊性”——它正是将我们限制在那个特殊的、度量完美的空间中的关键。 3. 欧几里得体系的完备性与局限性： 总结部分评估了欧几里得几何作为数学工具的完备性——在描述“平直”世界时它确实是完备且自洽的。然而，我们也认识到，在描述非平坦的或更抽象的空间结构时，我们需要超越欧几里得的框架。 《欧几里得几何的深层探索》 适合于高年级高中生、本科生、数学爱好者以及任何希望通过严谨的逻辑训练来理解空间本质的读者。本书不仅教授几何知识，更培养一种对数学结构深度和优雅性的鉴赏力。通过本书，读者将不再仅仅把欧几里得几何视为中学课本中的陈旧知识，而是将其视为整个现代数学大厦最坚实、最精妙的逻辑基座。

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这本书的独特之处在于它对某些关键概念的独特处理方式，特别是对于测地线完备性和理想点的讨论。作者似乎采用了某种不太常见的公理化路径来引入这些概念，这使得我在对比其他几本参考书时发现了一些细微但重要的差异。这种差异迫使我停下来，重新审视我以往对双曲几何的理解框架。我喜欢这种被挑战的感觉，它表明这不是一本简单的知识罗列，而是一种教学哲学的体现。它要求读者不仅要掌握公式，更要理解不同数学家构建理论的细微取舍。遗憾的是，在某些更高级的拓扑性质的介绍上，叙述显得略为仓促，好像作者在篇幅限制下不得不做出了取舍。如果能再深入探讨一下双曲流形上的测地流的混沌特性，这本书的份量和价值无疑会更上一层楼。尽管如此，它依然是我书架上不可或缺的一本关于基础理论的权威参考。

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这本书的结构布局体现了一种古典的、百科全书式的严谨性。它不仅仅停留在二维双曲面，还扩展到了更高维度的考量，甚至触及了离散群与双曲几何的交汇点，这让它在同类著作中显得视野更为开阔。我发现自己常常被引导去思考一些哲学层面的问题——空间本质上是平直的还是弯曲的？我们的直觉是否真的完全受限于欧几里得空间？作者似乎很享受这种引导读者的思辨过程。然而，我希望书中能有更多的“应用实例”或更丰富的历史背景介绍来穿插其中。目前的叙述方式过于纯粹，像是一个完美的数学模型，缺乏一些现实世界的“纹理”来缓解纯粹逻辑带来的疲劳感。对于希望将双曲几何应用于拓扑学或理论物理的读者来说，这本书提供了坚实的理论基石，但可能需要读者自己去搭建通往实际应用的桥梁。总体而言，它是一部扎实的学术著作，而非轻松的普及读物。

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从阅读体验的角度来看，这本书给我一种非常“老派”的感觉，这既是优点也是缺点。优点在于其逻辑的无可挑剔和定义的精确无误；缺点则在于排版和示例的相对保守。例如，图表的质量和多样性有待提高。在处理复杂的三维嵌入模型时，一个清晰的、多角度的动态视图（如果能以某种方式呈现）会比纯文字描述和简单的二维截面图有效得多。我感觉作者更依赖于读者自己去想象那些高维度的空间结构。这要求读者具备非常强的空间想象能力。如果这本书能加入更多现代的视觉辅助工具，或者提供一些可以配合软件进行交互式探索的练习，那么它的价值将不仅仅停留在理论层面，更能成为一个实践性的工具。尽管如此，它的内容深度毋庸置疑，它对基本公理的追溯和证明的完整性，是值得称赞的。

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这本关于双曲几何的讲义，坦率地说，是一次充满挑战但又极具回报的数学旅程。对于那些初次涉足非欧几何领域的读者来说，这本书的切入点非常扎实，它没有急于展示那些令人眼花缭乱的定理，而是花费了大量篇幅来构建直观的理解基础。作者似乎非常注重“为什么”而不是仅仅停留在“是什么”。我特别欣赏它在介绍庞加莱圆盘模型时所展现的细致入微。那些关于测地线如何表现为圆弧，以及角度如何保持不变的论述，配上恰到好处的图示（尽管我希望印刷质量能更好一些，以便更清晰地分辨那些复杂的交错曲线），确实帮助我跨越了从平面欧几里得思维到弯曲空间的心理障碍。它并非一本轻松的入门读物，你需要备好扎实的微积分和线性代数基础，但如果你能坚持下来，你会发现作者的逻辑链条异常坚固，每一步的推导都像是精心铺设的石板路，引你走向更深邃的理解。它成功地将抽象的代数结构与具体的几何图像联系起来，这种平衡感是许多同类教材所缺乏的。

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我必须承认，这本书的某些章节读起来像是在攀登一座陡峭的山峰，每向上爬升一点，都需要付出极大的专注力。尤其是涉及到莫比乌斯变换群及其在双曲空间中的作用时，叙述的密度陡然增加。对于我这样的业余数学爱好者而言，那些关于黎曼曲率张量和里奇曲率的讨论，几乎需要反复研读才能勉强跟上作者的思路。但有趣的是，这种难度并非源于写作的晦涩，而是源于主题本身的内在复杂性。作者的语言风格偏向于严谨的数学家论述，句式往往较长，充满了技术术语的精确堆砌。它不迎合初学者，更像是一本为研究生准备的参考书或课堂讲义的整理稿。不过，一旦你突破了某个关键的认知阈值，你会感受到一种豁然开朗的喜悦。那些看似零散的概念，在作者的框架下被组织成一个宏大而和谐的体系，证明了这门学问的美妙之处在于其内在的一致性。

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