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出版者:北京世界图书出版公司

作者:J.B.Conway

出品人:

页数:399

译者:

出版时间:2003-6

价格:39.00元

装帧:

isbn号码:9787506259514

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 泛函分析
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• 函数空间
• 算子理论
• 巴拿赫空间
• 希尔伯特空间

《现代数学的基石：集合论入门》 本书旨在为读者提供一个坚实而清晰的集合论基础，这是现代数学几乎所有分支的基石。我们将从最基本的概念入手，逐步深入到集合论的精妙之处，为学习更高级的数学领域奠定坚实的基础。 第一章 集合与元素：构建世界的积木 我们将从“集合”这一最基本、最核心的概念开始。什么是集合？它如何构成？我们将探讨集合的定义方式，包括外延公理和概括公理。然后，我们会介绍“元素”的概念，它是构成集合的基本单元。通过大量直观的例子，比如数字的集合、几何图形的集合、甚至抽象概念的集合，帮助读者建立对集合的直观理解。 集合的定义与表示： 列举法、描述法。 相等集合： 两个集合是否相同，只取决于其包含的元素。 子集与真子集： 包含关系，以及严格包含关系。 空集： 不包含任何元素的特殊集合。 全集： 在特定上下文中讨论的集合。 第二章 集合运算：编织数学的丝线 一旦我们理解了集合本身，我们就会学习如何对集合进行各种运算，就像我们在算术中对数字进行加减乘除一样。这些运算将使我们能够构建更复杂的集合，并揭示集合之间的关系。 并集： 包含两个集合所有元素的集合。 交集： 只包含两个集合共有的元素的集合。 差集： 包含在第一个集合但不在第二个集合中的元素的集合。 补集： 在全集范围内，不属于某个集合的所有元素的集合。 对称差集： 属于两个集合之一但不属于两个集合共同部分的元素构成的集合。 维恩图： 通过图形化方式直观展示集合运算的工具。 第三章 关系的探索：连接世界的桥梁 集合之间并非孤立存在，它们之间存在着各种各样的“关系”。本章将重点介绍序偶、笛卡尔积以及关系的定义，并通过关系来描述元素之间的对应和连接。 序偶： $(a, b)$，其中元素 $a$ 和 $b$ 的顺序很重要。 笛卡尔积： $A imes B$，包含所有可能的序偶 $(a, b)$，其中 $a in A$ 且 $b in B$。 关系的定义： 笛卡尔积的子集，表示集合间的对应关系。 关系的性质： 自反性、对称性、反对称性、传递性。 等价关系与划分： 满足特定性质的关系，以及它如何将集合划分为不相交的子集。 序关系： 描述元素“小于”或“大于”等顺序概念的关系。 第四章 函数的构建：映射世界的规则 函数是数学中最重要、最普遍的概念之一。在本章中，我们将从集合论的角度严格定义函数，并探讨函数的各种性质以及它们如何将一个集合的元素映射到另一个集合。 函数的定义： 从一个集合到另一个集合的特殊关系，确保每个输入只有一个输出。 定义域、值域与陪域： 函数的输入、输出集合以及可能的输出集合。 单射（一对一）、满射（映上）与双射（一一对应）： 函数的性质，描述了映射的“密集”程度和“独特性”。 函数的复合： 将一个函数的输出作为另一个函数的输入。 反函数： 与原函数“相反”的函数。 第五章 基数与无穷：数量的奥秘 当我们谈论集合的数量时，我们引入了“基数”的概念。本章将深入探讨有限集合的基数，并特别关注无穷集合的基数，这是集合论中最引人入胜的部分之一。 有限集合的基数： 集合中元素的个数。 可数无穷与不可数无穷： 区分不同“大小”的无穷集合。 康托尔定理： 证明了存在不同大小的无穷集合，例如实数集比自然数集“更大”。 良序原理： 任何非空集合都可以被良序化。 第六章 公理系统：数学的逻辑根基 为了确保集合论的严谨性和一致性，我们需要一个坚实的公理系统。本章将简要介绍Zermelo-Fraenkel集合论（ZF）或Zermelo-Fraenkel集合论与选择公理（ZFC）的基本公理，它们构成了现代数学的基础。 外延公理、空集公理、配对公理、并集公理、幂集公理、替换公理模式、分类公理模式、正规公理（或称良基公理）。 选择公理： 一个重要且有时引起争议的公理，它在许多数学证明中起着关键作用。 通过学习本书，读者将能够： 精确理解和运用集合论的基本概念和术语。 熟练掌握集合运算，并能解决相关的数学问题。 理解关系和函数在数学中的核心作用。 初步领略无穷集合的奇妙世界，认识到数学的深度和广度。 为后续学习更抽象、更高级的数学分支（如拓扑学、抽象代数、实分析等）打下坚实的基础。 本书采用清晰的语言、丰富的示例和适度的习题，旨在引导读者循序渐进地掌握集合论的精髓。无论您是数学专业的学生，还是对数学基础有浓厚兴趣的爱好者，本书都将为您开启一扇通往严谨、抽象而又充满魅力的数学世界的大门。

评分☆☆☆☆☆

非常好的书，但不是泛函分析的入门教材，更适合想从事算子代数的学生在学过基本的泛函分析的之后阅读，或许一学期的Banach代数课程后更佳。 前三章是基本的泛函分析内容，出色的地方在于有对Hilbert空间上基的存在性的叙述，以及对Hilbert空间上紧算子的谱定理非常简洁的证明，...

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

**作者的严谨性体现在对细节的关注** 我是一个对细节要求比较高的人，尤其是在学习数学时，我希望每一个定义都精确无误，每一个证明都滴水不漏。在这本《泛函分析教程》中，我看到了作者在这方面的极致追求。书中在定义一个新概念时，会非常细致地列出其所有必要条件，并清晰地解释每个条件的含义。例如，在定义 Banach 空间时，作者不仅强调了其作为赋范线性空间的完备性，还详细说明了范数必须满足的三个性质，并且在后续证明中，反复运用这些性质。对于定理的证明，作者更是力求严谨，每一步推导都经过了周密的思考，并清晰地给出理由。即使是一些看似显而易见的步骤，作者也会进行必要的说明，以避免读者产生误解。我印象深刻的是，书中在证明开映射定理时，作者花了相当大的篇幅来处理一些技术细节，比如对开集的定义、对序列的选取等，这些细节的处理，使得整个证明过程严丝合缝，无懈可击。此外，作者在引入一些记号或约定俗成的符号时，都会进行明确的定义，避免了因符号混淆而导致的错误。这种对细节的关注，不仅保证了数学内容的准确性，更重要的是，它教会了我如何去严谨地思考和论证问题。在阅读这本书的过程中，我不仅学习了泛函分析的知识，更重要的是，我学会了如何成为一个更加严谨的数学学习者。

评分☆☆☆☆☆

**习题设计精妙，是检验和巩固知识的利器** 一本优秀的数学教材，其习题设计往往是衡量其教学质量的重要标准。这本《泛函分析教程》的习题部分无疑是其亮点之一。书中的习题涵盖了从基础概念的理解到复杂定理的证明，难度梯度设置得非常合理。我特别喜欢书中对某些概念的理解性习题，这些题目往往能通过一个简单的例子或反例，帮助我深入理解某个定义或性质的细微之处。例如，在学习范数等价性时，书中就设计了一些需要仔细分析范数性质的题目，这让我避免了对概念的望文生义。对于一些定理的证明，书中也提供了一些引导性的习题，要求读者去填补证明中的关键步骤，这是一种非常有效的学习方法，能够帮助我主动思考，而不是被动接受。更重要的是，书中很多习题本身就包含了重要的数学结论或方法，通过解答这些习题，我不仅巩固了课堂上学到的知识，还从中收获了新的见解。有些习题甚至比课本上的例题还要有启发性。在遇到困难时，书中提供的部分提示或思路也起到了关键作用，它们不会直接给出答案，而是通过引导性的语言，帮助我找到解题的切入点，这极大地提升了我的解题能力和独立思考能力。总而言之，这本书的习题部分不仅仅是用来检验学生对知识的掌握程度，更是作为一种学习工具，引导读者去深化理解、拓展思路、发现数学的魅力，我从中受益匪浅。

评分☆☆☆☆☆

**激发了对数学内在逻辑的探索欲** 在接触这本《泛函分析教程》之前，我学习泛函分析往往是为了应付考试，或者仅仅是掌握一些解题技巧。但这本书的独特之处在于，它不仅仅教授了“是什么”和“怎么做”，更重要的是，它引导我去思考“为什么”。作者在讲解每个概念时，不仅仅是给出定义，还会深入剖析这个概念的起源、它所要解决的问题，以及它在整个数学体系中的地位。例如，在介绍紧集的概念时，作者不仅给出了 Heine-Borel 定理等重要性质，还会从拓扑学的角度解释紧集的“有限性”和“封闭性”，并联系到它在分析学中的重要作用，例如保证函数的连续性和一致收敛性。这种对数学内在逻辑的挖掘，让我看到了数学不仅仅是枯燥的符号和公式，而是一个充满思想和智慧的有机整体。书中对一些定理的证明，更是充满了精巧的构思和深刻的洞察力，让我不得不惊叹于数学家的智慧。作者在讲解这些证明时，会分享一些思考的过程，例如“我们为什么要引入这个辅助函数？”、“这个不等式是如何巧妙地构造出来的？”，这些点拨犹如“画龙点睛”一般，让我能够真正理解定理的精髓。这种对内在逻辑的探索，极大地激发了我对数学的兴趣，让我从被动接受知识，转变为主动探索和发现。我开始不仅仅满足于理解表面的知识，而是渴望去探究数学现象背后的原因和联系，这种转变，是我在阅读本书过程中最大的收获之一。

评分☆☆☆☆☆

**例子丰富，联系实际，让抽象概念变得生动** 与许多将泛函分析理论化、抽象化的教材不同，这本《泛函分析教程》在讲解过程中穿插了大量的具体例子，并且这些例子往往与实际应用紧密相连，这极大地提升了我的学习兴趣和理解深度。在介绍度量空间的概念时，作者不仅列举了欧几里得空间、函数空间等常见的例子，还特别提及了它们在信号处理、图像分析等领域的应用，例如将图像表示为函数空间中的点，利用度量来衡量图像之间的相似度。在讲解 Banach 空间时，作者详细介绍了 $L^p$ 空间、C(K) 空间等重要的函数空间，并说明了它们在积分方程、微分方程、逼近论等方面的作用。特别是关于 C(K) 空间，书中通过连续函数的逼近问题，展现了其在数学分析和应用数学中的重要地位。当我看到这些抽象的数学概念能够如此直观地与我熟悉的物理现象、工程问题联系起来时，我才真正意识到泛函分析并非空中楼阁，而是解决实际问题的强大工具。书中对这些例子进行讲解时，也十分细致，能够帮助读者理解具体的数学方法是如何应用于解决实际问题的。例如，在介绍 Hilbert 空间中的投影定理时，作者就将其应用于求解最小二乘问题，这让我对这个抽象的定理有了更深刻的认识。此外，书中的一些附录或章节还会提及一些更广泛的应用领域，如量子力学、金融数学等，虽然篇幅不长，但足以激发读者进一步探索的兴趣。这种“理论联系实际”的教学方法，不仅让我掌握了泛函分析的理论知识，更培养了我运用数学思想解决问题的能力，这是我在其他教材中很难获得的宝贵经验。

评分☆☆☆☆☆

**语言平实，行文流畅，易于读者接受** 我一直认为，一本优秀的数学教材，不仅要有严谨的逻辑和深刻的思想，还应该有清晰易懂的语言和流畅自然的行文。这本《泛函分析教程》在这方面做得尤为出色。作者的语言风格十分平实，没有过多的华丽辞藻，也没有晦涩难懂的专业术语堆砌。相反，作者善于用清晰、简洁的语言来解释复杂的概念，并辅以直观的比喻和类比，让读者能够轻松理解。例如，在介绍完备性这个重要概念时，作者并没有直接给出形式化的定义，而是先从“没有遗漏”这个直观的意义出发，然后逐步引导读者理解柯西序列的收敛性。这种从直观到形式化的过渡，极大地降低了初学者的学习难度。同时，书中行文流畅，段落之间的衔接自然，不会让人感到跳跃或突兀。作者在讲解一个定理或概念时，往往会先回顾相关的背景知识，然后再引入新的内容，这样能够帮助读者建立起知识之间的联系，形成一个完整的知识体系。我印象深刻的是，书中在介绍一些证明时，作者还会用一些“我们可以这样做…”、“另一种思路是…”这样的过渡语，仿佛是在与读者进行一场对话，这使得阅读过程不再枯燥，而是充满了互动感。这种亲切的语言风格和流畅的行文，使得我在阅读这本书时，能够保持高度的专注和持久的学习热情，不容易产生疲劳感。这对于一门本身就具有一定难度的学科来说，是非常难能可贵的。

评分☆☆☆☆☆

**结构清晰，逻辑严谨，是自学者的福音** 作为一名数学系的学生，在学习过程中，我非常注重教材的结构设计和逻辑严谨性。这本《泛函分析教程》在这两个方面都做得非常出色。全书的章节安排合理，从基础的度量空间、赋范线性空间开始，逐步引入 Banach 空间、Hilbert 空间，然后深入到算子理论、谱理论等核心内容。每个章节都围绕一个主题展开，概念引入、定理陈述、证明过程、例题讲解、习题练习，层层递进，逻辑链条清晰明了，让人在阅读过程中不会感到迷失。作者在组织内容时，充分考虑到了读者的认知规律，会先给出直观的解释，再进行形式化的定义，并在证明过程中强调每一步的必要性和合理性。我特别喜欢书中对一些抽象概念的几何化解释，例如在讲解 Hilbert 空间的正交性时，作者联系到了欧几里得空间的几何直观，让我更容易理解其意义。此外，书中的例题选择得非常恰当，既能巩固所学概念，又能为后续更深入的学习打下基础。有些例题本身就包含了重要的性质或结论，作者也做了详细的分析，让读者能够触类旁通。习题部分难度适中，从基础的概念理解题到具有挑战性的证明题，都能有效地检验学习效果。对于一些较难的习题，书中也提供了提示或部分解答，这对于自学者来说是非常宝贵的资源。这本书的严谨性体现在它对每一个数学概念的定义都力求精确，对每一个定理的证明都力求完整，没有任何含糊不清的地方。这使得我在阅读过程中能够建立起对泛函分析概念体系的清晰认知，避免了因为概念不清而导致的理解偏差。可以说，这本书为我提供了一个扎实的理论基础，让我能够自信地面对更复杂的数学问题。

评分☆☆☆☆☆

**深度与广度的完美结合，既有深度又不失广度** 作为一本教程，我最看重的是它能否在保证理论深度的同时，又不失对整个学科领域的广泛覆盖。这本《泛函分析教程》在这方面做得非常出色，它在深入讲解核心概念的同时，也为读者提供了对整个泛函分析学科的全面了解。书中不仅详细阐述了 Banach 空间、Hilbert 空间、有界线性算子、紧算子等基础内容，还进一步深入到谱理论、算子代数等更高级的主题。作者在介绍这些高级内容时，并没有止步于定义和定理的陈述，而是会简要介绍它们的研究背景、重要应用以及与其他数学分支的联系，这让我在学习过程中能够感受到泛函分析的博大精深。例如，在介绍算子代数时，作者简要提及了 C*-代数及其在量子力学和非交换几何中的作用，这虽然不是本教程的重点，但却为我打开了另一扇了解更广泛数学领域的大门。同时，这本书的广度也体现在它对不同类型空间的讨论。除了常见的函数空间，书中还涉及了一些更抽象的拓扑线性空间，并简要介绍了它们的性质和应用。这种既有深度又不失广度的编排，使得这本教材既适合作为系统学习泛函分析的入门读物，也能够为进一步深入研究提供坚实的基础。它没有将一些重要但略微偏离主线的概念一笔带过，而是以一种恰到好处的篇幅进行介绍，让读者能够对整个学科有一个比较完整的认知，而不会感到知识体系的残缺。

评分☆☆☆☆☆

**对数学直觉的培养有极大的帮助** 泛函分析之所以让很多学生感到困难，很大程度上是因为它涉及大量高维空间和抽象概念，这使得我们很难像在低维欧几里得空间中那样，依靠几何直觉来理解。然而，这本《泛函分析教程》在帮助读者培养数学直觉方面做得非常到位。作者在讲解每个概念时，都会尽可能地联系低维空间中的类比，或者提供直观的几何解释。例如，在介绍线性算子的定义时，作者会先回顾矩阵表示的线性变换，然后讨论算子在函数空间中的表现形式。在讲解 Hilbert 空间的几何性质时，作者反复强调正交性、投影等概念在几何上的意义，比如将一个向量投影到子空间，这很容易让人联想到在三维空间中将一个点投影到平面。书中还有一些插图，虽然不多，但却恰到好处地描绘了某些抽象概念的几何形态，如单位球的形状、算子的不动点等，这些都能有效地帮助读者建立起空间想象能力。此外，作者在讨论某些定理的证明时，还会引导读者思考“为什么会这样？”、“这里的关键是什么？”，鼓励读者去探究数学背后的逻辑和直觉。这种引导性的讲解方式，不仅让我能够理解定理的表述，更重要的是，它帮助我培养了一种“数学感觉”，能够对某些数学现象产生直觉性的判断。例如，在学习算子谱理论时，作者通过类比有限维矩阵的特征值，引导我们去理解算子谱的几何意义，这让我对抽象的谱集不再感到神秘。我相信，这种对数学直觉的培养，对于一个数学学习者来说，其价值远超过死记硬背定理和公式。

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**一本真正帮助我理解了抽象概念的优秀教材** 一直以来，我对泛函分析这个领域都抱有一种又爱又怕的心态。爱的是它在数学众多分支中扮演着核心角色，连接着代数、几何、概率论等多个重要领域，其思想的深刻性和应用的前瞻性令人着迷；而怕的则是它抽象的定义、严谨的证明以及层出不穷的符号，常常让初学者望而却步，我也是其中之一。市面上也接触过一些泛函分析的教材，但总感觉它们要么过于晦涩，要么过于侧重计算而忽略了概念的内在逻辑。直到我翻开这本《泛函分析教程》，才真正体会到了“拨云见日”的感觉。作者在讲解 Banach 空间、Hilbert 空间等基本概念时，并没有直接堆砌定义和定理，而是通过清晰的引入、循序渐进的推导，以及大量贴切的例子，一步步引导读者去理解这些抽象概念的几何意义和实际作用。例如，在介绍有界线性算子时，作者并没有急于给出其性质，而是先从有限维空间中的线性变换入手，再逐步过渡到无限维空间，并强调了算子在物理学、工程学等领域的应用，如傅里叶分析、微分方程的求解等。这种由浅入深、联系实际的讲解方式，极大地降低了我的学习门槛，让我不再对那些看似难以捉摸的数学对象感到畏惧，反而激发了我进一步探索的兴趣。我尤其欣赏书中对许多经典定理，如开映射定理、闭图像定理的证明，作者不仅给出了严谨的证明过程，还对证明中的关键步骤和思想进行了深入剖析，让我能够真正理解定理的内涵，而不仅仅是记住一个结论。这本书不仅是一本教科书，更像是一位循循善诱的良师益友，陪伴我一步步走进了泛函分析的奇妙世界，让我对数学的理解又上了一个新的台阶，这种收获感是前所未有的。

评分☆☆☆☆☆

**为进一步研究和学习打下了坚实的基础** 在学习泛函分析的过程中，我最担心的是学到的知识过于零散，无法形成一个完整的知识体系，从而难以支撑未来的进一步研究。然而，这本《泛函分析教程》恰恰解决了我的这个顾虑。书中从度量空间开始，层层递进，构建了一个逻辑严密、结构清晰的知识体系。作者在讲解每一个概念时，都会考虑到它在后续章节中的作用，以及它与其他概念之间的联系。这使得我在学习过程中，能够逐渐建立起对整个泛函分析学科的宏观认识。例如，在学习算子理论时，作者会反复提及 Hilbert 空间和 Banach 空间的性质，以及它们在算子理论中的重要性。谱理论的讲解更是将前面的概念融会贯通，展现了泛函分析的强大威力。此外，书中在介绍一些经典定理时，还会简要提及这些定理在现代数学研究中的应用和发展，比如在量子场论、调和分析等领域。这些信息虽然简略，但足以激发我进一步探索的兴趣，让我了解到泛函分析并非一门孤立的学科，而是与许多前沿研究领域息息相关。可以说，这本书为我提供了一个坚实的地基，让我能够自信地去攻克更复杂的数学难题，也为我未来的学习和研究方向提供了宝贵的指导。它不仅仅是一本教材，更像是一张通往更广阔数学世界的地图，让我清晰地看到了前行的方向。

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和江泽坚、胡适耕的顺序都不一样啊，有难度！旁听研一课用~

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很好 只是次序略差了一点 另外很多proposition的证明都留作习题

评分☆☆☆☆☆

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和江泽坚、胡适耕的顺序都不一样啊，有难度！旁听研一课用~