Problems in Mathematical Analysis (Pure and Applied Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:CRC

作者:Piotr Biler

出品人:

页数:244

译者:

出版时间:1990-02-09

价格:USD 88.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780824783129

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《数学分析疑难解析》—— 深入探索纯粹与应用数学的挑战 《数学分析疑难解析》是一部专为数学爱好者、本科生、研究生及研究人员设计的深度学习指南。本书旨在系统性地梳理和解析数学分析领域中那些最为关键、最具挑战性且常常困扰学习者的核心问题。不同于教科书中侧重于基础概念的引入和证明的讲解，本书更专注于挖掘理论的内在联系，剖析疑难问题的产生根源，并提供多种解决策略和深入的理解视角。 本书的结构严谨，逻辑清晰，内容涵盖了数学分析的诸多重要分支，包括但不限于： 一、极限与连续性： 深入理解无穷小与无穷大的本质： 除了柯西与魏尔斯特拉斯的定义，本书将探讨无穷小阶的比较、极限的实际应用（如泰勒展开中的余项分析），以及在傅里叶级数、拉普拉斯变换等高级领域中无穷小量的作用。 点态连续性与一致连续性的细微差别： 通过大量构造性示例，解析二者的几何直观与分析本质，以及它们在有界闭区间上连续函数的性质（如最值定理、介值定理）中的关键作用。 函数簇的收敛性： 详细讨论逐点收敛、一致收敛、度量收敛等不同收敛概念，并深入分析它们与微分、积分运算的可交换性之间的深刻联系。本书将聚焦于一致收敛在函数项级数、幂级数、傅里叶级数展开等场景下的重要性，以及如何克服逐点收敛带来的局限。 二、微分学： 导数存在的充要条件与几何意义的拓展： 除了定义，我们将探讨导数在隐函数定理、反函数定理中的应用，以及在多元函数微积分中梯度、方向导数、切平面等概念的深层含义。 高阶导数及其应用： 深入分析泰勒展开的余项形式（Lagrange、Cauchy、Peano）及其在函数逼近、极值判断、不等式证明中的作用。本书将特别关注如何灵活运用泰勒公式解决一些棘手的代数和分析问题。 微分中值定理的推广与应用： 除了罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，本书还将涉及更一般的微分中值定理，并展示它们在不等式证明、函数单调性分析、收敛性判断等方面的强大威力。 三、积分学： 黎曼积分的精髓与局限： 深入剖析可积性的充要条件，以及黎曼积分在曲线、曲面面积计算等几何应用中的基础地位。 不可积函数的积分： 探讨勒贝格积分的定义、性质以及其相比于黎曼积分的优越性，尤其是在处理不连续函数和无穷积分时。本书将介绍勒贝格积分的基本思想和主要理论结果，为读者打开进入更广阔分析世界的大门。 积分的性质与应用： 详细讨论积分中值定理、积分的单调性、有界性、绝对连续性等性质，并展示它们在概率论、微分方程、复变函数等领域的广泛应用。 四、级数： 收敛判别法的精妙运用： 除了基本的判别法，本书将深入探讨比较判别法、根式判别法、比式判别法、交错级数判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法等，并通过大量实例展示如何根据级数的具体形式选择最优的判别策略。 函数项级数的收敛与性质： 重点关注幂级数、傅里叶级数、泰勒级数的收敛范围、一致收敛性以及它们与原函数之间的关系，例如在函数逼近、方程求解、特殊函数定义等方面的作用。 收敛级数的重排与求和： 探讨级数重排的条件（如阿贝尔定理），以及如何通过巧妙的重排和求和技巧解决一些看似复杂的问题。 五、多元函数微积分： 多变量极限与连续性： 探讨路径无关性、二重极限存在的充要条件，以及在隐函数、反函数定理中的应用。 多元函数可微性与方向导数： 深入理解可微性与偏可导性、方向可导性之间的关系，并探讨梯度、 Hesse 矩阵在函数极值、曲率分析中的作用。 重积分、线积分与面积分： 详细介绍各种坐标变换（如雅可比行列式）在计算重积分中的应用，以及格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等积分定理在物理学、工程学中的应用。 《数学分析疑难解析》的特点在于其“解析”二字。本书并非简单罗列习题，而是通过对每一个问题的深入剖析，引导读者理解问题背后的数学思想和技巧。书中精心挑选了大量来自经典教材、学术论文以及数学竞赛的典型疑难问题，并提供多角度、多层次的解答思路，帮助读者： 建立深刻的理论理解： 从概念的本质出发，破除对抽象概念的畏惧。 掌握灵活的解题方法： 培养分析问题、构建模型、选择工具的综合能力。 提升数学思维的严谨性： 强调逻辑推理的完整性和论证的严密性。 激发对数学研究的兴趣： 通过解决实际问题，体会数学分析的魅力与力量。 本书的语言风格严谨而又不失通俗，力求在保证学术准确性的同时，也能让不同背景的读者理解和接受。我们相信，《数学分析疑难解析》将是您在数学分析学习道路上不可或缺的良师益友，助您攻克难题，迈向更深邃的数学殿堂。

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这本书的理论深度让我印象深刻。它并没有止步于微积分的初级应用，而是深入探讨了诸如度量空间、完备性、紧致性等抽象概念，并展示了它们在数学分析中的重要作用。书中对拓扑学的初步介绍，以及度量空间上的连续性定义，让我对函数的行为有了更普适的理解。我尤其喜欢书中对不动点定理的介绍，它在许多领域都有着广泛的应用，而这本书则给出了严谨的证明和实例。此外，书中对傅立叶变换和拉普拉斯变换等信号处理中的重要工具的理论基础进行了阐述，这对于我理解更高级的工程和科学问题非常有帮助。读这本书需要一定的数学基础，但如果你有志于深入研究数学，那么这本书绝对是一个不容错过的选择。它就像一座知识的宝库，里面蕴藏着无穷的智慧。它让我明白，数学分析不仅仅是计算，更是对抽象概念的深刻理解和应用。

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这本书对我而言，最显著的改变在于它重塑了我对数学分析的认知。过去，我认为数学分析不过是各种计算公式和定理的堆砌，而这本书则让我看到了它背后深刻的逻辑结构和数学思想。例如，书中对微分中值定理的多种形式及其在不等式证明中的应用，展现了微积分的力量。它不只是一个工具，更是一种思维方式。对黎曼积分的几何意义的深入剖析，以及它与测度论的初步联系，让我窥见了更广阔的数学天地。书中的许多证明，虽然初看可能有些复杂，但一旦理解了其核心思路，便会觉得浑然天成。我尤其喜欢书中对一些经典难题的详细解答，例如那些关于实数性质的深刻问题，以及一些关于函数行为的微妙细节。这些内容不仅锻炼了我的解题能力，更重要的是，它教会了我如何去“思考”数学问题，而不是简单地套用公式。读这本书的过程，就像是在攀登一座高峰，每一步都充满了挑战，但也每一步都离目标更近。那种通过自己的努力，最终领悟数学真谛的喜悦，是任何其他事情都无法比拟的。这本书让我明白，数学分析不仅仅是学知识，更是培养一种能够洞察事物本质的数学精神。

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当我第一次看到这本书的目录时，就有一种“原来如此”的感觉。它系统地梳理了数学分析的核心内容，从基础的实数系出发，层层递进，将微积分的理论基础构建得滴水不漏。书中对序列和级数收敛性的讨论，是我之前学习中比较薄弱的环节，而这本书的详尽阐述，让我豁然开朗。它不仅给出了各种判定方法，更重要的是，它解释了这些方法背后的原理和适用范围。例如，在处理交错级数时，阿尔特函数判别法的引入和证明，让我对级数收敛的理解上升到了一个新的高度。此外，书中对函数序列和函数级数一致收敛的论述，也极大地拓展了我对极限和微分积分运算顺序的认识。那些看似枯燥的定理证明，在作者的笔下却充满了逻辑的美感，每一个步骤都严丝合缝，让人忍不住赞叹数学的严谨与精妙。我喜欢书中提供的那些精选的习题，它们难度适中，既能巩固所学知识，又能激发进一步的思考。每一次成功解决一个难题，都能带来巨大的成就感。这本书就像一本武功秘籍，里面记载着数学分析的各种精妙招式，只要潜心钻研，定能内功大成。它不只是告诉我们“怎么做”，更重要的是让我们理解“为什么这么做”。

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这本书的语言风格十分独特，既有学术论文的严谨，又不失数学家对知识的热情。作者在阐述每一个概念时，都会追溯其历史渊源和发展脉络，这使得学习过程不仅仅是知识的传递，更是一次对数学思想史的探索。我特别欣赏书中对一些重要定理的背景介绍，例如傅立叶级数的引入，它不仅解决了数学上的难题，更在物理学和工程学等领域产生了深远的影响。书中的插图虽然不多，但每一张都恰到好处地突出了关键的几何意义，例如函数图像的变化趋势，或者积分的几何解释。这些插图帮助我更好地理解那些抽象的数学概念。我喜欢这本书的节奏，它并不急于求成，而是循序渐进，确保读者在每一个阶段都能扎实地掌握知识。读这本书需要投入大量的时间和精力，但每一次的投入都会带来丰厚的回报。它让我感觉到，数学分析不仅仅是关于符号和公式，更是关于对世界规律的深刻洞察。这本书的价值，在于它能够激发读者对数学的兴趣，并引导他们走上深入探索的道路。

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这本书的深度和广度都给我留下了深刻的印象。它并没有停留在对微积分基本概念的介绍，而是进一步深入到了更复杂的理论，例如多元函数的微分学，包括方向导数、梯度、以及隐函数定理和反函数定理的证明。这些内容在很多入门级的教材中往往会被简化处理，但这本书却给予了它们足够的篇幅和严谨的论述。我特别欣赏书中对偏导数和全微分关系的细致分析，以及它们在实际问题中应用的案例。此外，书中对曲线积分和曲面积分的介绍，也让我对积分的概念有了更全面的认识。特别是斯托克斯公式和高斯公式的推导和应用，更是将微积分的思想提升到了一个更高的维度。读这本书需要耐心和专注，因为它不是一本可以随意翻阅的书，而是需要沉下心来，仔细体会每一个概念和证明。但是，当你克服了困难，理解了那些复杂的理论时，那种成就感是无与伦比的。这本书让我明白，真正的数学学习，是需要付出努力的，但这份付出所带来的回报，将是长久而丰厚的。它为我打开了通往高等数学的大门，让我对数学的理解不再局限于表面。

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这本书的封面设计就透着一股严谨的学术气息，沉静的蓝色搭配经典的衬线字体，仿佛预示着里面蕴含着数学分析的深邃世界。拿到手里，分量十足，这让我对内容的充实程度有了初步的信心。翻开第一页，便被那清晰而又略显古朴的排版所吸引，没有花哨的图示，只有严谨的符号和逻辑严密的文字，这种纯粹的学术风格正是许多数学爱好者所追求的。我之前接触过一些数学分析的入门读物，总感觉搔不到痒处，而这本书的出现，就像是为我打开了一扇通往真正理解数学分析的大门。它并没有回避那些令人望而生畏的证明和细节，反而以一种循循善诱的方式，带领读者一步步剖析问题的本质。从极限的定义到积分的计算，每一个概念的引入都充满了历史的积淀和思想的闪光。读这本书的时候，我常常需要拿出纸笔，跟随作者的思路一步步演算，这种沉浸式的学习体验是其他任何形式的阅读都无法比拟的。它不只是一本教材，更像是一位循循善诱的导师，在你迷茫时点拨，在你困顿时指引。我尤其欣赏书中对一些关键概念的深入探讨，例如连续性的不同定义及其之间的关系，还有勒贝格积分的引入，这些内容对于理解更高级的数学分支至关重要。这本书的价值，并不仅仅在于它提供的知识点，更在于它培养了读者严谨的数学思维方式。

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这本书的排版和设计也值得称赞。虽然内容严谨，但其清晰的布局和适度的留白，使得阅读体验十分舒适。每一个定理、定义和引理都得到了明确的标注，方便读者查找和回顾。我尤其喜欢书中对符号的规范使用，这使得整个文本的逻辑更加清晰。此外，书中的索引和参考文献也十分详尽，为读者提供了进一步深入研究的途径。读这本书，就像是在享受一场精心设计的数学盛宴。它不仅仅提供了知识，更重要的是，它提供了一种优雅的学习方式。它让我感觉到，好的书籍设计，能够极大地提升学习的效率和乐趣。这本书的价值，在于它能够让那些对数学充满热情的人，找到一条高效而愉悦的学习之路。

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这本书的习题部分是我最喜欢的部分之一。它们的设计非常巧妙，涵盖了从基本概念的检验到复杂定理的应用，难度梯度清晰。许多习题并非简单的计算题，而是需要运用多种数学工具和逻辑推理才能解决的。我尤其喜欢那些“证明题”，它们迫使我深入理解每一个定理的证明过程，并学会如何将其思想迁移到新的问题上。我记得有一个习题，要求证明某个函数的导数在某个区间上的一致性，这需要我仔细分析函数的性质，并运用到中值定理的变体。解决这个问题的过程，让我对导数的几何意义有了更深刻的理解。这本书不仅仅是提供了题目，更重要的是，它通过这些题目，教会了我如何“思考”数学问题，如何构建解题的思路。它不只是知识的传递，更是能力的培养。读这本书，就像是在接受一场严格的数学训练，每一次的练习都让我变得更加强大。它让我明白，数学的学习，最终是为了掌握解决问题的能力。

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这本书的另一个亮点在于其对数学史的关注。作者在介绍每一个数学概念或定理时，都会简要地提及相关的历史背景和重要人物，这使得学习过程充满了人文色彩。了解这些数学思想是如何一步步发展起来的，能够帮助我们更好地理解它们的精髓。我尤其喜欢书中对牛顿和莱布尼茨在微积分发展史上的贡献的描述，以及欧拉在数学分析领域的卓越成就。这些历史故事不仅增添了阅读的趣味性，更重要的是，它们让我们认识到数学的创造性和探索性。读这本书，就像是在与伟大的数学家们进行思想的对话。它让我感觉到，数学不仅仅是冷冰冰的公式，更是人类智慧的结晶。这本书的价值，在于它能够激发读者对数学的敬畏之心，并引导他们去探索数学更深层次的魅力。

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这本书给我最大的触动，在于它对数学分析中一些“基础”概念的重新审视。例如，书中对实数集完备性的讨论，虽然看似抽象，但却是整个数学分析大厦的基石。作者通过对柯西序列的介绍，以及实数与有理数之间关系的阐释，让我深刻理解了为什么我们需要建立在完备的实数系之上。这种对基础的强调，使得我对后续内容的学习有了更坚实的基础。此外，书中对各种收敛性的区分和比较，例如点态收敛与一致收敛，以及它们对积分和微分运算的影响，都让我对函数的行为有了更细腻的观察。我尤其喜欢书中通过大量的例子来说明这些概念的细微差别，这些例子不仅仅是枯燥的数字，而是蕴含着深刻的数学思想。读这本书的过程，就像是在探究数学的“本源”，每一个结论的得出，都经过了漫长而严谨的推导。它教会了我，不要轻易接受表面现象，而是要深入探究其内在的逻辑。这本书不仅仅是关于数学分析的知识，更是关于如何进行严谨数学思考的一种训练。

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