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熟知, 我们可用带余除法求一个整
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不得不说，这本书的编排和内容逻辑性极强。作者似乎非常了解读者的学习曲线，总是能在恰当的时机Introduce新的概念，并在之前的知识基础上进行延展。我尤其欣赏他对“多项式环的希尔伯特函数”（Hilbert function）以及“希尔伯特级数”（Hilbert series）的介绍。这部分内容，虽然听起来与格罗布纳基基本身不是直接关联，但却是理解多项式系统性质，尤其是其解的个数和分布规律的重要工具。作者通过将格罗布纳基基与这些函数联系起来，揭示了理论的内在统一性。我记得在讲解一个多项式理想的自由分解（free resolution）时，作者非常细致地展示了如何利用格罗布纳基基来计算这些分解的链复形（chain complex）的自由模（free module）的秩，从而得到对应的希尔伯特炊（Hilbert polynomial）。这种将不同数学工具融会贯通的讲解方式，让我感觉受益匪浅。此外，书中还提到了格罗布纳基理论在“几何建模”（geometric modeling）中的应用，比如如何使用格罗布纳基基来表示和操作曲线曲面。这对于我这种对计算机图形学和可视化感兴趣的读者来说，无疑是一大亮点，也让我看到了数学理论与实际应用的无缝对接。
评分在我看来，数学的魅力在于其抽象的结构能够映射和解决现实世界中的诸多问题，而这本书正是连接抽象理论与实际应用的典范。作者在讨论格罗布纳基理论的应用时，非常注重理论与实践的结合。我记得在介绍“曲线曲面插值”（curve and surface interpolation）时，作者展示了如何将插值问题转化为求解一个多项式方程组，然后利用格罗布纳基基来找到满足插值条件的曲线或曲面。这让我看到了格罗布纳基理论在计算机辅助设计（CAD）和计算机图形学领域的实际价值。此外，书中还深入探讨了格罗布纳基理论在“符号积分”（symbolic integration）和“符号微分”（symbolic differentiation）中的应用，以及它如何帮助我们解决复杂的微分方程组。这些内容，不仅拓宽了我的数学视野，也让我看到了数学在解决工程和科学问题中的潜力。作者的讲解深入浅出，即使是较为复杂的应用场景，也能被他梳理得井井有条。每一次阅读，我都能从中获得新的启示，对数学的理解也更加深刻。
评分这本书，我几乎是捧着它度过了好几个静谧的午后，也熬过了几个不眠之夜。它的封面设计简约却不失厚重感，拿到手里就有一种沉甸甸的知识分量。我一直对数学中那些看似抽象的概念颇感兴趣，尤其是在理解代数几何和计算代数领域时，总觉得缺少了一把关键的钥匙。直到我翻开了这本书，才豁然开朗。作者在介绍格罗布纳基（Grobner basis）理论时，并没有一开始就抛出晦涩的定义和复杂的定理，而是循序渐进地从多项式环的理想（ideal）概念讲起，非常细致地阐述了理想的生成元（generating set）与基（basis）之间的关系。这种由浅入深的教学方式，对于我这样并非专业领域出身的读者来说，无疑是极大的福音。他用生动的例子，比如求解方程组、判定多项式理想是否包含某个多项式等，来具象化格罗布纳基的实际作用，让我能深刻理解为何它会被誉为“多项式方程组的牛顿法”。在阅读过程中，我特别注意到了作者对于不同类型的格罗布纳基基（如Lexicographical order, Graded reverse lexicographical order）的讲解，以及它们在具体计算中的优势和劣势。每一个算法的推导都经过了严谨的逻辑链条，并且辅以清晰的伪代码，即使初学者也能尝试着去理解其背后的运作机制。总而言之，这本书不仅仅是一本理论著作，更像是一位耐心的导师，引导我一步步深入探索这个迷人的数学世界。
评分这本书的价值，远不止于提供一套数学理论，更在于它能够改变我看待问题的方式。作者在阐述格罗布纳基理论的应用时，往往能够从一个全新的角度切入，将看似毫不相关的数学概念联系起来。我记得在探讨“理想的零点集”（zero set of an ideal）的性质时，作者巧妙地利用了格罗布纳基基的性质来分析这些零点集的几何结构，比如如何判断一个理想的零点集是否为空，以及如何计算这些零点集的个数。这部分内容，对于理解代数几何的核心问题至关重要。书中还对“多项式环上的模”（modules over polynomial rings）的结构进行了深入的分析，并展示了如何利用格罗布纳基基来研究这些模的性质。例如，如何计算模的“自由度”（rank of a module）以及如何找到模的“生成元”。这些内容，对于理解更高级的代数结构，比如“代数簇的同调代数”（cohomology of algebraic varieties）具有重要的铺垫作用。这本书的讲解，严谨而生动，既有理论的深度，又不乏思想的启发性，让我对数学的理解又上升到了一个新的高度。
评分对于很多学习高等数学的学生而言，很多概念往往是孤立存在的，缺乏联系。而这本书，却像一位技艺高超的织工，将代数几何、计算代数、甚至一些微分几何的概念，巧妙地编织在一起，形成了一幅壮丽的数学图景，而格罗布纳基基正是这幅图景中的核心节点。作者在论述“代数簇”（algebraic variety）的性质时，充分利用了格罗布纳基基的强大威力。他展示了如何通过计算一个理想的格罗布纳基基，来判断两个代数簇是否相等，以及如何通过它来求解代数簇上的点。这些应用，对于理解代数几何的基石至关重要。我尤其被书中关于“齐次理想”（homogeneous ideal）和“齐次格罗布纳基”（homogeneous Grobner basis）的讲解所吸引。这部分内容，与射影几何（projective geometry）紧密相连，作者通过对射影簇（projective variety）的分析，让我理解了格罗布纳基理论在描述和研究无穷远点（points at infinity）等概念中的重要性。书中的每一个例子，都经过精心设计，能够帮助读者从不同角度理解格罗布纳基基的强大功能。它不仅仅是解决方程组的工具，更是理解几何对象内在结构的钥匙。
评分坦白说，当我第一次接触到“格罗布纳基”这个词汇时，内心是充满好奇又带着一丝畏惧的。它听起来就像是数学领域里某个隐藏的宝藏，需要经过层层解密才能触及核心。而这本书，恰恰成为了我挖掘这笔宝藏的得力工具。它并没有将格罗布纳基理论束之高阁，而是以一种非常亲民的方式将其展现在读者面前。我特别喜欢作者在解释“商环”（quotient ring）概念时所使用的类比，比如将多项式环想象成一个由无数条“规则”组成的王国，而理想则像是打破这些规则的“叛逆者”。格罗布纳基基，就是一套能够精确描述这些“叛逆者”行为模式的“通行证”，能够帮助我们理解整个王国的结构。书中关于“Buchberger算法”的阐述，更是让我印象深刻。作者详细剖析了算法的每一步，并解释了为何这个算法能够保证生成一个格罗布纳基基。尤其是对“syzygy”（结）的解释，虽然初听起来有些抽象，但结合书中的图示和具体的多项式例子，我逐渐理解了它们在算法中的关键作用。更令我惊喜的是，这本书并没有止步于理论层面，而是花了不少篇幅探讨了格罗布纳基理论在计算机代数系统（CAS）中的实现，以及它在计算机科学领域，例如曲面曲线性、机器人学、密码学等方面的广泛应用。这让我认识到，看似纯粹的数学理论，实则拥有着改变现实世界的力量。
评分我一直认为，一本好的数学书，应该能够激发读者深入思考，而不是仅仅被动接受。这本书在这方面做得非常出色。作者在讲解算法时，并没有直接给出最终的公式，而是通过引导性的问题，鼓励读者自己去推导，去探索。比如在介绍“F4算法”（F4 algorithm）时，他先回顾了Buchberger算法的不足之处，然后层层递进地解释F4算法是如何通过更高效地计算约简（reduction）来优化性能的。我特别喜欢他对于“多项式约简”（polynomial reduction）过程的详细描述，以及如何利用“多项式约简图”（polynomial reduction graph）来可视化约简的过程。这种可视化的方式，极大地帮助我理解了算法的内在逻辑。书中还对格罗布纳基基的“最小格罗布纳基”（minimal Grobner basis）和“规范格罗布纳基”（reduced Grobner basis）进行了区分，并解释了它们各自的性质和应用。这让我对格罗布纳基基有了更深入、更细致的认识，也理解了在实际应用中，我们应该选择哪种类型的基。这本书的深度和广度，都远远超出了我的预期，让我对格罗布纳基理论的认识，从一个模糊的概念，变成了一个清晰而强大的数学工具。
评分我一直认为，一本优秀的数学书，应该能够激发读者深入思考，而不是仅仅被动接受。这本书在这方面做得非常出色。作者在讲解算法时，并没有直接给出最终的公式，而是通过引导性的问题，鼓励读者自己去推导，去探索。比如在介绍“F4算法”（F4 algorithm）时，他先回顾了Buchberger算法的不足之处，然后层层递进地解释F4算法是如何通过更高效地计算约简（reduction）来优化性能的。我特别喜欢他对于“多项式约简”（polynomial reduction）过程的详细描述，以及如何利用“多项式约简图”（polynomial reduction graph）来可视化约简的过程。这种可视化的方式，极大地帮助我理解了算法的内在逻辑。书中还对格罗布纳基基的“最小格罗布纳基”（minimal Grobner basis）和“规范格罗布纳基”（reduced Grobner basis）进行了区分，并解释了它们各自的性质和应用。这让我对格罗布纳基基有了更深入、更细致的认识，也理解了在实际应用中，我们应该选择哪种类型的基。这本书的深度和广度，都远远超出了我的预期，让我对格罗布纳基理论的认识，从一个模糊的概念，变成了一个清晰而强大的数学工具。
评分这本书给我的感觉，就像是一张由无数精密齿轮组成的机械图纸，而格罗布纳基基则是其中最为关键的传动部件。作者在介绍“理想的性质”（properties of ideals）时，巧妙地将格罗布纳基基作为分析这些性质的核心工具。他详细阐述了如何利用格罗布纳基基来判定一个理想是否是“主理想”（principal ideal），以及如何找到生成主理想的“生成元”。这部分内容，对于理解多项式环的结构非常重要。我特别欣赏作者在讲解“降次乘法”（multiplication by x_i modulo the ideal）时所展示的技巧。这是一种非常有效的计算方法，能够帮助我们理解商环的结构，并为理解格罗布纳基基的性质奠定基础。书中还讨论了格罗布纳基基在“判定多项式环上的模的自由度”（determining the rank of a module over a polynomial ring）中的应用，以及如何利用它来分析模的结构。这些内容，对于深入理解代数几何和表示论（representation theory）都有着重要的意义。这本书的深度和广度，让我对格罗布纳基理论的理解，从一个模糊的概念，变成了一个清晰而强大的数学工具。
评分从我个人而言，一本优秀的数学书籍，不仅要有严谨的理论推导，更要能激发读者的求知欲和探索精神。而这本书，无疑做到了这一点。它就像一个精心设计的迷宫，每一个转角都有新的发现，每一个章节都引导着我走向更深的理解。作者在引入“模”（module）的概念时，为格罗布纳基理论的推广奠定了基础，并以此为起点，探讨了在模上的格罗布纳基基。这一部分的讲解，对我来说是挑战，也是乐趣。如何将线性代数中的向量空间思想延伸到非线性代数结构中，是理解这一章节的关键。作者通过对“模规约”（module reduction）过程的细致分析，让我能够理解如何利用格罗布纳基基来简化模中的元素。此外，书中关于“全格罗布纳基”（universal Grobner basis）的介绍，也让我大开眼界。它是一种能够处理参数化多项式系统的强大工具，能够帮助我们在未知参数的情况下，依然能够分析多项式系统的性质。作者在这一部分的论述，既有理论的深度，又不乏思想的启发性，让我对格罗布纳基理论的理解又上升到了一个新的高度。每次合上书本，我都会忍不住思考，还有哪些未知的领域，可以被格罗布纳基理论所揭示？
评分这本书估计是国内很少的专题写grobner基的书了，并且很全面。计算机代数比较全面的书，推荐王东明老师的《多项式代数》
评分这本书估计是国内很少的专题写grobner基的书了，并且很全面。计算机代数比较全面的书，推荐王东明老师的《多项式代数》
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