具体描述
本书是南开大学根据新世纪教学改革成果而编写的公共高等数学系列教材之一，主要内容包括函数、极限与连续、一元函数微分学、不定积分和定积分等。
为适应新世纪理工类各专业对数学的要求，本书在内容上注重对学生抽象思维和逻辑上严谨论证能力的训练，同时也着力对学生运算能力和解决问题能力的培养，书中每节有较多的例题，每节后又有较多的练习题（习题分A、B两类，A类是基本题，B类是有一定难度的习题），书后还附有部分习题的答案以及对一些较难习题的提示。
本书可作为大学理工类各专业本科生的教材，也可作为经管类等对数学要求较高的其他专业的教学参考书。
《计算方法与工程应用实例》 书籍简介 本书旨在系统地介绍计算方法在现代工程科学与技术中的应用原理、核心算法及其在实际工程问题中的求解策略。本书内容覆盖了数值分析的基础理论、关键算法的推导与实现，并特别强调了这些方法在实际工程场景中的应用价值与实现细节。全书结构严谨，理论深度与工程实践紧密结合，力求为读者提供一套扎实、实用的计算工具箱。 第一部分：数值计算基础与误差分析 本书的开篇部分系统回顾了进行数值计算前必须掌握的数学基础知识，并深入探讨了误差的来源、性质与控制方法。 1.1 计算机与数值计算概述 本章首先界定了数值计算的范畴，阐述了它与理论分析之间的关系。重点介绍了计算机浮点数的表示方法，包括单精度和双精度浮点数的存储结构，这是理解计算过程中数值稳定性的基石。深入分析了舍入误差、截断误差和模型误差的相互作用及其在复杂计算链中的累积效应。通过具体的算例，展示了如何通过选择合适的算法和数据类型来最小化最终结果的误差。 1.2 函数插值与逼近 插值是科学计算中处理离散数据点，重构连续函数形态的核心技术。本章详细介绍了多种插值方法： 拉格朗日插值与牛顿插值： 阐述了其代数形式和递归性质，分析了高次插值可能导致的龙格现象，并解释了如何通过分段插值来缓解这一问题。 分段低次插值： 重点讲解了三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）的构建原理，特别是其在保持一阶和二阶连续性（光滑性）方面的优势，这使其成为处理物理曲线和工程轮廓的理想选择。 最小二乘逼近： 区别于精确插值，本章侧重于处理噪声数据。详细推导了线性最小二乘法和多项式最小二乘法的正规方程组，并引入了QR分解等更稳定的方法来求解超定方程组，确保在数据误差较大的情况下获得最佳拟合。 第二部分：非线性方程求解与系统线性代数 本部分专注于求解方程和线性系统的核心数值技术，这些是工程优化和模型求解的基础。 2.1 非线性方程的数值求解 本章针对单变量和多变量的非线性方程 $f(x)=0$ 给出了一系列高效的迭代方法： 区间法： 介绍二分法，分析其可靠性但收敛速度较慢的特点。 开区间法： 重点阐述了牛顿法（Newton's Method）的几何意义、收敛速度（二次收敛）及其对初始猜测的敏感性。同时，对割线法（Secant Method）和假位法（Regula Falsi）进行了深入比较，展示了如何在不使用导数的情况下实现超线性收敛。 多维非线性方程组： 扩展到多变量情况，系统讲解了多维牛顿法，强调了雅可比矩阵的计算与求解在迭代过程中的关键作用。 2.2 线性方程组的直接求解法 大型稀疏或稠密线性方程组 $Ax=b$ 的求解是工程计算量最大的部分。 高斯消元法与LU分解： 详细分解了高斯消元法的过程，并将其推广为LU分解，说明了LU分解在求解多组右端向量时的效率优势。引入主元选择（部分选主元）来增强数值稳定性。 Cholesky分解： 专门针对对称正定矩阵的特殊高效分解方法，广泛应用于有限元分析的刚度矩阵求解。 2.3 线性方程组的迭代求解法 当矩阵规模非常大或高度稀疏时，直接法因存储和计算复杂度而不再适用，迭代法成为首选。 经典迭代法： 介绍雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代，分析了它们的收敛条件（如对角占优的判据）。 现代预处理迭代法： 重点介绍Krylov子空间方法，特别是共轭梯度法（CG）在求解对称正定系统中的卓越性能，以及GMRES和双共轭梯度法（BiCGSTAB）在非对称系统中的应用。解释了预处理器的概念及其如何加速收敛。 第三部分：特征值问题与常微分方程（ODE）数值解 本部分关注动态系统的建模与分析，这是控制、振动和电路分析的核心。 3.1 特征值问题的数值方法 特征值和特征向量在模态分析、稳定性判断中至关重要。 幂法与反幂法： 阐述了如何利用幂法高效地求出最大/最小特征值及其对应向量。反幂法结合了求解线性系统（$A-mu I$）的过程，用于求特定区域的特征值。 QR算法： 作为求解所有特征值的“黄金标准”，详细介绍了该算法的原理，包括如何通过相似变换（如Householder变换）将矩阵约化为 Hessenberg 形式，以加速迭代过程。 3.2 常微分方程（ODE）的数值积分 求解初值问题 $frac{dy}{dt} = f(t, y), y(t_0)=y_0$ 是工程仿真不可避免的一环。 单步法： 深入分析欧拉法（Euler's Method）的局限性，并详细推导和实现了二阶和四阶龙格-库塔法（Runge-Kutta Methods，特别是RK4），阐述了其在精度和稳定性之间的平衡。 多步法： 介绍了Adams-Bashforth（显式）和Adams-Moulton（隐式）公式，强调了它们在需要高精度积分曲线时作为预测-校正方案的应用。 刚性问题（Stiffness）： 引入了对刚性ODE的讨论，并介绍了隐式欧拉法和后向微分公式（BDF）在处理刚性系统（收敛极慢的系统）时的必要性和稳定性优势（A-稳定性）。 第四部分：偏微分方程（PDE）的数值方法基础 偏微分方程是描述场分布和连续介质行为的数学工具。本部分介绍求解这些方程的主要数值框架。 4.1 离散化方法概述 介绍了将连续问题转化为可解代数问题的基本思想。 有限差分法（FDM）： 重点讲解如何利用泰勒展开式构建中心差分、前向差分和后向差分来近似空间和时间的导数。通过一维热传导方程（抛物型PDE）的显式和隐式差分格式（如Crank-Nicolson方法）来阐述稳定性和收敛性的权衡。 有限元方法（FEM）简介： 虽未深入探讨单元刚度矩阵的构造，但简要介绍了变分原理、形函数（基函数）的选择，以及如何通过加权残量法将PDE转化为一组线性代数方程组，为后续进行更复杂的结构分析打下概念基础。 5. 附录：C++与Python实现示例 本书在每章关键算法之后，都提供了使用现代编程语言（如C++和Python的NumPy库）实现的标准化代码模板。这些示例不仅展示了算法的精确实现，还包括了如何进行输入验证、结果可视化和性能测试，确保读者能够直接将这些算法集成到他们的工程仿真或数据处理流程中。 目标读者 本书面向机械、土木、航空航天、电子信息等理工科专业的高年级本科生、研究生以及需要利用数值方法解决实际工程问题的工程师和研究人员。要求读者具备扎实的微积分和线性代数基础知识。
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