The Method of Coordinates pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:I. M. Gelfand

出品人:

页数:80

译者:

出版时间:2011-10-20

价格:USD 8.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486425658

丛书系列:I.M. Gelfand 数学基础教育丛书

图书标签:

• 科普
• 数学
• 数学
• 坐标系
• 解析几何
• 几何学
• 方法
• 数学史
• 笛卡尔
• 数学基础
• 高等数学
• 数学教学

空间之舞：非欧几何与拓扑的奇异旅程 作者： [此处留空，或用一个假定的作者名，例如：亚历山大·科瓦奇] 出版社： [此处留空，或用一个假定的出版社名，例如：先驱科学出版社] --- 内容概述 本书并非对笛卡尔坐标系或解析几何进行系统性的梳理，而是带领读者深入探索那些超越了我们日常直觉所能轻易捕捉的数学结构——非欧几里得几何与拓扑学的迷人疆域。我们聚焦于几何学在不同公理体系下所展现出的惊人多样性，以及拓扑学如何以一种更本质、更具韧性的视角来审视空间自身的属性。 本书旨在为那些对传统欧氏几何的边界感到好奇，并渴望理解更高维、更抽象空间形态的读者提供一座坚实的桥梁。它摒弃了对基础代数运算的繁琐依赖，转而强调几何概念的直观理解、内在逻辑的构建，以及它们在现代物理学与数学分支中的深远影响。 第一部分：欧氏公理的阴影——非欧几何的诞生与逻辑重构 在本书的开篇，我们将对支撑了数千年的欧几里得几何学进行一次审慎的回顾。我们不会满足于对其公式的复述，而是深入剖析第五公设（平行线公设）的独特地位。正是对这一公设的怀疑与尝试证明，催生了数学史上最伟大的革命之一。 第一章：平行线的悖论与自由 本章首先回顾了普莱费尔（Playfair）对第五公设的现代表述，并展示了历史上众多数学家试图将其归约为前四条公设的失败尝试。我们将探讨这些失败并非源于智力上的不足，而是因为它们触及了一个更深层次的结构性限制。 第二章：罗巴切夫斯基的鞍面——双曲几何的兴起 我们将详细介绍罗巴切夫斯基（Lobachevsky）的双曲几何。不同于笛卡尔平面上的笔直线条，双曲空间中的“直线”（测地线）在远离观察点时会以更快的速度向外发散。 双曲三角学： 我们将推导出与欧氏三角学截然不同的三角函数关系。例如，双曲空间中任意三角形的内角和恒小于 180 度。我们将通过构造庞加莱圆盘模型（Poincaré disk model）来直观感受这种扭曲的度量。读者将了解到，在这个模型中，圆周不再是恒定的圆，其“真实”大小与其在模型中绘制的视觉大小存在巨大差异。 面积与周长的关系： 探索在曲率恒定为负的空间中，圆的周长如何比欧氏空间中增长得慢，以及面积与半径的关系如何被彻底改写。 第三章：黎曼的球面——椭圆几何的回归 紧接着，我们将探讨黎曼（Riemann）对空间曲率概念的概括，特别是正曲率的椭圆几何（或称球面几何）。 测地线的奇异性： 在球面几何中，两条“直线”（大圆）必然相交，这意味着平行线概念的彻底失效。我们将分析最短路径（测地线）在球体上的性质，以及为什么在赤道上绘制一个三角形，其内角和会大于 180 度。 空间自洽性： 比较双曲、欧氏和椭圆几何的内在一致性，并讨论它们如何共同构成对空间曲率进行分类的完整框架。我们不涉及黎曼度量张量的复杂张量分析，而是通过球体、平面和鞍面这三个经典模型，建立对“曲率”这一物理和几何概念的深刻直觉。 第二部分：超越度量——拓扑学的非形变视角 如果说非欧几何关注的是如何在不同曲率的“硬”空间中测量距离，那么拓扑学则关注空间在被拉伸、弯曲、扭曲时保持不变的本质属性。本部分将带领读者从度量（Metric）的束缚中解脱出来，进入定性几何的领域。 第四章：拓扑学的起源与“橡皮泥几何” 本章将介绍拓扑学的核心思想：空间形变而不破坏其基本连接性。我们将区分拓扑等价（Homeomorphism）与刚性变换（Isometry）。 不变量的寻找： 探讨拓扑学研究的核心任务——寻找在连续形变下保持不变的量。我们不会过多涉及代数拓扑的复杂计算，而是通过经典的例子来建立直觉，例如，一个甜甜圈（环面）与一个咖啡杯是拓扑等价的，但一个球体则不是。 欧拉示性数（Euler Characteristic）： 介绍作为最基础的拓扑不变量之一的欧拉示性数 ($chi = V - E + F$)。我们将展示如何计算简单多面体（如立方体、八面体）的示性数，并将其推广到任意流形（Manifold）上的应用，强调其对空间“洞”的数量的敏感性。 第五章：洞的计数——连通分支与连通性 本章深入探讨拓扑学中关于“连接”的概念。 连通分支： 区分一个空间是否由相互分离的部分组成。 贯穿性（Genus）： 引入“亏格”（Genus）的概念，即衡量一个流形上“洞”的数量。我们将详细分析：一个圆环（甜甜圈）的亏格为 1，而两个环相连的物体（双环面）的亏格为 2。这一概念将帮助读者理解为何某些空间结构在拓扑上是根本不同的。 第六章：单侧性与自我交叉的迷宫 本部分将展示拓扑学中一些最反直觉的构造，这些构造挑战了我们对“表面”的基本认知。 莫比乌斯带（Möbius Strip）： 详细解析莫比乌斯带的构造过程，并证明其仅有一个表面和一条边界线，从而理解“单侧性”的概念。我们将探讨在莫比乌斯带上行走，如何最终回到起点但方向却发生了反转。 克莱因瓶（Klein Bottle）： 探索克莱因瓶——一个没有内部和外部之分的四维构造，它在三维空间中只能自我相交。我们将从二维曲面出发，逐步引导读者理解三维空间中不可能实现的“无边界、无翻转”表面的拓扑学意义。我们着重强调，理解克莱因瓶必须暂时放弃对三维空间内嵌的依赖。 结论：从度量到结构 本书的最终目标是让读者认识到，数学家对“空间”的理解远比我们日常经验中的三维欧氏空间要丰富得多。非欧几何学展示了在改变基本公理后，空间如何保持其内在的逻辑严密性，而拓扑学则揭示了在最极端的形变下，空间依然可以保有其不变的“身份”。 本书提供了一个概念性的框架，使读者能够欣赏到数学语言在描述宇宙结构——从弯曲的时空（广义相对论的几何基础）到复杂网络的连接性——中的强大力量，而这一切都建立在对基本几何假设进行勇敢的超越之上。 --- 目标读者： 对高等数学基础有一定兴趣的理工科学生、物理学爱好者，以及任何渴望拓宽思维边界，对几何本质属性感到好奇的读者。本书假设读者熟悉基本的集合论概念，但不需要任何高等微积分或线性代数背景。

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