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出版者:Springer

作者:Peter J. Hilton

出品人:

页数:394

译者:

出版时间:1997-1-17

价格:USD 89.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387948232

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
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《范畴论基础与应用》 作者： [此处留空，以保持中立] 出版社： [此处留空] 出版年份： [此处留空] --- 内容简介 本书旨在为读者提供一个扎实且全面的范畴论（Category Theory）基础，并深入探讨其在现代数学，特别是代数、拓扑学和理论物理学中的核心应用。范畴论作为一种“关于结构的数学”，提供了一种统一的语言来描述和比较不同数学领域中的结构与关系。本书的编写目标是超越纯粹的抽象，将理论的工具性与其实际的解决问题的能力紧密结合起来。 全书共分为四个主要部分：基础理论、构造性范畴、特定范畴的深入分析，以及前沿应用。 --- 第一部分：范畴论的基础理论 (Foundations of Category Theory) 本部分致力于建立读者对范畴论核心概念的直观理解和严格掌握。我们从最基本的定义出发，逐步引入关键的结构。 第一章：范畴、函子与自然变换 本章详细阐述了范畴（Objects and Morphisms）、恒等态射和复合态射的公理化定义。我们重点探讨了预加性范畴（Preadditive Categories）和加性范畴（Additive Categories），这些是连接范畴论与群论和模论的桥梁。 紧接着，我们定义了函子（Functors），区分协变函子（Covariant Functors）和逆变函子（Contravariant Functors）。我们通过大量的例子来阐释函子的作用，例如遗忘函子（Forgetful Functors）和自由函子（Free Functors）。 自然变换（Natural Transformations）是范畴论的精髓所在。本章详细介绍了自然变换的严格定义、自然性检验（Naturality Squares）的构造，以及它们构成了“函子之间的态射”这一深刻思想。我们引入了自然同构（Natural Isomorphisms）的概念，并证明了它们在不同数学构造中的普适性。 第二章：特殊结构的范畴 本章聚焦于那些在代数结构中扮演重要角色的特定范畴。我们深入探讨了加群范畴 ($ ext{Ab}$)，环范畴 ($ ext{Ring}$) 与模范畴 ($ ext{R-Mod}$)。 核心内容包括：极限（Limits）和余极限（Colimits）的定义。极限的例子包括直积（Products）、等化子（Equalizers）和核（Kernels）。余极限的例子则包括上积（Coproducts）、上等化子（Coequalizers）和上核（Cokernels）。我们证明了这些结构在满足一定条件下是唯一确定的（仅在同构意义上）。 第三章：伴随函子与代数结构的形成 伴随函子（Adjoint Functors）被誉为范畴论中最强大的工具之一。本章用大量篇幅介绍： 1. 伴随的定义：左伴随（Left Adjoint）与右伴随（Right Adjoint）之间的自然同构。 2. 伴随函子的性质：证明了伴随函子保持极限和余极限的能力。 3. 经典示例：详细分析了自由代数（Free Algebra）的构造作为左伴随，以及遗忘函子作为右伴随的典型案例。我们还探讨了自由群、张量积（Tensor Product）与其相关函子的伴随关系。 --- 第二部分：构造性范畴与代数结构的统一视角 本部分将前一部分的理论工具应用于更复杂的结构，重点在于阿贝尔范畴的概念框架，为理解同调代数奠定基础（尽管本书不深入探讨同调代数本身）。 第四章：阿贝尔范畴 本章定义了阿贝尔范畴（Abelian Categories），这是满足加法性、所有态射都有核和上核、并且核和上核构成单射-射影分解的范畴。我们证明了模范畴是阿贝尔范畴。 关键概念包括：短正合列（Short Exact Sequences），以及如何在阿贝尔范畴中识别它们。我们引入了射出（Epimorphisms）和射入（Monomorphisms）的概念，并讨论了它们在阿贝尔范畴中的性质（例如，它们都是正规的）。 第五章：预对偶性：张量积与对偶性 本章侧重于描述范畴中通过“泛性质”定义的构造如何体现了对偶性。 我们重新审视了张量积（Tensor Product $otimes$）的泛性质，并将其置于伴随函子框架下理解。对于一个固定模 $M$，我们讨论了函子 $M otimes (-) $ 与 $ ext{Hom}(M, -)$ 之间的关系，强调了它们作为左伴随和右伴随的关系（在适当的范畴内）。 对偶性：引入了双对偶函子（Double Dual Functor）$V^{}$，并讨论了在有限生成自由模范畴中它何时与恒等函子自然同构。 --- 第三部分：特殊范畴的深入分析 本部分将范畴论的方法应用到拓扑学和几何学中具有重要意义的结构上。 第六章：拓扑空间与连续映射 我们研究了拓扑空间范畴 ($ ext{Top}$) 和豪斯多夫空间范畴 ($ ext{Haus}$). 构造性分析：我们探讨了在 $ ext{Top}$ 中构造极限和余极限的具体方法（例如，子空间、商空间），并检验了它们是否保持了 $ ext{Top}$ 的某些性质。特别是，我们分析了积空间（Product Spaces）和楔积（Wedge Sums）。 函子在拓扑中的应用：我们引入了连续函数空间 $ ext{C}(X, Y)$ 上的函子，并考察了它们与 $ ext{Top}$ 结构的兼容性。 第七章：集合与函数 我们详细考察了集合范畴 ($ ext{Set}$)——这是最基础的加性范畴，也是所有阿贝尔范畴的极限和余极限的“模型”。 我们再次强调了 $ ext{Set}$ 中笛卡尔积（Product）、不交并（Disjoint Union）作为极限和余极限的体现。本章将集合论中的基础构造（如函数的定义域、值域、陪集）提升到范畴论的语言下进行重新表述，以突出其结构本质。 --- 第四部分：范畴论的前沿应用概述 本部分将视角拓展到范畴论在现代科学中的一些关键应用领域。 第八章：从拓扑到代数：概览 本章简要概述了基本群范畴（Fundamental Group Functor $pi_1$）如何将拓扑空间通过一个逆变函子映射到群范畴，从而允许代数工具来研究拓扑问题。我们讨论了它如何将拓扑的连通性问题转化为群的同态问题。 第九章：预备知识：高阶结构 本章引入了比一般范畴更丰富的结构，为更高级的研究打下基础： 1. 预有序集（Posets）：作为特殊范畴的实例，讨论了它们的极限和余极限如何对应于最大元和最小元。 2. 2-范畴（2-Categories）：初步介绍了 1-态射和 2-态射的概念，解释了它们如何描述“变换的变换”，为理解更高阶的自然性提供了框架。 --- 适用读者对象 本书适合于代数、拓扑学、几何学、逻辑学以及理论物理学的研究生和高级本科生。它要求读者对集合论、抽象代数（群、环、模）和基础拓扑学有扎实的预备知识。本书的组织结构侧重于概念的严谨性、证明的完整性，并强调从基础到高级工具的系统性递进。

评分☆☆☆☆☆

工作关系与上同调无关，以下仅仅是自己的理解： 1. 所谓同调理论，直白的说，就是箭头学，是研究最基本的对象上的映射的性质的；例如集合与其上的映射，模与模同态之间映射等等。 2. 同调理论有什么用？对某些抽象的数学对象进行研究的时候，往往涉及到研究对象的分类问题。由...

评分☆☆☆☆☆

工作关系与上同调无关，以下仅仅是自己的理解： 1. 所谓同调理论，直白的说，就是箭头学，是研究最基本的对象上的映射的性质的；例如集合与其上的映射，模与模同态之间映射等等。 2. 同调理论有什么用？对某些抽象的数学对象进行研究的时候，往往涉及到研究对象的分类问题。由...

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工作关系与上同调无关，以下仅仅是自己的理解： 1. 所谓同调理论，直白的说，就是箭头学，是研究最基本的对象上的映射的性质的；例如集合与其上的映射，模与模同态之间映射等等。 2. 同调理论有什么用？对某些抽象的数学对象进行研究的时候，往往涉及到研究对象的分类问题。由...

评分☆☆☆☆☆

初次接触到“A Course in Homological Algebra”这本书，就被它那简洁却又充满力量的书名所吸引。我是一位对抽象代数怀有浓厚兴趣的学生，尤其是在学习群论、环论和模论的过程中，我逐渐意识到许多问题的解决和概念的深化都离不开“同调”这个工具。之前阅读过的部分资料，虽然也涉及同调代数的一些概念，但往往是片段式的，缺乏一个整体性的框架。这本书的出现，恰似在迷雾中点亮了一盏指路明灯。我希望它能够系统地介绍同调代数的基本理论，从最基础的阿贝尔范畴的概念开始，逐步深入到链复形、上同调、同调的定义和性质，以及各种导出函子。更重要的是，我希望这本书能够提供足够多的例子和应用，让我能够真正理解这些抽象概念的意义和价值。例如，我非常想了解链复形如何在代数拓扑中用于计算同调群，以及模范畴中的内射盖和投射盖是如何在模理论中扮演关键角色的。这本书的出现，让我看到了将那些零散的知识点串联起来，形成一个完整而强大的理论体系的希望，也为我未来深入研究代数几何、表示论等相关领域铺平了道路。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学的深度和广度充满好奇，而同调代数作为连接代数和拓扑学的桥梁，更是吸引了我。“A Course in Homological Algebra”这个书名，在众多的数学书籍中，散发着一种独特而深刻的魅力。我曾尝试阅读一些关于同调代数的资料，但往往因为其抽象性和技巧性而感到难以深入。我希望这本书能够以一种更加平易近人，但又不失严谨的方式，带领我进入同调代数的殿堂。我期待它能够从最基础的定义和概念开始，例如阿贝尔范畴、函子、链复形等，并逐步引导我理解同调与上同调群的构造和性质。更重要的是，我希望书中能够提供足够多的例子和应用，让我能够看到同调代数如何在代数拓扑中计算同调群，或者在交换代数中如何利用导出函子解决问题。我希望通过这本书，我不仅能够掌握同调代数的理论知识，更能体会到它在解决复杂数学问题时的强大威力，并激发我进一步探索其在各个数学分支中应用的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

当我第一次听说“A Course in Homological Algebra”这本书时，我就知道我找到了一本能够帮助我深入理解这个重要数学分支的宝藏。我对数学理论的严谨性和系统性有着不懈的追求，而同调代数恰恰是连接不同数学领域，并揭示其深层结构的桥梁。在我之前的学习过程中，虽然接触过一些关于同调代数的片段，但总感觉缺乏一个完整、连贯的框架。我期待这本书能够为我提供一个从基础到进阶的完整学习体系，清晰地介绍阿贝尔范畴、函子、链复形、同调与上同调群，以及导出函子等核心概念。我尤其希望书中能包含大量的例子，特别是那些能够展示同调代数在代数几何、表示论、拓扑学等领域应用的例子，这样我才能真正体会到它的力量和优雅。我相信，通过这本书的学习，我能够构建起坚实的同调代数知识体系，并为我未来的学术研究打下坚实的基础，让我能够更自信地探索数学的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就带着一种深邃的吸引力，厚重且低调，仿佛预示着里面蕴藏着数学的精妙智慧。我一直对代数拓扑和代数几何中的同调代数方法心向往之，但苦于没有系统性的学习材料。在许多资深数学家和同行推荐中，“A Course in Homological Algebra”这个名字反复出现，而且无一例外地被冠以“经典”和“必读”的标签，这足以点燃我探索的决心。我期待这本书能够为我揭示同调代数那令人着迷的结构，帮助我理解那些看似抽象的概念背后所蕴含的深刻几何直觉。我希望它不仅仅是一本技术手册，更是一次智识的旅程，能够引导我穿越同调代数的迷宫，最终抵达豁然开朗的彼岸。从我初步翻阅的目录来看，那些熟悉又陌生的词汇，比如“阿贝尔范畴”、“函子”、“内射盖”、“投射盖”、“导出函子”，都如同数学的召唤，预示着一场深刻的智力挑战和丰厚的知识回报。我迫不及待地想沉浸其中，去感受同调代数的力量，去领略它在解决复杂数学问题时所展现出的优雅与威力，并希望它能为我未来在数学研究的道路上打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名本身就传递着一种严谨和系统的气息，这正是我在寻求关于同调代数知识时的期待。我一直对数学中的抽象结构和它们之间的联系深感兴趣，而同调代数无疑是理解这些联系的关键工具。在我的数学学习过程中，我发现同调代数的方法论在代数拓扑、代数几何、甚至数论等多个领域都扮演着核心角色。然而，先前接触到的资料往往存在碎片化的问题，缺乏一个完整的理论框架来支撑我深入学习。因此，“A Course in Homological Algebra”的出现，对我来说意义重大。我期望这本书能够以清晰的逻辑和严谨的论证，介绍同调代数的基本概念，如阿贝尔范畴、函子、链复形、同调与上同调群、投射与内射模等。我希望书中能够提供丰富的例证，特别是那些能体现同调代数在解决实际数学问题时所展现出的强大力量和优雅之处。我相信，通过这本书的学习，我将能够建立起扎实的同调代数基础，为我在更广阔的数学领域进行探索奠定坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学充满热情但非专业出身的学习者，我一直在寻找一本能够带领我进入同调代数这个精妙领域的书籍。“A Course in Homological Algebra”这个名字，在我浏览数学书籍推荐列表时，如同一颗璀璨的明珠。我明白同调代数在现代数学的许多分支中都扮演着核心角色，从代数拓扑到代数几何，再到数论，它的身影无处不在。然而，对于初学者来说，这个领域往往被描述得异常晦涩和抽象。我希望这本书能够以一种循序渐进、由浅入深的方式来介绍同调代数。我期待它能够清晰地解释阿贝尔范畴、函子、链复形等基本概念，并且提供足够的直观解释和例子，帮助我建立起对这些抽象结构的感性认识。特别是，我对书中关于导出函子的介绍充满期待，因为我知道这是同调代数中最强大的工具之一，能够解决许多在传统代数方法下难以处理的问题。我希望这本书能够让我体会到同调代数的逻辑之美和普适性，并且激发我继续探索其在不同数学分支中应用的兴趣，为我打开一扇通往更广阔数学世界的大门。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计给我一种沉静而又充满智慧的感觉，正是我在寻找一本深入学习同调代数时所期望的风格。我一直对数学的深度和广度感到着迷，而同调代数无疑是其中一个极其重要的领域。在我的学习过程中，我发现许多深刻的定理和构造都依赖于同调代数的语言和方法。然而，现有的资料往往要么过于简略，要么过于专业，对于像我这样希望系统性地构建同调代数知识体系的学习者来说，并不十分友好。我期待“A Course in Homological Algebra”能够填补这一空白。我希望它能够提供一个扎实的理论基础，从最根本的阿贝尔范畴开始，逐步深入到链复形、上同调、投射和内射分解、以及各种导出函子。我尤其希望书中能够包含丰富的例子，尤其是那些能体现同调代数在代数拓扑、代数几何、表示论等领域中实际应用的例子，这样我才能更好地理解这些抽象概念的意义和威力。我希望通过这本书，我能够真正掌握同调代数这门强大的语言，为我未来的学术研究打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

在我浏览数学书籍推荐时，“A Course in Homological Algebra”这个书名立刻吸引了我的注意。我一直对代数领域的研究有着浓厚的兴趣，特别是在深入学习交换代数和代数几何时，我越来越意识到同调代数的重要性。许多关键定理和构造，例如Serre对偶性、Serre猜想等，都离不开同调代数的工具。然而，我此前接触的教材在同调代数部分往往不够详尽，或者假设读者已经具备了相当的背景知识。这让我感到在理解这些更深层次的理论时存在一些障碍。我希望这本书能够提供一个系统、全面且深入的同调代数学习路径。我期待它能够清晰地解释阿贝尔范畴、函子、链复形、同调与上同调群等基本概念，并提供充足的例子和证明，帮助我建立起对这些抽象概念的深刻理解。我尤其关注书中对导出函子的处理，因为我知道这是同调代数的核心工具之一，对于解决许多代数问题至关重要。这本书的出现，让我看到了系统掌握同调代数这门强大工具的希望。

评分☆☆☆☆☆

我是一名有着一定数学基础的研究生，在学习代数拓扑和交换代数时，同调代数如同一个幽灵般萦绕在我脑海中。我了解到很多深刻的结果，例如代数几何中的Serre对偶定理，都离不开同调代数的力量。但是，此前接触的教材往往在同调代数部分讲得过于简略，或者假定读者已经掌握了相当的背景知识。这使得我在理解那些更深层的理论时感到力不从心，总有一种隔靴搔痒的感觉。正是因此，“A Course in Homological Algebra”这本书的出现，对我来说意义非凡。我希望它能提供一个严谨且全面的同调代数学习路径。我期待它能够从最基本的语言开始，清晰地定义阿贝尔范畴、函子、自然变换等核心概念，然后循序渐进地介绍链复形、同调与上同调群、投射和内射模、导出函子等关键工具。我尤其关注书中对Ph.S.C.的介绍，那是我在某些文献中反复看到但一直未能深入理解的部分。我希望这本书能提供丰富的例子，尤其是那些能帮助我理解同调代数在代数几何、表示论、同调群论等领域中应用的具体案例。我期待这本书能成为我理解和运用同调代数这个强大工具的坚实基石。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计给人一种经典而权威的感觉，这正是我在寻找一本系统学习同调代数时的首选。我一直对数学的抽象和结构之美着迷，而同调代数正是将这种美学展现得淋漓尽致的领域之一。在我之前的学习经历中，我曾多次遇到涉及同调代数概念的文献，但往往由于背景知识的不足，对这些概念的理解停留于表面。我希望“A Course in Homological Algebra”能够提供一个扎实的入门和进阶平台。我期待它能够从最基础的范畴论概念开始，逐步引入阿贝尔范畴、函子、链复形、同调与上同调等核心内容。更重要的是，我希望书中能够提供丰富的练习题和应用实例，帮助我理解这些抽象工具如何在具体的数学问题中发挥作用，例如如何在代数拓扑中计算同调群，或是在交换代数中利用投射/内射分解解决问题。我希望通过这本书，我能够真正领略同调代数的强大威力，并将其应用到我感兴趣的研究领域。

评分☆☆☆☆☆

测评一下，前两章讲模范畴和一些必备的范畴论讲得还是挺详细（adjoint functor那节那些记号都是些啥啊。。），第三章开始讲ext和tor就很尴尬了。weibel那本同调真心好

评分☆☆☆☆☆

只看到导出函子。从模入手还是比较初学友好的。

评分☆☆☆☆☆

不错的书。

评分☆☆☆☆☆

只看了一点点，捂脸……

评分☆☆☆☆☆

只看了一点点，捂脸……