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第一章 跨世紀的拓撲學: 低維流形
1 拓撲學序幕
1.1 Leonhard Euler, 聖彼得堡, 1736 年
1.2 Leonhard Euler, 柏林, 1752 年
1.3 Augustin Cauchy, 巴黎理工學校('E cole Polytechnique),1825年
1.4 Carl Friedrich Gauss, 哥廷根, 1833 年
2 二維流形
2.1 Simon L'Huilier, 日內瓦皇傢學院, 1812---1813 年
2.2 Niels Henrik Abel, 挪威, 19世紀20 年代
2.3 Bernhard Riemann, 哥廷根, 1857 年
2.4 August Ferdinand M"o bius, 萊比锡, 1863 年
2.5 Walther Dyck, 慕尼黑, 1888 年
2.6 Henri Poincar'e , 巴黎, 1881---1907 年
2.7 Paul Koebe, 柏林, 1907 年
2.8 Hermann Weyl, 哥廷根, 1913 年
2.9 Tibor Rad'o , Szeged, 1925 年
3 三維流形
3.1 Poul Heegaard, 哥本哈根, 1898 年
3.2 Poincar'e , 巴黎, 1904 年: Poincar'e 猜想
3.3 James W. Alexander, 普林斯頓, 20 世紀20 年代
3.4 Hellmuth Kneser, 格賴夫斯瓦爾德(Greifswald), 1929 年
3.5 Herbert Seifert, 萊比锡, 1933 年
3.6 Edwin Moise, 密西根大學, 1952 年
3.7 Christos Papakyriakopoulos, 普林斯頓, 1957 年
3.8 Wolfgang Haken, 慕尼黑, Friedhelm Waldhausen, 波恩,20 世紀60 年代
3.9 George D. Mostow, 耶魯, 1968 年
3.10 William Thurston, 普林斯頓, 20 世紀70 年代後期
3.11 William Jaco, Peter Shalen, Klaus Johannson, 20 世紀70 年代後期
3.12 Thurston, 1982 年: 幾何化猜想
3.13 Richard Hamilton, 康奈爾大學, 1982 年
3.14 Grigori Perelman, 聖彼得堡, 2003 年
4 四維流形
4.1 A. A. Markov Jr., 莫斯科, 1958 年
4.2 J. H. C. Whitehead, 牛津, 1949 年
4.3 Vladimir Rokhlin, 莫斯科, 1952 年
4.4 Michael Freedman, 加州大學聖迭戈分校, 1982 年
4.5 Simon Donaldson, 牛津, 1983 年
4.6 Clifford Taubes, 哈佛, 1987 年
4.7 結語: 接下來會是什麼?
5 附錄: 各節的進一步注記
6 緻謝
7 圖片緻謝
8 參考文獻
第二章 四十六年後的微分拓撲學
1 主要進展
2 Poincar'e 猜想: 三個版本
3 更多細節
4 參考文獻
第三章 五十年前: 五十和六十年代的流形拓撲學
1 三維流形
2 更高維
3 為什麼高維常常更容易?
4 來自聽眾的問題
5 參考文獻
第四章 Poincar'e 猜想
1 簡介
2 早期的失誤
3 更高維數
4 Thurston 幾何化猜想
5 微分幾何和微分方程的途徑
6 參考文獻
第五章 走嚮Poincar'e 猜想和三維流形的分類
1 Poincar'e 問題
2 基於分片綫性方法的結果
3 常麯率流形
4 Thurston 的幾何化猜想
5 Ricci 流
6 參考文獻
第六章 Hilbert 第18 問題: 關於晶體群、 基本域和裝球
1 在~$n$ 維歐氏空間中~$cdotscdots$ 是否僅有有限多個本質上不同的有~(緊緻) 基本域的運動群?
2 是否也存在著這樣的多麵體, 它們不是運動群的基本域,而其全等的復本充滿~(歐氏) 空間?
3 人們怎麼樣纔能在空間中最密實地安排給定形狀的無限多個相同的物體, 如給定半徑的球~$cdotscdots$.即人們如何將它們擠在一起使得被填充的和未填充的空間比盡可能大?
4 參考文獻
第七章 Nash 的諾貝爾奬
1 博弈論
2 遊戲
3 幾何和分析
4 後記
5 緻謝
6 參考文獻
7 John F. Nash 發錶的文章
第八章 雙麯幾何: 前150 年
1 正文
2 附錄. 雙麯三維空間的體積問題
3 參考文獻
第九章 在古老的Fine Hall 中成長
1 正文
2 參考文獻
第十章 拓撲流形與光滑流形
1 正文
2 參考文獻
第十一章 關於三維Brieskorn 流形$M(p, q, r)$
1 簡介
2 Schwarz 三角群$Sigma ^* supset Sigma$
3 中心擴張的三角群$Gamma (p, q, r)$
4 球麵情形$p^-1 +q^-1 +r^-1 >1$
5 分數次自守微分形式
6 雙麯情形$p^-1 +q^-1 +r^-1 <1$
7 縴維化準則
8 冪零流形情形$p^-1 +q^-1 +r^-1 =1$
9 參考文獻
第十二章 微分幾何中的問題
微分幾何
1 (自相交) 肥皂泡問題
2 理解標量麯率$R=sum g^ik g^jl R_ijkl $
3 理解Ricci 麯率張量$R_ik =sum g^jl R_ijkl $
4 正截麵麯率的流形
5 參考文獻
對 ~1974 年問題列錶的更新
6 三維空間中麯麵的平均麯率
7 標量麯率
8 Ricci 麯率
9 截麵麯率
10 參考文獻
第十三章 微分拓撲
1 流形的嵌入和浸入
2 嚮量空間叢
3 Thom 協邊理論
4 參考文獻
索引
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收起)
