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出版者:

作者:梅向明

出品人:

页数:347

译者:

出版时间:2008-5

价格:17.90

装帧:平装

isbn号码:9787040235722

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宇宙的拓扑与力的织锦：一部探索空间、曲率与物质的宏大叙事 图书名称： 宇宙的拓扑与力的织锦 作者： [此处可填入一个富有学术气息的虚构作者名，例如：艾尔文·冯·霍夫曼] ISBN： [此处可填入一个虚构的ISBN] --- 导言：超越欧几里得的疆域 自古以来，人类便试图描绘我们所栖居的世界。从平面上的几何学，到对三维实体形状的精确测量，我们的认知一直在稳固的欧几里得框架内运行。然而，当我们凝视星空，当我们深入探究物质的微观结构，或试图理解引力的本质时，我们很快发现，平直的、固定的空间概念已然捉襟见肘。 《宇宙的拓扑与力的织锦》是一部宏大的、跨越多个科学领域的专著，它拒绝将空间视为一个被动的、无特征的背景，而是将其提升为具备内在结构、可塑性与动态性的核心参与者。本书旨在为读者构建一个全新的、动态的几何世界观，一个其中弯曲、连接性、流形结构与自然规律的深层物理法则紧密交织的领域。 本书的核心驱动力，是对“形状决定功能”这一哲学命题的几何学诠释。我们不再满足于描述物体的大小和角度，而是深入探究物体所处的环境——即其所嵌入的流形——如何决定了物体（包括光线、粒子，乃至时空本身）的运动轨迹与内在属性。 --- 第一部分：流形的基础与拓扑的坚韧性 本部分将为读者奠定理解高维、非均匀空间的数学基石，重点在于拓扑学所提供的、独立于度量而存在的结构洞察。 第一章：从集合到结构：拓扑空间的严格定义 我们首先回顾拓扑学的基本概念：开集、闭集、邻域与连续性。但重点在于如何将这些抽象概念应用于物理模型。我们将讨论紧致性、连通性以及分离公理，并引入度量空间与拓扑空间的微妙区别——即拓扑结构保持不变时，距离可以任意拉伸的自由度。这为后续理解时空的“弹性”特性做了铺垫。 第二章：光滑的画布：微分流形的概念 微分流形是连接代数结构与几何直觉的桥梁。本书将详细阐述流形的构造，包括坐标卡、转移映射（或称过渡函数）的平滑性要求。我们将通过构建二维球面和环面作为经典案例，展示局部欧几里得性如何构建出全局的非平凡结构。读者将学习如何定义流形上的向量场与张量场，为描述物理场（如电磁场或引力场）做准备。 第三章：拓扑不变量与空间的指纹 拓扑学最强大的工具在于其不变量。本章聚焦于同调群与同伦群。同调群揭示了空间中“洞”的数量和维度，例如，三维球体与环面的显著拓扑差异。我们将探讨贝蒂数（Betti numbers）如何量化空间的“结构复杂性”，并讨论黎曼几何中“截面曲率”如何被拓扑结构所约束。我们将引入同胚的概念，强调即便在剧烈形变下，某些深层连接属性是如何保持恒定的。 --- 第二部分：曲率的几何学：度量与测地线的舞蹈 如果说拓扑学描述了空间的“连通性”，那么黎曼几何则赋予了空间以“弹性”和“曲率”的概念，这是理解引力的核心。 第四章：度量张量：丈量弯曲空间 度量张量 $g_{mu u}$ 是本部分的核心。它定义了流形上任意两点之间微小距离的平方 $ds^2$。本书将详细探讨如何定义和计算度量张量，并将其与坐标系的选择（坐标无关性）联系起来。我们将引入共变导数（Covariant Derivative），解释为何在弯曲空间中，导数的计算必须考虑到坐标系的微小变化。 第五章：测地线方程：最直的路径 在欧几里得空间中，两点间的直线是最短路径；在弯曲空间中，最短（或最长）路径被称为测地线。本章将详细推导测地线方程，即$frac{d^2x^mu}{ds^2} + Gamma^mu_{alphaeta}frac{dx^alpha}{ds}frac{dx^eta}{ds} = 0$。我们将深入分析克里斯托费尔符号 $Gamma^mu_{alphaeta}$ 的物理意义——它们是度量张量的一阶导数，直接编码了空间的弯曲程度，是连接几何与物质的“中间人”。 第六章：里奇张量与空间弯曲的量化 曲率并非单一概念。本章将系统区分不同类型的曲率：黎曼曲率张量 $R^ ho_{sigmamu u}$（描述了向量平行移动一周后偏离初始方向的角度）、里奇张量 $R_{mu u}$（是黎曼张量通过缩并得到的，描述了体积的膨胀或收缩效应），以及斯卡拉曲率 $R$。我们将展示里奇张量如何描述空间在某一点上“挤压”或“拉伸”的程度，这是理解爱因斯坦场方程几何背景的关键。 --- 第三部分：动力学的几何化：时空的织锦 本书的终极目标是将前面建立的几何工具应用于描述宇宙的动力学，特别是引力的本质。 第七章：非保守场与物质的几何关联 我们将讨论在非均匀流形上，自由粒子（如测试粒子）如何遵循测地线运动，从而引出“惯性力即引力”的几何解释。我们将通过分析物质的能量动量张量 $T_{mu u}$，探讨其与时空曲率（里奇张量）之间的代数关系。这为爱因斯坦的场方程奠定了直观的几何基础：物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。 第八章：拓扑的演化：宇宙的膨胀与边界 如果空间是动态的，那么它的拓扑结构也可能在演化。本章将讨论弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FLRW）度量下的时空几何。我们将探讨宇宙学常数（真空能量）在几何上如何体现为里奇张量的一个固定背景项。此外，本书将探讨封闭宇宙、开放宇宙以及平坦宇宙的拓扑学含义，即它们是否具有有限的体积或是否具备周期性的边界条件。 第九章：规范理论的几何视角 超越引力，本书将简要引入规范理论（如电磁学和强弱核力）的几何化描述。我们将探讨纤维丛、联络（Connection）以及场强张量如何通过“几何化”的方法被重新解释。这展示了微分几何作为一种统一语言的强大潜力，它不仅描述了广阔的时空，也规定了基本粒子的相互作用规律。 --- 结语：未竟的探索 《宇宙的拓扑与力的织锦》旨在提供一个坚实的、具有高度几何直觉的分析框架。通过对流形、曲率和测地线的深入剖析，读者将能够以全新的视角审视现代物理学的核心问题。我们所面对的宇宙，不再是一个由牛顿定律支配的刚性舞台，而是一个具有内在结构、自我组织并不断演化的、由几何学编织而成的动态织锦。本书的价值在于，它将读者从欧几里得的束缚中解放出来，为探索量子引力、高维空间乃至宇宙的终极命运，铺设了必要的思维路径。

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这本书真是让我大开眼界，尤其是在处理那些涉及到空间弯曲和拓扑结构的复杂问题时，作者的讲解深入浅出，仿佛为我这位初学者搭建了一座通往更高维度理解的桥梁。我记得书中有好几章专门探讨了黎曼曲率张量，初看时确实有些令人望而生畏，那些复杂的指标和求和符号让人头疼。但是，作者并没有止步于冰冷的数学公式，而是巧妙地结合了物理学的直观图像，比如用“测地线”的概念来解释物体在弯曲空间中的运动轨迹。这种方式极大地帮助我理解了为什么我们需要引入这些看似抽象的概念。例如，在讨论等距嵌入理论时，作者用非常清晰的例子展示了如何将一个高维流形“平铺”到低维空间，尽管这在理论上意味着某种程度的失真，但其几何直觉的建立是无可替代的。特别是关于“曲率的局部效应”那部分，作者似乎有一种魔力，能将那些纯粹的代数操作转化为三维想象力的延伸，让我得以“看见”那些抽象的向量场是如何在曲面上相互作用的。对于任何想从欧几里得几何的舒适区走出来，真正探索空间内在性质的读者来说，这本书提供了一个坚实且富有启发性的起点。它不只是告诉你“是什么”，更重要的是解释了“为什么会这样”。

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这本书的结构设计充满了几何学的对称美。它不仅仅是一本工具书，更像是一部精心编排的音乐会，从简单的单形开始，逐渐引入更宏大、更复杂的结构。我特别喜欢作者在介绍“主纤维丛”和“联络的一般构造”时所采用的“搭桥”策略。作者没有直接给出复杂的纤维丛上的微分几何定义，而是先从一个非常具体的例子——球面上的单位切向量场——入手，展示了为什么需要一个“联络”来定义两个不同切空间之间的“平移”规则。通过这种具体到抽象的过渡，使得后来引入的整体概念（如曲率张量作为联络的“非可积性”的度量）变得顺理成章。书中还涉及了一些关于“特征类”的初步探讨，虽然没有深入到代数拓扑的细节，但足以让读者领略到这些高阶不变量是如何利用几何结构来“探测”流形的整体性质的。这本书的价值在于，它提供了一个完整的知识体系框架，让读者不仅学会了如何计算，更重要的是理解了这些计算背后的深刻几何意义。

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这本书的语言风格是极其正式且高度学术化的，它要求读者必须具备扎实的微积分和线性代数的背景知识，否则阅读体验会非常吃力。我记得有一部分内容专门讲解了“外微分”的运算规则，作者在这里几乎没有使用任何“口语化”的解释，而是完全依赖于微分形式的代数性质和积分形式的表述。这对于已经熟悉了经典向量分析的读者来说，无疑是一种高效的知识迁移，因为它直接将概念提升到了更高的抽象层次。然而，对于基础不牢固的人来说，这部分可能会成为一个难以逾越的障碍。尽管如此，书中对“德拉姆上同调”的引入，虽然篇幅不长，但其核心思想的阐述——即通过微分形式的“积分性质”来区分空间的“洞”——为我理解拓扑不变量提供了全新的视角。它不再是单纯地数洞的数量，而是通过一种具有微分结构的方式来刻画这些拓扑特征。这种将分析与拓扑紧密结合的处理方式，是这本书最令人赞叹的特点之一，它展示了现代几何学的强大统一性。

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这本书的叙事节奏把握得极为精准，从一开始的微分流形基础设定，到后面深入到纤维丛和联络的构建，整个学习路径的设计简直是教科书级别的典范。我尤其欣赏作者在引入新概念时所保持的克制与耐心。比如，在讲到切空间和余切空间的概念时，作者并没有急于抛出复杂的对偶性理论，而是先花了大量的篇幅来阐述为什么我们需要这些“切”出来的局部结构来描述一个整体的、可能扭曲的表面。这种由表及里的推进方式，避免了初学者在面对高维抽象时常见的“迷失感”。读到关于“流和向量场”那一章时，我感受到了前所未有的清晰。作者通过一系列精心挑选的例子，展示了如何利用李导数来衡量一个函数沿着特定方向变化的速率，这不仅是数学上的操作，更是一种对动态过程的深刻洞察。书中穿插的那些历史背景介绍也很有趣，它让我意识到很多复杂的数学工具并非凭空产生，而是为了解决特定的几何难题而逐步发展起来的。可以说，这本书不仅是数学工具箱，更是一部几何思想的发展史，让人在学习过程中充满了对前人智慧的敬佩。

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坦率地说，这本书的深度远超出了我对一本入门级教材的预期。它像是一位经验丰富的向导，带领我们穿越了那些充斥着奇点的“危险地带”。我对那些关于“紧致性”和“完备性”的讨论印象尤为深刻。作者并没有将这些拓扑性质仅仅视为附加的限制条件，而是将其提升到了决定几何结构特性的核心地位。在讨论测地线方程的解的存在性和唯一性时，那种严谨的逻辑链条让人叹服。每一步的推导都像是建筑的承重结构，密不透风。更让人称道的是，作者在处理诸如“浸入”和“嵌入”的区别时，使用了非常精妙的反例来巩固读者的理解，这些反例往往能直观地揭示出看似微小的定义差异所带来的巨大拓扑后果。这本书的排版和图示设计也值得称赞，那些复杂的张量分量的示意图，虽然是二维平面上的描绘，却有效地传达了多维空间的内在对称性和不变性。对于那些希望不仅仅停留在计算层面，而是想真正掌握几何思维的读者，这本书无疑提供了足够的挑战和回报。

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和解析几何挺像的

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不喜欢，空降定义，部分概念没解释清楚。

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配合着陈伟恒的一起阅读吧，还比较清晰，两个国内的那兄难弟都不是叫人理解的，而是需要你当做手册的或者密码本阅读的。但是，你要几只，这些可都是非常关键的入门基础，没有这本书的内容，想进一步学习，是不可能的。2014.6.5活动标架法将作为子空间几何图形嵌入在合同变换群中，利用合同变换群的性质传递到子空间中，研究几何图形，完备的揭示了整个曲面论和曲线论的经典结果，

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不喜欢，空降定义，部分概念没解释清楚。

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把数学书写得跟物理书一样，天空降下一个定义