具体描述
《微分几何:流形、曲线和曲面(第2版)(修订本)》主要由法国资深微分几何学家贝尔热在巴黎大学多年讲授微分几何课程讲稿的基础上编纂而成。《微分几何:流形、曲线和曲面(第2版)(修订本)》强调几何与分析的有机结合，始终坚持对于分析，揭露其几何实质，而对于几何，则洞察其分析精髓。《微分几何:流形、曲线和曲面(第2版)(修订本)》对于常微分方程、单位分解、临界点、拓扑度和流形上的微积分等研究微分几何的各种工具做了相当充分的讲解。内容重点是曲线的局部和整体理论，对于曲面的局部和整体理论则做了比较全面的概述，而对于其详尽的证明则推荐相关的文献供读者查阅。书中配备了丰富的习题。《微分几何:流形、曲线和曲面(第2版)(修订本)》是基础数学和应用数学系本科生乃至其他理工科学生学习微分流形和微分几何的优秀参考书。
作者简介
作者：(法国)M.贝尔热 (法国)B.戈斯丢
M.贝尔热 Marcel Berger（1927 ），著名的法国数学家，法国微分几何老前辈。曾任法国科学高等研究所（1HES）所长。贝尔热教授撰写过多本成功的几何著作，并以书中的精巧论述而见长。
目录信息
0.0 记号，复习
0.1 外代数
0.2 微分法
0.3 向量空间的开集上的微分形式
0.4 积分法
0.5 习题
第一章 微分方程
1.1 概述
1.2 不依赖时间的微分方程：局部解的存在性
1.3 整体唯一性研究，整体流
1.4 依赖时间的向量场，依赖一个参数的向量场
1.5 唯一性和对于依赖时问的向量场的整体流
1.6 相关知识和线性方程
第二章 微分流形
2.1 Rn的子流形
2.2 抽象流形
2.3 态射
2.4 覆叠映射.商
2.5 切空间
2.6 子流形，浸入，浸没，嵌入
2.7 单位法丛，管形
2.8 习题
第三章 单位分解、密度、曲线
3.1 紧致流形的嵌入
3.2 单位分解
3.3 流形上的密度
3.4 一维连通流形的分类
3.5 流形上的向量场和微分方程
3.6 习题
第四章 临界点
4.1 定义.例子
4.2 数值函数的非退化临界点.莫尔斯的简约
4.3 萨德定理
4.4 习题
第五章 流形上的微分法
5.1 丛以ArT*X
5.2 流形上的微分形式
5.3 最大阶的微分形式和定向
5.4 德拉姆群
5.5 李导数
5.6 星形开集，庞加莱引理
5.7 球面和射影空间的德拉姆群
5.8 环面的德拉姆群
5.9 习题
第六章 流形上的积分法
6.1 d维定向流形上d阶微分形式的积分
6.2 斯托克斯定理
6.3 斯托克斯定理的第一批应用
6.4 欧几里得空问的定向子流形的典范体积形式
6.5 欧几里得空间的定向子流形的体积
6.6 欧几里得空间的子流形的典范密度
6.7 管形的体积Ⅰ：体积形式的补充
6.8 管形的体积Ⅱ
6.9 管形的体积Ⅲ
6.10 习题
第七章 映射度理论
7.1 预备引理
7.2 德拉姆群Rd(x)的确定
7.3 映射度
7.4 映射度对于同伦的不变性.应用
7.5 管形的体积f结尾)和高斯一博内公式
7.6 属于c0(s1；s1)的映射的映射度
7.7 抽象流形上向量场的指标
7.8 习题
第八章 曲线的局部理论
8.0 引言
8.1 定义
8.2 仿射不变量：切线，密切平面，凸性
8.3 长度，欧几里得空间的曲线的弧长参数表示
8.4 欧几里得空间的曲线的曲率
8.5 在欧几里得定向平面内的定向平面曲线的代数曲率
8.6 欧几里得空间(3维的)双正则曲线的挠率
8.7 习题
第九章 平面曲线的整体理论
9.1 定义
9.2 若尔当定理
9.3 等周不等式
9.4 平面曲线的回转数
9.5 切线回转定理
9.6 整体凸性
9.7 四顶点定理
9.8 法布里修斯布耶尔哈泊恩公式
9.9 习题
第十章 R0的曲面的局部理论的简短导引
10.1 定义
10.2 例子
10.3 曲面的两个基本形式
10.4 通过第一基本形式计算的量(2维黎曼几何)
10.5 高斯曲率
10.6 第二基本形式以及通过它计算的量
10.7 曲面的两个基本形式之间的关系
10.8 关于Rn+1中的超曲面
第十一章 曲面的整体理论的简短导引
第一部分 2维整体黎曼流形
11.1 最短路径的整体问题
11.2 常曲率的曲面
11.3 度量性质：一阶和二阶变分公式
11.4 最短路径的唯一性和单射半径
11.5 K≥k的流形
11.6 K≤k的流形
11.7 高斯-博内公式和霍普夫公式
11.8 曲面上的等周不等式
11.9 周期测地线和等收缩不等式
11.10 只有周期测地线的曲面
11.11两部分问的过渡：嵌入和浸入问题
第二部分 嵌入或浸入到R3内的曲面
11.12 零曲率的曲面
11.13 高斯曲率为正或零的曲面
11.14 唯一性和刚性
11.15 K<0的曲面
11.16 平均曲率为零的曲面，又名极小曲面
11.17 平均曲率是常数的曲面或肥皂泡曲面
11.18 魏因加滕曲面
11.19 作为平面族的包络的曲面：公式和应用
11.20 对于曲面的等周不等式
11.21 花束：球面和迪潘四次圆纹曲面的表征
参考文献
法中术语对照
索引
· · · · · · (收起)
读后感
评分
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用户评价
这本书的排版设计实在是太友好了。它巧妙地运用了不同大小和字体的字号，将重要的定义、定理、引理以及它们的证明区分得一目了然。我特别喜欢书中那些精心绘制的插图，它们不是简单的示意图，而是充满了美感和细节，比如对高斯曲率和平均曲率的几何解释，插图清晰地展现了曲面在不同方向上的弯曲程度，让我这种视觉型学习者受益匪浅。在阅读证明部分时，作者还会用小字体标注一些辅助性的说明或者相关的历史背景，这使得整个阅读过程更加流畅和有启发性。
评分这本书的叙事方式非常独特，它不像许多教科书那样直接抛出大量定理和证明，而是仿佛一位经验丰富的向导，循序渐进地引领读者进入微分几何的奇妙世界。一开始，作者并没有急于引入复杂的度量张量和联络，而是从欧几里得空间中的曲线和曲面入手，通过直观的几何语言和清晰的插图，帮助我们建立起初步的空间想象能力。我尤其欣赏它对“法向量”、“测地线”等基本概念的阐释，作者用非常生动的比喻，比如“小蚂蚁在曲面上行走的最短路径”，让这些原本有些抽象的数学语言变得鲜活起来。
评分这本书的习题设计也相当出色。习题的难度梯度分明，从基础的计算题到需要深入思考的证明题，涵盖了各个层次。我尤其喜欢那些能够启发读者深入思考的开放性问题，它们不仅巩固了所学的知识，更能激发我的探索欲望。有时候，一道习题就能让我花费一下午的时间去钻研，但解决问题的过程却充满了成就感。而且，书中对于一些重要习题的解答，也提供了详细的思路和提示，让我即使遇到困难，也不会感到绝望。
评分我发现这本书对于初学者来说，可能需要一定的数学基础，但对于已经有了一定微积分和线性代数基础的读者来说，它绝对是一本不可多得的宝藏。作者在讲解时，并没有假设读者已经对微分几何有了深入的了解，而是会从最基础的概念开始，逐步构建起完整的知识体系。我特别喜欢它在介绍微分流形时，并没有直接给出抽象的定义，而是先从欧几里得空间的子集入手，然后通过局部坐标系的概念，逐步引导读者理解流形的“局部欧几里得性”。
评分书中对于一些经典问题的历史溯源和发展脉络的梳理，让我印象深刻。作者并没有将数学定理孤立地呈现，而是详细介绍了它们是如何在历史长河中孕育、发展和演变的。例如，在讲解高斯-博内公式时，作者不仅阐述了公式本身的美妙，还回顾了高斯和博内两位数学家各自的贡献以及他们之间思想的碰撞。这种“故事性”的叙述方式，让枯燥的公式变得有血有肉，让我对数学产生了更深厚的情感联结，感觉自己不仅仅是在学习数学，更是在与伟大的数学家们进行一场跨越时空的对话。
评分我不得不提的是，这本书在对一些重要概念的引入上，体现了作者深刻的洞察力。例如，在讲解外微分和霍奇定理时，作者并没有急于展示它们的强大威力，而是先铺垫了大量的关于链复形和上同调群的背景知识。这种“慢热”但扎实的讲解方式，让我在理解外微分的真正含义时，能够有更清晰的认识，并且能更好地体会到霍奇定理在流形拓扑和分析之间的桥梁作用。这种层层剥茧的讲解方法，让我感受到作者在编排内容时的深思熟虑。
评分这本书的封面设计就充满了艺术气息，沉稳的墨绿色搭配烫金的“微分几何”几个大字，散发出一种低调而深刻的学术韵味。翻开书页，纸张的触感温润而厚实，印刷清晰，字迹锐利，这一点对于我这样长时间与书为伴的读者来说，是至关重要的。我特别喜欢它在介绍一些经典概念时，不仅仅是枯燥的公式推导，而是穿插了大量引人入胜的历史典故和前沿应用场景。例如，在讲解曲率的时候，作者巧妙地引入了埃菲尔铁塔的设计原理，将抽象的数学概念与宏伟的建筑艺术联系起来，让我瞬间被吸引住了，仿佛置身于古老的巴黎街头，一边仰望铁塔，一边感受着空间带来的奇妙张力。
评分我被这本书的深度和广度深深折服。它不仅仅停留在基础的曲线和曲面理论，更将读者引导至黎曼几何的宏伟殿堂。书中对黎曼流形、曲率张量、里奇张量的讲解，逻辑严密，层层递进，让我对宇宙的几何结构有了全新的认识。我惊叹于作者如何能在如此抽象的概念中，找到与物理学、天文学的深刻联系，比如爱因斯坦的广义相对论，竟然是建立在如此精妙的几何框架之上！读到这部分时，我感觉自己像是站在宇宙的边缘，俯瞰星辰大海，同时也在思考着空间的本质。
评分我注意到这本书在处理一些证明时，采用了非常“人性化”的写法。它不会一股脑地将所有细节都抛给你，而是会先给你一个清晰的思路框架，然后逐步填充细节。有时候，作者甚至会在证明的中间插入一些“思考题”或者“提示”，引导读者主动去思考下一步的推理方向。我尤其欣赏的是，当一个定理的证明非常复杂时，作者会先给出一个简化版的证明，让你抓住核心思想，然后再逐渐推广到一般情况。这种循序渐进的学习方式，让我感觉自己不是在被动接受知识，而是在主动参与到数学的构建过程中。
评分这本书的语言风格非常精准而优雅。作者在描述数学概念时，用词考究，准确无误，但同时又避免了过于冷峻和枯燥的表达。我尤其欣赏它在引入一些复杂概念时，会使用一些富有画面感的比喻。比如，在讲解向量场的散度和旋度时，作者将其比作液体在空间中的流动和旋转，非常形象地帮助我理解了这些抽象的向量算子所代表的物理意义。这种兼具科学性和艺术性的语言，让我在享受数学之美的同时，也感受到语言的魅力。
评分进阶着《微分流形 李群基础》通向博特的《代数拓扑的微分形式》。定向用法向量场的截面存在性表示
评分告诉我微阅草堂是不是傻x
评分写的非常清晰明了。躺床上都能看懂
评分进阶着《微分流形 李群基础》通向博特的《代数拓扑的微分形式》。定向用法向量场的截面存在性表示
评分带我真正进入现代数学的第一本书，极其优美！
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