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出版者:

作者:Kaufmann, Jerome E./ Schwitters, Karen L.

出品人:

页数:752

译者:

出版时间:2008-1

价格:$ 232.72

装帧:

isbn号码:9780495554035

丛书系列:

图书标签:

• College Algebra
• Algebra
• Mathematics
• Higher Education
• Textbook
• Precalculus
• Functions
• Equations
• Polynomials
• Graphing

基础数学原理：探索抽象与逻辑的基石 本书旨在为那些渴望系统性掌握数学核心概念、并为更高阶抽象思维打下坚实基础的读者提供一份详尽的指南。 我们超越了简单的公式罗列与机械计算，深入探讨了数学思想的起源、演变及其在不同领域中的应用逻辑。本书的核心关注点在于构建严谨的数学思维框架，使读者能够真正理解数学的“为什么”而非仅仅“怎么做”。 --- 第一部分：数域的拓展与结构 本书伊始，我们将从最基础的自然数和整数出发，逐步剖析有理数和无理数的本质区别及其在数轴上的映射。不同于侧重计算的传统教材，本部分着重于数的内在结构和代数封闭性的建立过程。 1.1 整数的代数完备性： 深入讨论皮亚诺公理体系的哲学基础，并解释为何需要引入负数来解决减法运算的局限性。我们将详细阐述数域的最小化原则，以及整数环 $mathbb{Z}$ 的代数特性。 1.2 实数系统的构建与分析： 这是理解连续性的关键。本书将采用戴德金分割（Dedekind Cuts）或柯西序列收敛的视角，来严格定义实数 $mathbb{R}$。我们将详细分析无理数（如 $sqrt{2}$ 和 $pi$）的超越性与不可通约性，并讨论实数集的拓扑性质，例如稠密性与完备性。这将为后续微积分中的极限概念做好铺垫。 1.3 复数的几何与代数统一： 复数 $mathbb{C}$ 不仅仅是引入虚数单位 $i$ 的结果，更是将二维平面几何与一维代数运算完美结合的典范。我们将详述代数基本定理的意义，并侧重于复数在欧拉公式 $e^{i heta} = cos heta + isin heta$ 中的几何解释——即旋转和缩放的统一描述。 核心目标： 读者将能够清晰区分不同数集之间的内在联系与本质差异，理解数学系统是如何通过公理和定义逐步扩展以解决自身矛盾的。 --- 第二部分：抽象代数初探：函数与映射的威力 在掌握了坚实的数域基础后，我们将视角转向关系和变换。本部分将函数视为最基本的数学工具，并探索其背后的结构——群、环与域的雏形。 2.1 函数的严格定义与性质： 我们将超越初等代数中“输入-输出”的简单理解，从集合论的角度定义函数，并重点分析其单射性、满射性和双射性的几何与代数含义。双射作为一种“结构保持”的变换，是后续同构概念的基础。 2.2 线性关系的解析： 探讨一元和多元函数的解析表达。重点分析多项式函数的零点分布、有理函数渐进线的几何意义。我们将引入多项式的带余除法和因式定理，阐明它们如何帮助我们理解函数在特定点上的行为。 2.3 关系与等价： 等价关系是数学分类的基础。本书将详细讨论如何通过等价关系将一个集合划分为不相交的子集（划分）。例如，在研究有理数时，如何通过等价关系将分数对 $(frac{a}{b}, frac{c}{d})$ 归纳为同一个有理数。这为更复杂的代数结构（如商群）做了思想准备。 核心目标： 建立起“结构优先于数值”的观念，认识到函数和映射是连接不同数学对象的桥梁。 --- 第三部分：方程的内在逻辑与求解艺术 本部分将聚焦于如何使用代数工具来解决表示未知数量关系的陈述，即方程。重点在于理解方程组解的存在性、唯一性和求解策略的多样性，而非单纯的计算技巧。 3.1 线性方程组的几何可视化： 对于二元和三元线性方程组，我们将使用几何语言（直线、平面、空间）来描述解集的可能情况：唯一解、无穷多解或无解。这直接引出了矩阵这一工具的必要性。 3.2 矩阵代数的引入（概念层面）： 尽管不深入线性代数的全部细节，但本书将解释矩阵如何简洁地表示和操作大规模的线性变换。我们将展示高斯消元法背后的原理——通过行变换保持解集不变的逻辑。 3.3 非线性方程的挑战： 讨论二次方程的判别式（根的性质与系数的关系），并扩展到三次和四次方程的卡尔达诺公式（仅作介绍其复杂性和历史意义，强调代数解法的极限）。对于更高次的方程，我们将引入伽罗瓦理论的哲学启示——即为什么五次及以上的一般多项式没有根式解，从而转向数值逼近的必要性。 3.4 不等式的代数逻辑： 不等式描述的是数量间的次序关系。我们将分析带有绝对值和分式的复杂不等式的求解过程，强调在运算过程中保持不等号方向的正确性，这是对序关系敏感性的训练。 核心目标： 区分可精确求解的方程类型与需要近似方法的方程类型，理解代数解法背后的逻辑约束。 --- 第四部分：超越代数：函数间的动态关系 本部分将探讨代数概念如何扩展到描述变化和增长。我们将考察指数、对数和三角函数，理解它们如何从不同的角度描述自然界和工程中的周期性或指数性现象。 4.1 指数与对数：反函数的本质： 深入探究指数函数 $b^x$ 的特性及其反函数——对数函数 $log_b(x)$。我们将解释对数运算如何将乘法转化为加法，这在古代是简化复杂计算的关键。重点分析自然对数 $e$ 的定义及其在连续复利和自然增长模型中的核心地位。 4.2 三角函数：周期性的几何描述： 从单位圆出发，严格定义正弦、余弦和正切函数。本书将强调三角函数的周期性、奇偶性以及它们之间的基本恒等式（如毕达哥拉斯恒等式）。这些恒等式是连接几何、周期现象与代数表达式的桥梁。 4.3 序列与级数：无限求和的收敛性： 介绍无穷序列的概念，并探究级数（无穷和）的求和问题。我们将引入收敛与发散的概念，通过比较判别法和比值判别法来判断一个无限过程是否能得出一个有限的、有意义的结果。这为微积分中的泰勒级数奠定了基础。 核心目标： 掌握描述增长、衰减和周期现象的数学语言，理解有限数学工具如何被用于处理无限过程。 --- 结语：数学的统一性与思维的训练 《基础数学原理》不是一本为应试而编写的习题集。它是一份邀请函，邀请读者进入一个由逻辑和结构主导的世界。通过对数域的严谨构建、对函数关系的深刻理解以及对求解过程的逻辑剖析，读者将不仅仅掌握一套计算技巧，更重要的是，培养出一种面对复杂问题时，能够分解、抽象并构建可行解决方案的思维能力。数学的美丽在于其统一性，而本书所呈现的正是这一统一性的初步显现。

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