《現代數學基礎叢書》序
前言
第1章 微分流形
1.1 基本概念
1.1.1 流形的概念
1.1.2 物理背景的流形
1.1.3 坐標係與微分結構
1.1.4 切空間與切映射
1.1.5 流形的定嚮
1.1.6 數學中的一些重要流形
1.2 流形的嵌入
1.2.1 反函數與隱函數定理
1.2.2 子流形的浸入與嵌入
1.2.3 到RN中的嵌入
1.2.4 Whitney嵌入定理
1.3 Frobenius定理
1.3.1 流形上的嚮量場與流
1.3.2 嚮量場的Poisson括號積
1.3.3 Frobenius定理
1.3.4 兩種等價的定理形式
1.4 正則值與橫截性
1.4.1 Sard定理
1.4.2 橫截性
1.4.3 Thom橫截性定理
1.5 嚮量叢與管形鄰域
1.5.1 嚮量叢
1.5.2 平凡叢的判彆
1.5.3 嚮量叢的運算
1.5.4 萬有嚮量叢
1.5.5 管形鄰域定理
1.6 縴維叢
1.6.1 縴維叢的概念
1.6.2 球麵的Hopf縴維化
1.6.3 主叢與萬有叢
第2章 同調理論
2.1 同調群
2.1.1 同調群的實質
2.1.2 可剖分空間的單純復形
2.1.3 單純同調群
2.1.4 單純同調群的拓撲不變性
2.1.5 Euler示性數及Euler-Poincare公式
2.1.6 奇異同調群
2.1.7 單純同調群與奇異同調群的同構
2.2 流形的共軛結構與同調幾何化定理
2.2.1 流形的共軛元
2.2.2 正則流形
2.2.3 共軛元分類與同調類的幾何化
2.2.4 Kunneth公式與Leray-Hirsch定理
2.2.5 萬有係數定理
2.2.6 一些流形的同調群
2.3 上同調論
2.3.1 上同調的實質
2.3.2 上同調群
2.3.3 上同調幾何化定理的證明
2.3.4 同調環的結構
2.4 正閤同調序列
2.4.1 相對同調群與切除定理
2.4.2 相關代數理論
2.4.3 同調序列
2.4.4 Mayer-Vietoris序列
2.4.5 正閤序列的應用
2.5 流形的對稱性
2.5.1 引言
2.5.2 共軛結構的對稱性定理
2.5.3 Poincare對偶
2.5.4 帶邊流形的共軛結構及其對稱性
2.5.5 Lefschetz對偶
2.5.6 Alexander對偶定理
第3章 譜序列及微分形式
3.1 過濾復形的譜序列
3.1.1 引言
3.1.2 Massey正閤偶與譜序列的構造
3.1.3 雙復形及其譜序列
3.2 微分形式與de Rham復形
3.2.1 Rn中的微分形式
3.2.2 流形上的de Rham復形
3.2.3 微分形式的積分
3.2.4 Stokes公式
3.2.5 Poincare引理
3.2.6 關於de Rham上同調的注記
3.3 Cech-de Rham復形及譜序列的應用
3.3.1 背景介紹
3.3.2 層的概念
3.3.3 Cech上同調
3.3.4 Cech-de Rham復形
3.3.5 de Rham定理
3.3.6 de Rham上同調的幾何錶示
3.4 微分形式的Hodge分解定理
3.4.1 介紹
3.4.2 Hodeg*算子
3.4.3 流形上的張量場
3.4.4 Riemann流形
3.4.5 Laplace-Beltrami算子
3.4.6 Hodge定理
第4章 同倫論
4.1 同倫群
4.1.1 基本概念
4.1.2 一些基本性質
4.1.3 相對同倫群
4.1.4 同倫群的幾何錶示
4.1.5 正閤同倫序列
4.1.6 直和分解公式
4.1.7 一些流形的同倫群
4.2 一些重要性質
4.2.1 共軛元的球麵定理
4.2.2 πn(Sn)的計算與Hopf同倫分類
4.2.3 Hurewicz定理
4.2.4 基本群的性質
4.2.5 Whitehead乘積
4.2.6 三聯組同倫群
4.2.7 道路空間ΩX(A,B)上的同倫群
4.3 障礙理論
4.3.1 映射的延拓問題
4.3.2 n單式空間
4.3.3 映射的障礙類
4.3.4 同倫延拓定理
4.3.5 (n-1)連通空間的同倫分類
4.4 縴維叢上的譜序列及其應用
4.4.1 Leray譜序列定理
4.4.2 奇異鏈的雙復形
4.4.3 一些應用
4.4.4 Gysin序列與王憲鍾序列
4.4.5 Hurewicz定理譜序列的證明
4.5 球麵同倫群的計算
4.5.1 Eilenberg-MacLane空間
4.5.2 Postnicov縴維化序列與π4(S3)的計算
4.5.3 Whitehead縴維化與π5(S3)的計算
4.5.4 球麵同倫群的Serre定理
4.5.5 Freudenthal同緯像定理
4.5.6 部分πn+k(Sn)的結果
第5章 奇點理論與指標公式
5.1 不動點及其指數
5.1.1 Brouwer不動點定理
5.1.2 Lefschetz數
5.1.3 映射的Brouwer拓撲度
5.14 流形上不動點指數
5.2 奇點的指標公式
5.2.1 Lefschetz不動點指數公式
5.2.2 緊流形上嚮量場的Poincare-Hopf指標定理
5.2.3 嚮量場邊界奇點的指標
5.2.4 帶邊流形的嚮量場指標公式
5.3 不動點類理論
5.3.1 一般介紹
5.3.2 流形上的不動點類及Nielsen數
5.3.3 S1上映射的提升類
5.3.4 映射的提升類與Reidemeister數
5.3.5 薑伯駒群與Nielsen數的計算公式
5.4 Morse理論(I)
5.4.1 基本概念
5.4.2 Morse理論的基本定理
5.4.3 流形的CW復形倫型
5.4.4 Morse不等式
5.4.5 最少臨界點數與流形分解
5.4.6 h配邊定理與n≥5的Poincare猜想
5.5 Morse理論(II)
5.5.1 能量泛函及其臨界點的Morse指標
5.5.2 Riemann流形上的測地綫
5.5.3 能量泛函的二次變分與Jacobi場
5.5.4 指標定理
5.5.5 ΩM的CW復型結構
5.5.6 Bott周期定理
第6章 示性類
6.1 基本概念與框架
6.1.1 嚮量叢的示性類
6.1.2 Grassmann流形與示性類的關係
6.1.3 Thom同構定理
6.1.4 可定嚮Rm叢的Euler類
6.2 Stiefel-Whitney類
6.2.1 實嚮量叢上Z2係數示性類的構造
6.2.2 Stiefel-Whitney數與流形的配邊
6.2.3 Z2示性類的基本性質
6.2.4 流形M×M的對角上同調類
6.2.5 切叢上Stiefel-Whitney類的吳文俊公式
6.2.6 吳文俊公式的應用
6.3 陳省身示性類
6.3.1 Chern類的構造
6.3.2 Chern數與Euler示性數
6.3.3 復Grassmann流形的上同調環
6.3.4 一些Chern類的計算
6.4 Pontrjagin類
6.4.1 Rn叢的實係數示性類
6.4.2 Pontjagin數與可定嚮配邊環
6.4.3 Thom配邊理論
6.4.4 Hirzebruch符號定理
6.4.5 Hirzebruch-Riemann-Roch定理
參考文獻
《現代數學基礎叢書》已齣版書目
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收起)
