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出版者:American Mathematical Society

作者:Srikanth B. Iyengar

出品人:

页数:281

译者:

出版时间:2007-11-30

价格:GBP 52.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821841266

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 同调代数
• 其余代数7
• Local Cohomology
• Commutative Algebra
• Homological Algebra
• Schemes
• Algebraic Geometry
• Noetherian Rings
• Cohen-Macaulay Rings
• Derived Categories
• Resolution of Singularities
• Artinian Rings

《二十四小时本地上同调》—— 探索数学世界中的深度与联系 本书并非一本按时叙述的编年体故事，也非对某个特定时段内事件的记录。相反，它是一次深入探索代数几何与交换代数领域核心概念的旅程，聚焦于“本地上同调”这一强大而精妙的数学工具。我们将通过严谨的定义、深刻的定理以及详尽的例证，揭示本地上同调如何揭示代数簇（或更一般地说，概形）的局部性质，并将其与全局结构联系起来。 第一部分：代数与几何的基石 在深入本地上同调的奇妙世界之前，我们首先需要巩固代数几何与交换代数的基础。这一部分将回顾并深化读者对以下关键概念的理解： 交换环与理想： 这是代数几何的语言。我们将从最基本的交换环（如多项式环）出发，介绍其代数结构，并重点探讨理想的概念。理想不仅是环的子结构，更是代数簇的重要组成部分。我们将讨论主理想、素理想、极大理想等不同类型的理想，以及它们在几何上的对应意义。例如，素理想对应于代数簇的不可约分支，而极大理想则对应于点。 模与模的性质： 模是环上的“向量空间”，是研究代数簇上的函数层（sheaf）的基础。我们将深入探讨模的定义、子模、商模、直和、张量积等基本运算和概念。特别地，我们将关注有限生成模、投射模、内射模、平坦模等，这些模的性质将直接影响到我们将要引入的上同调群。 代数簇与概形： 本地上同调最自然的“家”是代数簇。我们将介绍代数簇的不同定义方式，包括经典代数簇（由多项式方程的零点集定义）以及更现代、更普适的概形理论。概形理论由格罗滕迪克发展，通过将代数簇与局部环联系起来，极大地扩展了代数几何的研究范围。理解概形的概念，特别是局部环在其中的作用，对于掌握本地上同调至关重要。我们将探讨拓扑空间（Zariski拓扑）与结构层（structure sheaf）的对应关系，以及概形如何捕捉代数簇的局部代数信息。 范畴论入门： 范畴论为代数几何和同调代数提供了一个统一的语言和框架。我们将简要介绍范畴、函子、自然变换等基本概念。范畴论的视角将帮助我们理解不同数学对象之间的普遍联系，并为我们理解同调函子（如上同调）提供更深层的洞察。 第二部分：同调代数与上同调群 在打下坚实的基础之后，我们将正式步入同调代数的领域，为理解本地上同调做好准备。 链复形与上链复形： 这是同调代数的核心结构。我们将定义链复形（由链映射组成的序列）和上链复形，并介绍它们的链同伦和上链同伦概念。这些复形捕捉了数学对象的“空洞”或“连接性”。 同调群与上同调群： 从链复形（或上链复形）出发，我们定义了同调群（或上同调群）。这些群是复形中“剩余”部分（即核与像的商）的代数不变量，反映了原始数学对象的拓扑和代数结构。我们将介绍链复形的同调群如何反映空间的连通性等拓扑性质。 导出函子： 许多重要的函子（如 Hom 函子、张量积函子）并非精确函子，这意味着它们在链复形上运行时，可能“破坏”复形的同调结构。导出函子（左导出函子和右导出函子）的引入，是为了“修复”这种破坏，并为我们提供一种系统的方法来计算由非精确函子诱导的上同调群。我们将详细介绍左导出函子（如 Ext 函子）和右导出函子（如 Tor 函子）的定义和基本性质。 第三部分：本地上同调的定义与核心概念 现在，我们可以正式引入本地上同调的概念。 覆盖与精细层： 在研究概形（或拓扑空间）的层（sheaf）时，一个关键的概念是覆盖。我们将介绍开覆盖、齐性覆盖等概念，以及它们在定义上同调群中的作用。精细层（flabby sheaf）和浅层（soft sheaf）等特殊类型的层具有良好的上同调性质，它们将作为我们构建理论的工具。 Čech 上同调： Čech 上同调是定义概形上层上同调的一种经典方法，它基于对覆盖的精细分析。我们将详细介绍 Čech 上同调的构造过程，并证明它与某些其他上同调理论（如范畴论意义下的上同调）的等价性。 抽象的本地上同调： 本地上同调的真正力量在于其对局部结构的敏感性。它不再仅仅依赖于全局的覆盖，而是更深入地关注概形在特定点附近的代数行为。我们将介绍本地上同调的一个关键定义：对于概形 X 上的一个层 F，其在一点 x 处的本地上同调 H^i_x(X, F) 可以被理解为该层在点 x 的某个邻域上，并“丢失”了 x 之外的信息时的上同调。 Rees 代数与 R-代数： 为了更精确地刻画“局部性”，我们引入了 Rees 代数和 R-代数（R-algebra）的概念。对于一个交换环 R 上的一个理想 I，Rees 代数 R[It] 捕捉了理想 I 的幂的增长行为。R-代数则提供了一种代数结构，使得我们可以在环 R 上研究与理想 I 相关的局部属性。 第四部分：本地上同调的计算与性质 本部分将深入探讨本地上同调的计算方法、重要性质以及它们在代数几何中的应用。 Matijević 结论与 Grothendieck 的定理： 我们将介绍 Matijević 的一个重要结论，该结论表明，对于一个光滑概形，其本地上同调群与光滑函数层上的全局上同调群是相似的。随后，我们将深入探讨 Grothendieck 的一个 fundamental 定理，该定理提供了计算概形上层上同调的强大工具，特别是与概形本身（或其子概形）的相交性质相关。 Serre 纤维化与代数簇的局部上同调： 我们将利用 Serre 纤维化的概念，将本地上同调的性质与代数簇的局部结构联系起来。例如，我们将讨论在光滑代数簇的某个点附近，其局部上同调群与该点处的切锥（tangent cone）的代数结构有着密切的关系。 Cohomological Dimension (CD) 与 Local Cohomological Dimension (LCD)： 我们将介绍概形的上同调维数（CD）的概念，即能够使得上同调群非零的最小上同调次数。在此基础上，我们将定义局部上同调维数（LCD），它衡量了概形在局部上的“复杂性”或“非平凡性”，特别是与某些理想相关的“缺失”信息。 Sam–Taylor 定理（初步介绍）： 对于对深度理论有一定了解的读者，我们将初步介绍 Sam–Taylor 定理，该定理揭示了代数簇的局部上同调维数与某些生成函数的增长率之间的深刻联系。这个定理是近年来代数几何研究的热点之一。 应用举例： 因子化： 我们将展示本地上同调如何在研究代数簇的因子化（factorization）问题中发挥作用，例如，如何通过局部上同调的消失条件来判断某些代数结构是否可以被分解。 奇点理论： 本地上同调在研究代数簇的奇点（singularities）方面扮演着至关重要的角色。我们将讨论如何利用局部上同调来区分不同类型的奇点，以及如何衡量奇点的“严重程度”。 代数曲线与曲面： 我们将通过具体的例子，展示如何在代数曲线和曲面上计算其本地上同调群，并解释这些计算结果所蕴含的几何意义。例如，在研究代数曲线上的自同构群或其模空间时，本地上同调可以提供关键信息。 第五部分：深入与展望 在本书的最后部分，我们将对本地上同调的理论进行更深入的探讨，并展望其未来的研究方向。 高次幂与拟同构： 我们将进一步探讨理想的幂与局部上同调之间的关系，以及准同构（quasi-isomorphism）在同调理论中的作用。 模块化与结构层： 我们将探讨如何利用模块化（modularity）的思想，将本地上同调的理论推广到更广泛的数学框架中。 与代数几何研究前沿的联系： 我们将简要介绍本地上同调在当今代数几何研究前沿的最新进展，例如在研究 Hodge 理论、D-模理论以及 Mirror Symmetry 等领域中的应用。 开放性问题与未来研究方向： 我们将列举一些目前仍未解决的关于本地上同调的开放性问题，并探讨未来可能的研究方向，鼓励读者在这些领域进行进一步的探索。 《二十四小时本地上同调》旨在为读者提供一个全面且深入的理解本地上同调的视角。本书的结构清晰，从基础概念逐步过渡到高级理论，并通过丰富的例证来阐释抽象的数学思想。阅读本书，您将不仅仅学习到一种强大的数学工具，更能感受到代数几何与交换代数之间深刻而迷人的联系，以及数学家们如何通过精妙的抽象来揭示宇宙的深层结构。

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这本书的书名《Twenty-Four Hours of Local Cohomology》本身就带着一种引人入胜的数学诗意，让人忍不住去探究这“二十四小时”究竟意味着什么。它似乎暗示着一个周期的、完备的、甚至带有某种时间维度的对局部上同调这一抽象概念的深入剖析。我最初拿起它的时候，脑海中立刻浮现出代数几何中那些精妙的拓扑结构，以及层论在研究空间局部性质时的强大威力。我期望看到的是，作者如何巧妙地将时间这一看似与纯粹代数结构无关的元素融入到理论的阐述中，或许是通过某种动态系统或者范畴论的视角，来展示局部上同调在不同时间点或不同层级上的演变规律。这本书的封面设计如果足够简洁有力，想必能更好地烘托出这种数学上的深邃感，让人在翻开扉页之前，就已经对即将展开的智力冒险充满了期待。对于任何一位在代数拓扑或微分几何领域摸爬滚打的研究者来说，一个如此富有画面感的标题，无疑是一个强烈的信号，表明其中蕴含着非同寻常的见解和方法论。

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这本书的潜在价值，在我看来，极大地取决于它对“局部”这一概念的重新诠释。在传统的拓扑框架下，“局部”往往意味着邻域的收敛或纤维丛的截面。然而，“二十四小时”的引入，暗示着一种更加动态的、与“环路”或“周期性”相关的理解。我非常期待看到作者是如何构建起这个时间框架的，它是否涉及到某种谱序列的迭代，或者是一种对特定拓扑空间进行连续形变的分析。如果是后者，那么这本书将极有可能提供一套全新的工具集，用于分析那些在标准拓扑工具下难以捕捉的微妙结构。我设想的场景是，作者可能运用了非常规的语言，将那些原本需要冗长证明才能建立的联系，通过一种近乎散文诗的描述方式自然而然地展现出来，让读者在不知不觉中领悟到更深层次的统一性。

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如果我是一位刚刚接触代数几何的高年级研究生，我对这本书的期望会聚焦在其实用性和前沿性上。我希望它能清晰地勾勒出局部上同调在解决当前研究热点问题中的地位，比如D-模理论、向量丛的分类，或者在算术几何中对Zeta函数的构造性理解。评价一本数学专著的优劣，最终还是要看它能否激发读者进行新的思考，而不是简单地复述已有的知识。因此，我期待这本书中能出现一些未经发表的、或者至少是鲜有公开讨论的技巧和技巧组合。这本书的成功之处，或许不在于完美地解释了理论，而在于它能大胆地提出一些尚未完全解决的问题，并将局部上同调作为解决这些问题的首要武器展示出来，从而激励下一代数学家去探索尚未被定义的“下一个小时”。

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这本书的整体气质，从书名来看，似乎是为那些已经对基础代数有了扎实掌握、渴望从不同角度审视经典理论的读者量身定做的。它不像是为初学者准备的“甜点”，而更像是一场需要高度专注和耐心的“马拉松”。我推测，作者在排版和图示上一定下了不少功夫，因为处理局部上同调这样的概念，纯文字的描述极易造成理解上的偏差。理想状态下，书中的每一个定义和定理都应该伴随着至少一个精心绘制的、能够清晰体现其几何意义的图示。这种对细节的打磨，体现了作者对读者的尊重。我甚至可以想象，这本书的附录里会不会包含一些关于如何利用现代计算代数软件来验证这些上同调计算的实践指南，从而将理论的严谨性与现代研究的计算需求完美地结合起来。

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阅读完这本书的摘要后，我最大的感受是作者对于叙事结构和理论构建的野心勃勃。它不仅仅是教科书式的知识堆砌，更像是一场精心策划的智力漫步。我猜想，书中必定包含了大量精心挑选的、能直观展示局部上同调核心思想的例子，这些例子或许是从经典的代数簇的局部奇异点入手，逐步推演到更复杂的概形理论中的应用。尤其令人好奇的是，作者是如何平衡理论的严谨性与读者的接受度之间的关系的。好的数学著作应当既能满足专业人士对细节的苛求，又能引导初学者跨越那些看似不可逾越的鸿沟。如果这本书能成功地在某些关键转折点上设置“休息站”，用清晰的几何直觉来锚定抽象的代数操作，那么它无疑将成为该领域内一本里程碑式的著作，让原本晦涩难懂的Sheaf cohomology，变得触手可及，充满生命力。

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局部上同调的极品入门好书，自带简明交换代数与同调代数，深入浅出且有很多典型实例，还介绍了在局部上同调组合理论、代数D-模、半群环等诸多领域的应用。

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