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出版者:Birkhäuser

作者:T.A. Springer

出品人:

页数:334

译者:

出版时间:2008-11-13

价格:USD 49.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780817648398

丛书系列:Modern Birkhäuser Classics

图书标签:

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抽象代数与几何的交汇点：线性代数群导论 本书深入探讨了线性代数群这一代数与几何深刻交融的数学领域。线性代数群是代数簇，同时又具备群的结构，它们在现代数学的许多分支中扮演着核心角色，从代数几何、表示论到数论，乃至理论物理学。本书旨在为读者提供一个全面而严谨的导引，使其能够理解这些结构的本质，掌握研究它们的工具，并领略它们在不同领域所展现出的丰富性与深刻性。 第一部分：基础概念与代数背景 在开启线性代数群的探索之旅前，本书将首先铺设坚实的代数基础。我们将回顾并深入讲解相关的代数概念，包括但不限于： 环与域： 引入诺特环、积分域等概念，为构建代数簇奠定基础。 代数簇： 详细介绍仿射代数簇的定义、性质及其同态，包括理想、零点集、坐标环等关键要素。我们将通过具体的例子，如仿射空间、射影空间、曲线、曲面等，直观地展示代数簇的几何意义。 概形理论简介（可选，根据读者基础）： 对于有一定基础的读者，我们将简要介绍概形的概念，以便理解更一般的代数簇，并为后续深入研究打下基础。 代数映射与同态： 深入探讨代数簇之间的态射，特别是双有理等价的含义，以及代数簇同态的概念。 第二部分：线性代数群的定义与基本性质 在此部分，我们将正式引入线性代数群的核心概念，并系统地阐述其基本性质。 线性代数群的定义： 采用两种等价的定义方式：一种是基于代数簇的定义，即一个既是代数簇又是群，且群运算（乘法、逆运算）是代数态射的结构；另一种是基于概形的定义，即一个具有群结构的概形。我们将详细解释这两种定义是如何统一的，以及为何“线性”一词如此重要（暗示了群可以被嵌入到一般线性群中）。 例子： 引入一系列重要的线性代数群作为研究的起点，包括： 一般线性群 GL(n, K)： 这是最基本的例子，由可逆 n×n 矩阵组成，其上的群运算是矩阵乘法。我们将分析其代数结构和几何性质。 特殊线性群 SL(n, K)： GL(n, K) 的子群，由行列式为 1 的矩阵组成。 正交群 O(n, K) 与特殊正交群 SO(n, K)： 由保持二次型的矩阵组成。 辛群 Sp(2n, K)： 由保持非退化交式（或称辛形式）的矩阵组成。 上（下）三角矩阵群 U(n, K) / L(n, K)： 研究其结构和性质。 对角矩阵群 D(n, K)： 作为更简单的例子。 子群、正规子群与商群： 探讨线性代数群的子群结构，以及正规子群的概念。在合适的条件下，我们将介绍商群的构造，并分析其性质。 同态与同构： 研究线性代数群之间的同态映射，特别是单同态、满同态和同构。我们将探讨核与像的性质，以及同态定理在这一领域的应用。 第三部分：李代数与代数群的关系 线性代数群与李代数之间存在着深刻而重要的联系，这种联系是理解代数群的关键。 李代数的基础： 回顾李代数的基本定义、李括号、子李代数、理想、商李代数等概念。 代数群的李代数： 定义一个线性代数群 G 的李代数 g，通常记作 Lie(G)。我们将展示如何从 G 的坐标环或其上的向量场来构造 Lie(G)。 指数映射： 引入指数映射的概念，它将李代数中的元素映射到代数群中的元素。我们将探讨指数映射的性质，特别是它与群结构的关联，以及在连通成分的研究中的作用。 李代数与连通性： 证明一个代数群的李代数与该代数群的单位连通分量（identity component）密切相关。我们将探讨群的连通性，以及李代数如何帮助我们理解这些连通性。 模型（Representation）与李代数： 讨论代数群的线性模型，以及李代数如何作用于向量空间。 第四部分：约化群与抛物型子群 约化群是线性代数群中一个极其重要的子类，它们具有良好的结构性质，并且在表示论和数论中有广泛应用。 约化群的定义： 定义约化群，即可以与一个上（下）三角矩阵群共轭的代数群。我们将讨论约化群的性质，例如它们存在一个非零的“滑”（ Borel）子群。 滑子群（Borel Subgroup）： 深入研究滑子群的性质。我们将证明约化群一定存在滑子群，并探讨滑子群在描述代数群结构中的作用。 抛物型子群（Parabolic Subgroup）： 定义抛物型子群，它们是包含滑子群的子群。我们将探讨抛物型子群的结构，以及它们如何与根系（root system）相关联。 旗流形（Flag Variety）： 引入旗流形的概念，它是抛物型子群的齐性空间。我们将展示旗流形在研究代数群的表示论和几何中的重要性。 第五部分：根系与 Weyl群 对于约化群，其结构可以用根系和 Weyl群来清晰地描述。 根系的定义与性质： 介绍根系的定义，包括其几何性质（对称性、角度等）。我们将给出一些典型的根系例子，例如 A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2。 Weyl群： 定义 Weyl群，它是根系上的对称群。我们将探讨 Weyl群的生成元、关系以及其在代数群中的作用。 根系与约化群的关系： 详细阐述根系如何完全刻画一个约化群的结构。我们将展示如何根据根系来构造约化群，以及如何理解代数群的结构图（Dynkin diagram）。 表示论的应用： 讨论根系和 Weyl群在理解约化群的不可约表示中的作用。 第六部分：代数群的分类与特殊例子 在掌握了基本理论之后，本书将对一些重要的代数群进行分类，并深入研究一些特殊的例子。 单约化群（Simple Reductive Groups）： 介绍单约化群的概念，它们是约化群中“不可再分的”基本单元。我们将讨论单约化群的分类，以及它们与根系之间的对应关系。 中心（Center）与根基（Root System）： 分析代数群的中心（center）的作用，以及如何通过中心来理解群的结构。 特殊线性群 SL(n, K) 的详细分析： 深入研究 SL(n, K) 的结构，包括其李代数、滑子群、Weyl群等。 正交群 O(n, K) 和辛群 Sp(2n, K) 的分析： 探讨这些群的结构，以及它们在几何和表示论中的应用。 代数群的模（Moduli）空间（可选）： 对于高级读者，可以简要介绍代数群的模空间，以及它在分类问题中的作用。 第七部分：表示论的初步视角 代数群的表示论是其研究的核心领域之一。 代数群的表示： 定义代数群的线性表示，即将代数群映射到一个一般线性群。 可约表示与不可约表示： 区分可约表示和不可约表示，并探讨如何分解可约表示。 权（Weights）与权空间（Weight Space）： 对于约化群，引入权的概念，以及如何分析权空间。 最高权表示（Highest Weight Representation）： 介绍最高权表示，它是许多重要代数群（特别是单约化群）的不可约表示的基石。 表示的计算与性质： 探讨如何计算表示的维度，以及特征标（character）的概念。 总结与展望 本书旨在为读者提供一个坚实的理论框架，使其能够独立地深入研究线性代数群的更多复杂主题。我们将回顾所学内容，并展望未来可能的研究方向，例如： p-adic 群： 线性代数群在 p-adic 域上的推广。 李群与代数群： 它们之间的联系与区别。 算术群： 在整数或数域上的代数群。 代数群在数论中的应用： 如椭圆曲线、模形式等。 代数群在几何中的应用： 如研究簇的对称性。 本书的编写风格力求清晰、严谨，并辅以大量的例子和练习题，以帮助读者巩固理解。我们希望本书能够激发读者对这一迷人数学领域的兴趣，并为他们的进一步学习和研究提供宝贵的资源。

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这本书，嗯，怎么说呢，读起来就像是在攀登一座陡峭的山峰，景色壮丽，但过程绝对是考验意志力的。我得承认，初次翻开它，面对那些密密麻麻的代数符号和抽象概念，我的心头涌起一股无力感。它不是那种能让你轻松翻阅的“周末读物”，更像是需要你全身心投入、甚至需要查阅好几本参考书才能勉强跟上的艰深著作。作者的逻辑推导非常严谨，环环相扣，但正是这种极致的严谨，让初学者望而却步。我印象最深的是关于某些特定群结构的章节，每一个引理的引入都像是精心策划的布局，没有一步是多余的，但要理解其背后的深层含义，我花了好几个晚上，对着草稿纸反复演算。它强迫你不仅仅是“知道”结论，而是要“理解”推导的每一步是如何将基础的群论概念提升到更宏大、更精妙的代数几何框架之中的。如果你期待的是一个温和的入门介绍，那么这本书可能会让你失望，它直接把你扔进了知识的深海，让你自己学会如何游泳。但如果你已经有了一定的基础，渴望触及这个领域最核心、最前沿的理论结构，那么这本书绝对是值得你投入时间去征服的宝藏。它带来的那种“我终于明白了”的顿悟感，是其他教材难以比拟的。

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这本书的写作风格，说实话，有点像一位技艺高超但脾气古怪的工匠在讲解他的绝活。它不屑于使用过多的比喻或者浅显的例子来“稀释”内容。相反，它直奔主题，用最纯粹、最凝练的数学语言构建起理论的骨架。这导致的结果是，对于那些习惯了“手把手”教学的读者来说，阅读体验会非常崎岖。我经常需要停下来，在脑海中构建一个三维的模型来想象那些在高维空间中运行的变换和结构。例如，在探讨李代数与群之间的关系时，作者几乎没有给我们缓冲的时间，直接就从定义跳跃到了关键的结构定理。这要求读者必须具备极强的抽象思维能力和对基础代数拓扑的扎实掌握。读完一章，我常常感觉自己的大脑被重新格式化了一遍，所有的既有认知都被挑战和重塑。但正是这种不妥协的态度，使得一旦你掌握了其中某一部分，你对整个领域的理解深度会远超那些只阅读了泛泛之谈的同行。它更像是一本供研究人员深入钻研的工具书，而不是一本供本科生泛读的教科书，它的价值在于其内容的核心密度和不可替代性。

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这本书给我的最大感受是其内在的逻辑美感。它不像一些数学著作那样，为了凑够篇幅或者展示广度而堆砌内容，它的一切都服务于构建一个宏大而统一的理论框架。每一个概念的引入，无论是正规化的定义还是那些看起来很随意的定理，最终都会以一种出乎意料的优雅方式汇集到几个核心的结论之上。特别是在处理非紧群的表示论时，作者巧妙地运用了泛函分析的工具，但又将重点牢牢锁定在代数结构本身，体现了一种高超的跨学科融合能力。这种融合不是简单地将两个领域的知识点拼凑起来，而是真正地找到它们在数学本质上的交汇点。阅读过程中，我经常会惊叹于数学家思维的精妙——如何在看似不相关的领域中找到共通的语言。这本书就是这样一本“范本”，它不只是在陈述事实，它在展示如何进行高水平的数学构建。对于想要提升自己理论分析水平的读者来说，光是学习其论证的结构和风格，都已是巨大的收获。

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对于那些希望从这本书中寻找计算技巧或者速成方法的读者，我必须明确指出，你找错了地方。这本书的关注点完全在于结构和存在性证明，而非具体的计算过程。它探讨的是“为什么”某些结构必须如此，而不是“如何”一步一步算出某个具体群的特征标。它的论证往往非常抽象，大量依赖于范畴论的语言和同调代数工具的视角，这使得它在应用数学领域的使用频率可能相对较低。然而，正是这种对纯粹结构的执着，赋予了它在理论物理、代数几何等前沿交叉学科中不可替代的地位。我发现自己读完后，看待某些经典的群论问题的方式都变了，不再满足于表面的现象，而是开始追问其背后的深层代数根源。这本书是一剂“猛药”，它清洗掉了你头脑中那些不够精确的概念残留，用最纯净的代数公理重新塑造你的认知。虽然过程痛苦，但换来的理论视野的拓宽，是任何其他入门书籍都无法给予的。

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坦白讲，我曾经试图将这本书推荐给几位刚接触这个领域的同行，结果普遍反馈是“太难啃了”。这并非是说这本书的印刷质量或者排版有问题——事实上，它的图表和公式排版是教科书级别的清晰——问题出在内容的组织脉络上。作者似乎假定读者已经对某些高级主题（比如某些特定的拓扑群性质或者更深层次的代数几何背景）有着非常成熟的理解，然后直接在此基础上进行扩展。很多时候，作者会引用一些需要读者自行去查阅的先验知识，这些知识点本身可能就够写一本书了。这种“跳跃式”的叙述方式，让那些知识体系有微小裂缝的读者很容易迷失方向。我个人花了很长时间才把那些隐性的前提知识补全，那段时间我感觉自己像是在进行一场漫长的“考古挖掘”，而不是在阅读一本连贯的著作。如果能有一个更系统、更渐进的预备章节，或者在关键转折点增加一些上下文的解释，这本书的普适性会大大提高。现阶段，它更像是为那些已经准备好在知识的悬崖边上起舞的学者准备的。

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这一本则是进阶的线性代数群读得好辛苦，特别是后半部分几个大定理的证明特别繁琐，而其他书上也找不到简化的证明，常常是给个超链接链到这本书上。

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存在同构定理的处理有些繁琐，也没有使用更现代的代数几何语言。如今网络比当年发达不少，可考虑其他讲义作为代替，再读一些survey比如Fiona Murnaghan在Clay Mathematics Proceedings Volume 4写的介绍，如有兴趣再去寻找证明。

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同时读了这本还有Humphrey和Borel，拿的Humphrey做教材被人骂了。。。最后勉强刷完Humphrey大部分习题觉得。。。还是Borel那本写的最好。