A Logical Approach to Discrete Math pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer New York

作者:David Gries

出品人:

页数:500

译者:

出版时间:2010-02-19

价格:USD 74.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781441928351

丛书系列:

图书标签:

• 離散數學
• 计算机
• 計算機
• 离散数学
• 逻辑
• 集合论
• 图论
• 组合数学
• 数学证明
• 算法
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• 数学基础
• 离散结构

《逻辑思维的基石：探索算法、结构与推理的奥秘》 本书并非一本介绍特定数学教材的指南，而是一次对离散数学核心概念及其在现代计算和科学领域广泛应用的深入探索。我们将一同揭开离散数学的面纱，领略其严谨的逻辑框架和丰富的结构体系，理解它如何为我们构建起解决复杂问题的强大思维工具。 第一部分：逻辑的严谨与证明的艺术 本部分将从离散数学的基石——逻辑学出发，带领读者领略精确表达思想和进行严谨推理的魅力。我们将深入探讨命题逻辑，理解什么是命题，如何构建复杂的命题公式，以及如何运用真值表和推理规则来判断公式的真假和推导出新的结论。这不仅仅是理论的学习，更是训练我们清晰思考、准确表达的能力，为后续的学习打下坚实的基础。 接下来，我们将进入谓词逻辑的世界。在这里，我们将学习如何使用量词（如“所有”、“存在”）来表达更普遍、更精细的命题，以及如何进行更复杂的推理。从“所有人都有一死”到“存在一些数是素数”，谓词逻辑赋予我们描述世界、分析情况的强大力量。我们会详细讲解如何将日常语言中的陈述转化为逻辑公式，以及如何运用自然演绎等方法来证明数学定理。证明是离散数学的灵魂，它要求我们一步一步地、滴水不漏地构建论证，确保结论的正确性。本书将通过大量的实例，引导读者掌握不同的证明技巧，包括直接证明、反证法、数学归纳法等，培养严谨的逻辑思维习惯。 第二部分：集合的构建与关系的描绘 集合论是离散数学的另一重要基石，它为我们提供了一个描述和组织事物的基本框架。我们将从最基本的集合概念出发，理解集合的定义、表示方法（如列举法、描述法），以及各种集合运算（如并集、交集、差集、补集）。这些看似简单的操作，却是构建更复杂数学对象的基石。 在此基础上，我们将进一步探索集合之间的关系。函数作为一种特殊的集合关系，在数学和计算机科学中扮演着至关重要的角色。我们将深入理解函数的定义、性质（如单射、满射、双射），以及函数的复合和逆函数。这些概念将帮助我们理解数据之间的映射关系，以及如何通过函数来建模和解决问题。 关系的概念则更为广泛，它描述了对象之间的联系。我们将学习关系的定义、表示方法（如有序对、关系矩阵、关系图），以及关系的运算（如复合）。特别是，我们将重点关注等价关系和偏序关系。等价关系将事物划分为互不重交的子集，为我们理解分类和分组提供了理论支持。偏序关系则描述了事物之间的“小于或等于”关系，它在排序、依赖关系和层次结构等方面有着广泛的应用，例如在文件系统的目录结构、任务的调度顺序等场景中。 第三部分：图的结构与算法的智慧 图论是离散数学中最具视觉冲击力和应用前景的分支之一。我们将从图的基本概念开始，理解顶点、边、度和不同的图类型（如无向图、有向图、加权图）。图提供了一种强大的方式来表示网络、连接和相互关系，从社交网络到交通网络，从计算机网络到生物分子网络，无处不在。 本书将带领读者深入探究图的各种重要性质和应用。我们将学习图的连通性、连通分量、桥和割点等概念，理解网络的鲁棒性和关键节点。接着，我们将重点关注图的遍历算法，如深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。这些算法是许多更复杂图算法的基础，它们能够系统地探索图的结构，发现路径和连通性。 图的遍历是理解图结构的基础，而找到特定路径和连接则更为重要。我们将深入研究最短路径算法，如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法，它们能够帮助我们在网络中找到成本最低的路径，这在导航系统、网络路由等方面有着至关重要的应用。我们还将探讨最小生成树算法，如Prim算法和Kruskal算法，它们能够帮助我们在连接所有顶点的前提下，找到总权重最小的边集合，这在网络设计、资源分配等问题中有着广泛应用。 此外，我们还将触及图的着色问题，例如图的顶点着色和边着色。这些问题在资源分配、调度安排（如考试排课、频率分配）等方面有着直接的应用，能够帮助我们有效地利用有限的资源。 第四部分：组合的计数与概率的统计 组合数学是研究离散对象计数和排列问题的分支。我们将从最基本的计数原理出发，如加法原理和乘法原理，学习如何分解问题并进行有效的计数。 接下来，我们将深入学习排列和组合的概念。排列关注对象的顺序，而组合则不考虑顺序。我们将学习如何计算不同情况下的排列数和组合数，并理解如何使用这些工具来解决各种计数问题。二项式定理将作为组合数学中的一个重要工具，帮助我们展开二项式的幂，并揭示其与组合数之间的深刻联系。 在此基础上，我们还将学习鸽巢原理，一个看似简单却蕴含强大力量的工具，能够帮助我们证明某些集合中一定存在特定性质的元素，这在解决一些看似棘手的计数问题时非常有效。 概率论作为一门研究随机现象的学科，与组合数学紧密相连。我们将从基本概率概念出发，理解概率空间、随机事件、概率的计算方法。我们将学习条件概率和独立事件的概念，以及如何运用它们来分析更复杂的概率问题。贝叶斯定理将作为一个重要的推断工具，帮助我们根据新的证据更新概率。 本书还将介绍一些常见的概率分布，如二项分布和泊松分布，它们能够帮助我们对各种随机现象进行建模和预测。通过组合数学与概率论的结合，我们将能够分析和理解那些充满不确定性的现实世界问题。 第五部分：递推关系的建模与算法的效率分析 许多计算问题可以通过递推关系来描述。我们将学习如何将问题分解为规模更小的子问题，并建立递推方程来表示它们之间的关系。理解递推关系对于理解很多重要的算法（如快速排序、归并排序）至关重要。 除了建立递推关系，我们还将深入研究如何求解这些递推关系，掌握迭代法、特征方程法等求解技巧。这将帮助我们从递推定义直接得到封闭形式的解，从而更深入地理解算法的本质。 算法的效率是计算机科学中的核心问题。本部分将介绍算法复杂度分析的基本概念，特别是渐近记法（大O记法、大Ω记法、大Θ记法）。我们将学习如何使用这些工具来评估算法在时间和空间上的资源消耗，从而选择最优的算法解决方案。理解算法的复杂度，是设计高效、可扩展计算系统的关键。我们将通过分析各种典型算法的复杂度，来巩固这些理论知识。 结语 《逻辑思维的基石：探索算法、结构与推理的奥秘》是一次对离散数学精彩世界的全面导览。通过对逻辑、集合、图、组合以及递推关系的深入学习，读者将不仅掌握一套强大的数学工具，更将培养出严谨的逻辑思维、清晰的分析能力和创新的问题解决能力。这些能力不仅在计算机科学、工程技术等领域至关重要，在日常生活的决策和思考中也同样闪耀着智慧的光芒。本书旨在激发读者对数学的兴趣，引导大家发现离散数学在现实世界中的广泛应用，为构建一个更智能、更高效的未来奠定坚实的理论基础。

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这本书，坦率地说，我拿起它的时候是带着一种既期待又怀疑的心态的。毕竟，离我上一次正儿八经接触离散数学已经是很多年以前的事情了，那些关于集合论、逻辑推理和图论的晦涩概念，总感觉像是被封存在大学时代某个角落的记忆里。然而，这本书的标题——“一种逻辑化的离散数学途径”，立刻抓住了我的注意力。它暗示的不仅仅是知识点的堆砌，而是一种思维方式的建立，一种从基础逻辑出发，逐步构建起整个离散世界大厦的蓝图。我特别欣赏作者在开篇部分对于“形式化思维”重要性的强调，那不仅仅是数学的需要，更像是现代信息科学的底层操作系统。他们似乎在告诉你，不要死记硬背定理，而要理解为什么这些定理是必然的，它们的逻辑根基在哪里。书中对命题逻辑和谓词逻辑的阐述极其细致，每一个符号的引入都伴随着清晰的语境解释，这对于我这种曾经在“量词嵌套”和“蕴含关系的歧义”上栽过跟头的人来说，简直是福音。读下去的过程中，我能感觉到作者在努力搭建一座桥梁，连接起抽象的数学概念与我们日常工作和思考中的实际应用，比如在算法设计中的效率分析，或者在数据库查询中的关系表达。这使得原本冰冷的数学公式，似乎也带上了一丝可触摸的温度和实用性。它不仅仅是本教材，更像是一份邀请函，邀请你重新审视逻辑的力量。

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从一个更宏观的角度来看待这本书，它成功地将离散数学从一个纯粹的“数学分支”提升到了“计算思维的基石”的高度。它不仅仅是为计算机专业的学生准备的，任何需要进行系统性、结构化思考的人——无论是工程师、数据分析师，还是项目管理者——都会从中获益匪浅。书中对算法复杂度、递归关系和基本数据结构的讨论，虽然没有直接深入到具体的编程实现，但它们为理解现代软件和系统的运作逻辑提供了坚实的理论后盾。我尤其欣赏作者在每一章末尾设置的“延伸思考”部分，那些问题往往是开放式的，不直接考察计算能力，而是要求读者将所学的逻辑工具应用于更广阔的场景中去，比如信息的编码、网络的最优路由选择等。这些思考题迫使我走出书本的既定框架，去主动发掘离散结构在现实世界中的投影。这本书成功地做到了“授人以渔”，它教会我的不仅仅是如何解决离散数学的问题，更是如何用一种严谨、逻辑驱动的方式去解构和分析任何复杂系统。读完合上书本时，我感觉自己的思维框架被重新校准过，更加清晰和有力了。

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如果让我必须挑一个最让我印象深刻的特点，那一定是对“证明”的阐释。通常的离散数学书籍，对于如何构造一个有效的证明，往往只是在例题后面草草带过，或者干脆假设读者已经具备了高超的证明技巧。但这本书却像是一个耐心的导师，它不仅展示了证明的结果，更深入地剖析了证明的过程——那些“灵光一现”的思路是如何被系统地引导出来的。书中专门辟出了一章来讨论几种常见的证明技巧，比如反证法、数学归纳法，乃至更高级的构造性证明。更妙的是，它没有仅仅停留在理论层面，而是将这些技巧嵌入到具体的例子中去，展示了在面对一个特定的离散问题时，应该如何权衡使用哪种工具。例如，在讨论二分图的完美匹配时，书里对Hall定理的应用不仅仅是一个公式的套用，而是详细展示了如何运用反证法去推导出其必要条件，这个推导过程本身就是一堂精彩的逻辑训练课。我感觉自己不是在学如何“得到”答案，而是在学如何“构建”逻辑链条，这对于我未来处理任何需要严密论证的场合都将是宝贵的财富。

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这本书的排版和视觉呈现，也值得大书特书。在如今这个充斥着大量扫描版或者设计简陋的电子书的时代，一本能够精心对待阅读体验的实体书显得尤为珍贵。这本书的字体选择非常清晰，尤其是在处理那些复杂的数学符号时，比如希腊字母、箭头符号和集合符号，它们之间的区分度非常高，避免了在快速阅读时产生的视觉疲劳和混淆。更重要的是，作者在关键概念的强调上下足了功夫。他们没有滥用粗体或斜体，而是非常精准地找到了那些需要被突出的地方——通常是那些容易被误解的细微差别，或者是结论性的陈述。页面布局非常宽敞，使得在阅读证明或推导过程时，读者有足够的空间去标记、写下自己的思考，而不觉得拥挤不堪。这让我能够更沉浸于内容本身，而不是被阅读界面分散注意力。这种对细节的关注，反映出作者团队对高质量知识传播的深切承诺，仿佛他们深知，一个好的阅读体验，本身就是成功学习的第一步。

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这本书的结构安排，简直是教科书设计领域的一次小小的革命。我一直以来对那种上来就抛出大量定义和定理，然后用一系列枯燥的证明来支撑的传统教材深感不适，它们常常让我感觉像是在攀登一座没有台阶的陡峭悬崖。但这本书完全不是那种风格。它采取了一种极其“渐进式”的教学策略，每引入一个新概念，比如关系或者函数，都会先用非常生活化、甚至带点哲思意味的例子来铺垫其直觉上的含义，然后再精确地定义其形式化表达。我特别喜欢它在处理图论部分时的处理方式。不同于其他书籍将欧拉路径和哈密顿回路混在一起讲解，这本书似乎有意地将它们区分开来，先建立起对“连通性”和“遍历性”的宏观理解，再逐步深入到寻找最优路径的复杂性问题。这种循序渐进，步步为营的节奏感，极大地降低了学习的挫败感。每一次阅读，都像是在攀登一座设计精良的螺旋楼梯，每登上一层，视野都会变得更加开阔，你不仅看到了眼前的风景，还能回望来时的路，并预知接下来的转角会带来什么。这种对读者学习体验的细致考量，使得原本被许多人视为畏途的离散数学，变得平易近人起来。

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