L.S. Pontryagin Selected Work pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:CRC Press

作者:L.S. Pontryagin

出品人:

页数:544

译者:

出版时间:1987-3-6

价格:USD 179.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9782881241338

丛书系列:

图书标签:

• 其余代数7
• 数学
• 最优控制
• 变分法
• 动态规划
• 凸分析
• 函数论
• 微分方程
• 苏联数学
• 庞崔雅金
• 应用数学

《集合、拓扑与函数——数学分析的基石》 本书旨在为读者呈现数学分析领域那些至关重要且常常被忽视的基础概念。我们并非聚焦于某个特定作者的选集，而是致力于深入剖析支撑整个数学分析体系的逻辑框架与核心思想。本书的内容将涵盖集合论的基本原理，这些原理构成了数学语言的字母表，让我们能够精确地描述和操作数学对象；我们将深入探讨拓扑空间的奥秘，理解空间中的连续性、连通性等直观概念如何被抽象化为严谨的数学定义，以及它们在现代数学中的广泛应用；最后，我们将聚焦于函数，从最基本的实值函数出发，逐步深入到函数空间，探索函数的极限、连续性、可微性等核心性质，以及这些性质如何驱动微积分的发展。 第一章：集合论——数学的语言与构建块 集合论是现代数学的通用语言，其简洁的公理系统为所有数学概念提供了坚实的基础。在本章中，我们将从最基本的集合概念入手，例如集合的定义、元素、子集、并集、交集、差集以及补集。我们会详细阐述集合的分类，如有限集、无限集、可数集和不可数集，并引入康托尔对角线论证，以深刻理解无限的奥秘。 此外，我们将深入研究集合论中的关系与函数。关系的定义、性质（如自反性、对称性、传递性）将为我们理解函数奠定基础。函数的定义，包括单射、满射、双射，以及函数的复合与逆函数，将是后续章节学习函数性质的关键。我们将通过大量实例，从简单的数值集合到更抽象的数学结构，来展示集合论的强大威力。 第二章：拓扑空间——空间的抽象与度量 拓扑学是研究空间性质在连续变形下不变性的学科，它为我们提供了一种比度量几何更一般的空间概念。本章将从度量空间出发，引导读者理解度量空间的拓扑结构，例如开集、闭集、邻域等概念。在此基础上，我们将引入拓扑空间的一般定义，即通过开集的集合来刻画空间结构，摆脱了对具体距离的依赖。 我们将探讨拓扑空间中的基本性质，包括点集的稠密性、边界、内部和闭包。连通性是拓扑学中的一个重要概念，它描述了空间的“整体性”，我们将通过连通集和路径连通集的定义，以及它们之间的关系，来理解空间的连接方式。紧致性是另一个核心概念，它在分析学中扮演着举足轻重的角色，我们将阐述紧致集的定义，并探讨它在有限覆盖和序列收敛等方面的等价刻画。 本书还将介绍一些重要的拓扑空间，如欧几里得空间、流形、度量空间等，并讨论这些空间在不同数学分支中的应用，例如微分几何、代数几何以及泛函分析。通过对拓扑空间的深入学习，读者将能够以更广阔的视野来理解数学对象之间的内在联系。 第三章：函数——映射、极限与连续性 函数是数学分析的核心研究对象，它们描述了变量之间的依赖关系，并构成了微积分的基础。本章将从实值函数的概念出发，详细介绍函数的定义、域、值域、奇偶性、单调性等基本性质。我们将深入研究函数的图像，理解函数图像与函数性质之间的直观联系。 极限是微积分的基石，本章将严谨地定义函数的极限，包括左极限、右极限以及在无穷远处的极限。我们将详细阐述极限的 ε-δ 定义，并展示如何利用这一定义来证明函数的极限性质，例如和、差、积、商的极限性质。极限的概念是理解连续性、导数和积分的关键。 连续性是函数在空间中“不跳跃”的性质，我们将引入函数连续性的定义，并探讨连续函数在闭区间上的性质，如介值定理和最值定理。我们将区分点态连续和一致连续，并阐释它们之间的区别与联系。 第四章：序列与级数——极限的另一种视角 序列是函数的一种特殊形式，它们是定义在自然数集上的函数。本章将深入研究数列的收敛性，并给出数列收敛的严格定义。我们将探讨数列收敛的必要条件和充分条件，例如柯西序列。 级数是数列各项之和的推广，它在数学分析中具有极其重要的地位。本章将介绍无穷级数的概念，并详细阐述级数收敛的判别方法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法、莱布尼茨判别法等。我们将区分绝对收敛和条件收敛，并探讨它们之间的关系。 此外，我们将研究幂级数，它们是许多初等函数和特殊函数的展开形式，也是傅里叶级数等更广泛的级数理论的基础。幂级数的收敛半径和收敛域的计算将是本章的重点。通过对序列与级数的深入理解，读者将能够掌握分析学中处理无穷过程的核心工具。 第五章：微分——变化率的度量 微分是研究函数变化率的数学工具，它是微积分的核心概念之一。本章将从函数的导数概念出发，详细阐述导数的定义、几何意义（切线的斜率）和物理意义（瞬时速度）。我们将系统地推导各种基本函数的导数公式，并详细阐述导数的四则运算规则。 链式法则是微分学中最强大的工具之一，我们将深入理解其原理和应用，并演示如何利用链式法则计算复合函数的导数。隐函数求导和参数方程求导也将被详细介绍。 我们还将探讨高阶导数，以及它们在描述函数弯曲程度（拐点）和振荡行为中的作用。微分中值定理，如拉格朗日中值定理、罗尔定理和柯西中值定理，是微分学中的重要结论，它们在证明其他定理和解决实际问题中有着广泛的应用。 第六章：积分——累积量的计算 积分是微分的逆运算，它用于计算曲线下的面积、体积、功等累积量。本章将从定积分的概念出发，介绍黎曼积分的定义，并探讨定积分的几何意义。我们将详细阐述积分的基本性质，如线形性质、单调性。 微积分基本定理是微积分的核心桥梁，它将微分与积分联系起来，使得计算定积分变得更为简便。我们将详细阐述微积分基本定理的两个部分，并展示如何利用它来计算各种函数的定积分。 不定积分（反导数）的计算将是本章的重点，我们将介绍各种积分技巧，如换元积分法、分部积分法，以及有理函数的积分方法。曲线积分和曲面积分等概念将在后续章节中得到进一步的拓展。 第七章：多变量函数——向更高维度进发 随着数学分析的发展，我们将研究对象从单变量函数扩展到多变量函数。本章将介绍多变量函数的概念，包括定义域、值域、偏导数和全微分。偏导数描述了函数在某个变量方向上的变化率，而全微分则给出了函数在多维空间中变化的总体趋势。 我们将探讨多变量函数的极限与连续性，并引入多重积分的概念。多重积分可以用来计算多维区域的体积、质量等。我们将介绍多重积分的计算方法，包括累次积分和换元积分法，以及雅可比行列式的应用。 梯度、散度和旋度是多变量分析中的重要向量场概念，它们在物理学和工程学中有广泛的应用。本章将介绍这些概念的定义和几何意义，并探讨它们之间的关系。 第八章：特殊函数与积分变换 在本章中，我们将超越基本函数，介绍一些在科学和工程领域中扮演重要角色的特殊函数，例如贝塞尔函数、勒让德函数、伽马函数等。我们将探讨这些函数的定义、性质及其在微分方程和物理模型中的应用。 积分变换，如傅里叶变换和拉普拉斯变换，是强大的数学工具，它们能够将复杂的函数或信号转换到另一个域中，从而简化问题的分析和求解。我们将介绍这些变换的定义、性质及其在信号处理、微分方程求解等领域的应用。 总结 《集合、拓扑与函数——数学分析的基石》一书，将系统地带领读者穿越数学分析的宏伟殿堂，从最基础的逻辑构建单元——集合，到抽象的空间几何——拓扑，再到描述量变关系的函数，以及探索无穷过程的序列与级数，直至研究变化率与累积量的微分与积分。本书力求以严谨的数学语言，清晰的逻辑推理，丰富的实例，以及对概念的深刻洞察，帮助读者构建扎实的数学分析知识体系，为进一步深入学习高等数学、应用数学以及相关科学领域打下坚实的基础。本书所涵盖的内容，虽非某个特定选集，却汇聚了数学分析领域最为经典、最为核心的思想精髓，是任何渴望理解现代数学语言和工具的读者不可或缺的读物。

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初次接触这本书的排版，说实话，有些不适应，它采用了一种非常紧凑的学术布局，边距相对较窄，文字和符号排列得极其密集，这无疑最大化了信息承载量，但对于习惯了宽松阅读体验的人来说，可能会感到压迫感。特别是当遇到跨页的长篇证明时，眼睛需要进行频繁的跳跃和聚焦调整，这要求读者必须时刻保持高度的警惕性。我注意到，书中的插图和图表数量相对有限，这进一步凸显了其纯理论性的本质——作者倾向于用严密的逻辑推导来构建整个知识体系，而不是依赖视觉辅助来解释抽象概念。这种“纯粹”的表达方式，虽然增加了阅读难度，但也保证了论证过程的完整性和无懈可击，它像是为那些已经具备扎实理论基础的进阶学习者量身定做的一份深度导览图，旨在引领他们深入到理论的核心地带，去体验那种“拨云见日”的智力上的愉悦。

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这本书的语言风格，用“凝练到极致”来形容或许最为贴切。它几乎没有使用任何冗余的词汇来过渡或进行情感渲染，每一个句子都像是一个精确计算过的指令，直奔主题。阅读起来，感觉就像是在跟随一位技艺炉火纯青的工匠的脚步，他手中的工具每一下敲击都目标明确，不带丝毫多余的动作。这种极度的精简，在带来阅读挑战的同时，也孕育出一种独特的韵味——那是纯粹的、未经稀释的学术思想的魅力。我时常需要停下来，反复咀嚼一小段文字，试图捕捉到隐藏在那些看似简单的数学符号背后所蕴含的深刻洞察力。对于那些习惯了通俗讲解的读者来说，这本书无疑会是一道高墙，但对于渴望挑战自我、深入挖掘理论精髓的人来说，它更像是一份珍贵的、未经雕琢的原始矿藏，等待着被细心开采。

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这本厚重的精装书，光是捧在手里就能感受到它分量十足的分量感，那种仿佛握住了知识沉甸甸的重量。内页的纸张泛着一种温和的米黄色，触感细腻，油墨的印刷清晰有力，即便是复杂的数学公式也能看得一清二楚，这对于需要反复研读的读者来说，无疑是一种极大的便利。我花了好一番功夫才大致摸清了这本书的脉络，它显然不是那种适合快速翻阅的“快餐读物”，更像是一部需要时间沉淀、反复咀择的经典藏本。装帧设计上，那种古典与现代交织的风格，透露出一种对学术严谨性的坚持，封面设计简洁却不失深沉，让人联想到那些奠定现代数学基石的伟大著作。每一次翻开它，都会有种进入一个宏大而精密的思想迷宫的错觉，需要极强的专注力去跟随作者的逻辑链条，但这挑战本身，恰恰是吸引我的地方。它要求你慢下来，去真正理解每一个证明背后的精妙构思，而非仅仅停留在表面。

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与其说这是一本“阅读材料”，不如说它是一份需要“沉浸式体验”的工具集。书中的内容密度极高，几乎每一个段落都可能隐藏着一个需要花时间去消化的重要定理或方法论。我发现自己不能指望在短时间内“读完”它，而更应该将其视为一个长期的参考工具和智力伙伴。在处理一些实际问题时，我经常需要回溯到书中的特定章节，去重新审视那些看似晦涩的定义和引理，然后才能豁然开朗。这本书的价值，并不在于你读了多少页，而在于你真正掌握并内化了其中的多少思想深度。它所承载的知识重量和对思维方式的潜在重塑能力，使其成为书架上一个沉甸甸的存在，是那种当你需要进行严肃的学术思考时，会毫不犹豫地伸手去取的那一类书籍。

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这本书的整体编排结构，展现出一种极强的内在逻辑性，知识点之间的衔接几乎没有出现生硬的断裂感。章节的划分似乎是依照一个宏大的、内在的理论发展路线图来组织的，从基础的奠基性概念开始，逐步构建起一个复杂的知识殿堂，每一步的推进都像是水到渠成，自然而然。这种行云流水的结构，极大地考验了作者对整个领域理论体系的全局把握能力，从中可以窥见作者非凡的学术视野。我个人很欣赏这种由内而外构建起来的体系，它避免了将零散的知识点堆砌在一起的弊端，而是让读者能够清晰地看到，一个复杂理论是如何从几个基本公理或定义中，一步步被严密地推导和延展出来的。它不仅仅是知识的记录，更像是一部思想的演化史。

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