P-adic Analysis Compared With Real pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:American Mathematical Society

作者:Svetlana Katok

出品人:

页数:152

译者:

出版时间:2007-4-5

价格:USD 29.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821842201

丛书系列:Student Mathematical Library

图书标签:

数学
其余代数7
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具体描述

The book gives an introduction to p-adic numbers from the point of view of number theory, topology, and analysis. Compared to other books on the subject, its novelty is both a particularly balanced approach to these three points of view and an emphasis on topics accessible to undergraduates. In addition, several topics from real analysis and elementary topology which are not usually covered in undergraduate courses (totally disconnected spaces and Cantor sets, points of discontinuity of maps and the Baire Category Theorem, surjectivity of isometries of compact metric spaces) are also included in the book. They will enhance the reader's understanding of real analysis and intertwine the real and p-adic contexts of the book.

The book is based on an advanced undergraduate course given by the author. The choice of the topic was motivated by the internal beauty of the subject of p-adic analysis, an unusual one in the undergraduate curriculum, and abundant opportunities to compare it with its much more familiar real counterpart. The book includes a large number of exercises. Answers, hints, and solutions for most of them appear at the end of the book. Well written, with obvious care for the reader, the book can be successfully used in a topic course or for self-study.

《p进分析学与实数分析学的比较研究》数学领域浩瀚无垠，其中有两大分支——实数分析与p进分析学，它们各自以独特的视角探索数的性质与函数的行为。本书《p进分析学与实数分析学的比较研究》旨在深入剖析这两个看似独立却又息息相关的数学理论体系，通过细致的比对与辨析，揭示其内在联系、差异之处以及各自的理论优势与应用前景。本书力求以严谨的数学语言，翔实的理论论证，为广大数学爱好者、研究者以及相关领域的从业人员提供一份全面而深入的参考。引言：数学分析的疆域与p进分析的崛起实数分析学，作为数学中最基础、最成熟的分支之一，早已在描述连续性、极限、微分、积分等概念方面建立了坚实的理论框架。它建立在实数域之上，其拓扑结构与度量性质是我们日常认知与科学实践的基础。从微积分的诞生到现代的泛函分析，实数分析学始终是科学研究的强大工具。然而，数学的魅力在于其不断拓展的边界。上个世纪初，数学家库尔特·亨塞尔（Kurt Hensel）创立了p进数理论，随之而来的p进分析学也应运而生。p进数系统是一种与实数系统截然不同的数的构造方式，它在数域上引入了一种全新的范畴，从而开启了研究函数与分析性质的全新视角。p进分析学虽然相对年轻，但其独特的性质和丰富的内涵，已经吸引了越来越多的数学家关注，并在数论、代数几何、表示论等多个前沿领域展现出强大的生命力。本书的写作初衷，正是要系统地比较研究实数分析学与p进分析学，填补这一领域在比较研究方面的空白。我们将不仅仅停留在概念的介绍，而是深入探讨两种分析学体系在基本概念、理论工具、定理证明方法以及应用层面上的异同。通过这种比较，我们希望读者能够更深刻地理解数学分析的普适性与特殊性，认识到不同数学工具解决同一类问题的可能性与优势，并从中获得更广阔的数学视野。第一部分：基础概念的比较——度量、拓扑与序列任何分析学理论的基石都离不开对“距离”的定义，即度量。实数分析学使用的是欧几里得距离，它直观且符合我们的空间感知。然而，p进分析学使用的是p进度量，它基于素数p的整除性来定义距离。这种“非欧”的距离定义，导致了p进数域（Qp）和p进整数环（Zp）拥有与实数域（R）截然不同的拓扑性质。我们将详细阐述p进度量的构造，分析其满足的三角不等式（甚至是更强的超度量不等式），并由此引申出p进数域的拓扑结构。我们会对比研究在实数分析中至关重要的概念，如开集、闭集、紧集、连通集等，在p进分析中是如何表现的。例如，在p进数域中，任何一点的邻域既是开集又是闭集，这与实数域中的情况大相径庭。序列的收敛性是分析学中的核心概念。在实数分析中，序列收敛到某个极限意味着序列的项越来越接近这个极限。在p进分析中，序列的收敛性也同样重要，但其收敛行为却充满了惊喜。我们将深入探讨p进序列的收敛判别法，以及它们与实数序列收敛性之间的对应关系和区别。例如，一个在p进意义下收敛的序列，在实数意义下可能发散，反之亦然。第二部分：函数与连续性的p进视角函数是分析学研究的主要对象。在实数分析中，我们研究函数的连续性、可导性、可积性等性质，这些性质的刻画离不开ε-δ语言。在p进分析中，我们也同样关心函数的这些性质，但其表现形式则因p进度量的特殊性而产生显著变化。我们将考察p进函数在p进数域上的连续性定义，并与实函数在实数域上的连续性进行对比。我们会分析p进函数是否存在“处处连续但处处不可导”的情况，以及这种现象与实数分析中的 Weierstrass 函数所呈现的奇异性有何异同。微分和积分是分析学中不可或缺的工具。p进微积分的构造与实数微积分有相似之处，但也有其独特的挑战。我们将介绍p进函数的可导性，以及p进导数的性质。在积分方面，我们将探讨p进勒贝格积分的理论，并将其与实数积分进行比较。我们会讨论p进积分在计算上的优势，以及其在数论中的特殊应用。第三部分：级数与幂级数——收敛性的差异与扩展级数，特别是幂级数，在实数分析中扮演着极其重要的角色，它们是逼近函数、解决微分方程、定义特殊函数的重要手段。在p进分析学中，级数的收敛性及其在函数构造中的作用同样受到高度关注。本书将详细研究p进级数的收敛判别，例如p进的 ratio test 和 root test，并分析它们与实数分析中的相应判别法之间的联系与区别。特别地，我们将深入探讨p进幂级数在p进整数环上的性质，以及它们如何能够表示一系列重要的p进函数，例如p进指数函数（exp(x)）和p进对数函数（log(x)）。我们会对比研究p进幂级数的收敛域，以及它们在零点、极点等处的行为。这些行为往往与实数幂级数有着显著的差异，例如p进幂级数的收敛域可能更“紧凑”，或者具有更复杂的结构。通过对这些差异的分析，我们可以更深刻地理解p进数系在函数逼近方面的独特优势。第四部分：特殊函数与p进分析——新的视角与应用许多在数学和物理学中起着重要作用的特殊函数，如伽罗瓦群、zeta函数、L-函数等，在p进分析的框架下，可以得到全新的理解和更深入的研究。例如，p进分析在数论中的应用尤为突出，许多与数论问题相关的函数，其p进性质的揭示能够为解决数论难题提供关键线索。我们将介绍一些在p进分析中扮演重要角色的特殊函数，例如p进Gamma函数、p进多项式以及与代数簇相关的p进解析函数。我们会探讨这些函数在p进数域上的性质，以及它们与经典特殊函数在实数域上的对应关系。本书还将简要介绍p进分析在代数几何、表示论、微分方程等领域的应用。例如，p进分析在研究代数簇的p进性质、理解群表示的p进结构等方面发挥着不可替代的作用。第五部分：理论的融合与展望——p进分析的未来尽管实数分析与p进分析学在基本概念和理论构造上存在显著差异，但它们并非完全割裂。数学家们一直在探索将两者融合的途径，例如通过一些统一的框架来理解不同分析学体系的共性。本书的最后部分将对p进分析学的理论发展进行展望，讨论其在未来可能的研究方向。例如，p进分析在非阿基米德几何、量子场论以及其他新兴数学分支中的潜在应用。同时，我们也会强调通过比较研究，可以相互启发，共同促进数学分析理论的发展。结语《p进分析学与实数分析学的比较研究》致力于为读者构建一座连接两个重要数学分析世界的桥梁。通过细致的比较，我们希望读者能够超越熟悉的实数分析框架，领略p进分析学所带来的数学新维度。我们相信，对这两种分析学体系的深入理解，不仅能够丰富个人的数学知识储备，更能激发在更广泛的数学领域进行创新研究的灵感。本书的编写过程，也是一次对数学分析本质的深刻探索，旨在揭示数学语言的多样性与统一性，以及其在不断拓展的知识疆域中所展现出的无穷魅力。

作者简介

Svetlana Katok: Pennsylvania State University, University Park, PA

目录信息

Cover 1
Title 4
Copyright 5
Contents 6
Foreword: MASS and REU at Penn State University 10
Preface 12
Chapter 1. Arithmetic of the p-adic Number 16
§1.1. From Q to R; the concept of completion 17
Exercise 1–8 20
§1.2. Normed fields 21
Exercises 9–16 29
§1.3. Construction of the completion of a normed field 30
Exercises 17–19 34
§1.4. The field of p-adic numbers Q[sub(p)] 34
Exercises 20–25 41
§1.5. Arithmetical operations in Q[sub(p)] 42
Exercises 26–31 45
§1.6. The p-adic expansion of rational numbers 45
Exercises 32–34 48
§1.7. Hensel's Lemma and congruences 48
Exercises 35–44 53
§1.8. Algebraic properties of p-adic integers 54
§1.9. Metrics and norms on the rational numbers. Ostrowski's Theorem 58
Exercises 45–46 62
§1.10. A digression: what about Q[sub(g)] if g is not a prime? 62
Exercises 47–50 65
Chapter 2. The Topology of Q[sub(p)] vs. the Topology of R 68
§2.1. Elementary topological properties 68
Exercises 51–53 75
§2.2. Cantor sets 75
Exercises 54–65 83
§2.3. Euclidean models of Z[sub(p)] 84
Exercises 66–68 88
Chapter 3. Elementary Analysis in Q[sub(p)] 90
§3.1. Sequences and series 90
Exercises 69–73 95
§3.2. p-adic power series 95
Exercises 74–78 101
§3.3. Can a p-adic power series be analytically continued? 102
§3.4. Some elementary functions 104
Exercises 79–81 107
§3.5. Further properties of p-adic exponential and logarithm 107
§3.6. Zeros of p-adic power series 113
Exercises 82–83 117
Chapter 4. p-adic Functions 118
§4.1. Locally constant functions 118
Exercises 84–87 122
§4.2. Continuous and uniformly continuous functions 123
Exercises 88–90 127
§4.3. Points of discontinuity and the Baire Category Theorem 127
Exercises 91–96 130
§4.4. Differentiability of p-adic functions 131
§4.5. Isometries of Q[sub(p)] 136
Exercises 97–100 138
§4.6. Interpolation 138
Exercises 101–103 149
Answers, Hints, and Solutions for Selected Exercises 150
Bibliography 164
Index 166
Back Cover 170
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的深度是毋庸置疑的，但更令我惊喜的是它在教学法上的创新。在阅读过程中，我发现作者似乎预见到了读者可能在哪里感到困惑，并提前设置了“避雷区”。比如，在处理某些边界条件或奇异点时，作者不仅给出了严格的证明，还附带了一小段“直觉导引”，用极其口语化的方式解释了为什么数学结构必须如此构造，而不是其他形式。这种‘硬核’与‘温情’并存的叙事方式，使得阅读体验非常流畅。我发现自己阅读的速度比以往阅读同类题材的书籍要快，但这并非因为内容简化，而是因为理解的效率大大提高了。书中所引用的历史背景和人物轶事也穿插得恰到好处，让冰冷的数学概念瞬间拥有了人性的温度和历史的厚重感。它不仅仅是一本教科书，更像是一位资深教授在深夜与你促膝长谈，耐心梳理脉络，让你茅塞顿开。这种教育设计，体现了作者深厚的教学功底和对学习者需求的深刻洞察力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构严谨得令人发指，简直是一件数学工艺品。我特别喜欢它在关键定理后提供的不同视角的解读——有时候是代数视角，有时候是拓扑学的暗示。这种多维度剖析的方法，确保了对定理理解的全面性和鲁棒性。书中的图表制作工艺也是一流的，那些用来解释复杂映射关系的示意图，线条流畅，信息密度适中，是教科书插图中的典范。我曾试图在其他资源中寻找关于某些特定引理的更简洁证明，但最终发现，这本书中提供的版本才是最优雅、最不易出错的。它的论证逻辑如同瑞士机械表内部的齿轮系统，每一个部件都为了整体的完美运行而精确咬合。读完一个章节后，你不会有那种“好像懂了但又没完全懂”的悬浮感，而是会有一种“我彻底掌握了”的坚定信念。这种自信心的建立，正是衡量一本优秀数学专著的最高标准之一。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计真是独具匠心，那种深邃的蓝色调搭配着几何图形的排版，散发出一种严谨而又神秘的气息，让人忍不住想一探究竟。内页的纸张质量也相当上乘，触感温润，即便是长时间阅读也不会感到视觉疲劳。我尤其欣赏作者在章节划分上的匠心独运，每一部分的过渡都显得那么自然而然，仿佛带领读者进行一场精心策划的智力探险。从宏观的理论构建到微观的细节推导，逻辑链条编织得密不透风，让人在理解复杂概念时能感受到一种步步为营的踏实感。虽然题材本身可能偏向硬核，但作者通过一系列生动、贴切的类比，成功地将那些抽象的数学概念具象化，使得即便是初次接触这些领域的读者，也能抓住其精髓。这本书的排版布局清晰明了，公式的呈现简洁有力，注释部分更是详尽考究，为深入研究提供了坚实的文献支持。总体而言，这本厚重的著作，从装帧到内容，都体现了一种对学术的敬畏和对读者的尊重，无疑是数学爱好者书架上不可或缺的一份珍藏。

评分☆☆☆☆☆

我花了整整一个周末的时间来研读这本书的第一章，那种沉浸式的体验简直令人着迷。作者似乎有一种天赋，能够将看似枯燥的数学推导过程，描绘得如同史诗般的叙事。书中对基础公理的阐述极其到位，没有丝毫含糊不清之处，这对于打下坚实基础至关重要。我特别注意到，作者在引入新概念时，总是会先回顾相关的经典理论，这种对比和铺垫的手法，极大地降低了理解新体系的认知负荷。更妙的是，书的某些章节后附带的“思考题”，并非简单的计算练习，而是直指核心思想的哲学性叩问，成功激发了我的批判性思维，让我不再满足于机械地套用公式，而是开始追问“为什么是这样”。这本书的语言风格非常精准，没有多余的冗词赘语，每一个词汇的选择都仿佛经过千锤百炼，直击要害。对于任何一个追求深度而非广度的学习者来说，这本书都是一座知识的灯塔，指引着我们在抽象的数学世界中，找到清晰的航向。

评分☆☆☆☆☆

坦率地说，这本书的阅读门槛不低，它要求读者具备一定的预备知识，但对于那些已经准备好挑战自我的人来说，它所带来的回报是巨大的。作者在处理那些跨越不同数学分支的连接点时，展现了惊人的驾驭能力，使得原本看似分散的知识点，在这个框架下有了一个统一的解释。我发现，通过这本书，我对数学的整体图景有了更清晰的认识，不再局限于孤立的知识模块。它的价值不在于教你快速解题，而在于重塑你的数学思维框架。那些大量的参考文献列表，本身就是一份高质量的进阶阅读指南，为有志于继续深造的读者铺平了道路。这本书的语言风格是内敛而有力的，它从不哗众取宠，只是用无可辩驳的逻辑将真理呈现出来。每次合上它，我都感觉自己的智力上得到了一次彻底的洗礼和提升，那是一种深层次的满足感，远超完成一次复杂计算的短暂快感。

评分☆☆☆☆☆