A First Course of Homological Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:D. G. Northcott

出品人:

页数:220

译者:

出版时间:1980-8-31

价格:USD 34.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521299763

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 同调代数
• 其余代数7
• Homological Algebra
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• Algebraic Topology

代数拓扑的基石：同调代数的入门指南 同调代数，作为现代数学中一颗璀璨的明珠，为代数拓扑、代数几何、表示论等众多学科提供了强大的语言和工具。它不仅仅是抽象代数的一个分支，更是连接离散结构与连续空间，研究复杂对象内在结构的精妙理论。本书旨在为读者打开同调代数的大门，引领大家深入探寻其核心概念、基本构造以及在各个领域的初步应用。本书的叙述风格力求严谨而清晰，逻辑缜密，每一步推导都力求根植于直观的理解，避免枯燥的符号堆砌，以期让初学者能够轻松入门，并为后续更深入的学习打下坚实的基础。 第一部分：群的上同调与同调 群的上同调与同调是同调代数的核心内容之一，它们提供了研究群的表示、群扩张以及群结构的重要手段。本部分将从群的定义出发，逐步引入上同调群和同调群的构造。 群的定义与基本概念： 我们将首先回顾群的基本定义，包括群的运算性质、子群、正规子群、商群等。在此基础上，我们将引入群的表示，即群作用在向量空间上。这是理解群的上同调与同调的基础。 链复形与上链复形： 为了形式化地定义上同调群与同调群，我们需要引入链复形与上链复形的概念。链复形是由一系列模（或向量空间）组成的序列，并通过一系列称为链映射的线性映射连接起来，同时满足相邻映射的复合为零。上链复形与之类似，但方向相反。这些复形是同调代数的基本研究对象。 同调群与上同调群的构造： 借助链复形，我们可以定义同调群与上同调群。具体而言，对于一个链复形 $C_ = (dots o C_{n+1} xrightarrow{d_{n+1}} C_n xrightarrow{d_n} C_{n-1} o dots)$，其 $n$ 阶同调群 $H_n(C_)$ 定义为 $ker(d_n) / ext{im}(d_{n+1})$。换句话说，它是“循环”与“边界”的商。类似地，对于一个上链复形 $C^ = (dots o C^{n-1} xrightarrow{d^{n-1}} C^n xrightarrow{d^n} C^{n+1} o dots)$，其 $n$ 阶上同调群 $H^n(C^)$ 定义为 $ker(d^n) / ext{im}(d^{n-1})$。 自由分解与投射分解： 在研究具体对象的同调群时，我们经常需要找到一个“好”的链复形来代表它。自由模（或向量空间）和投射模（或向量空间）是两种重要的“好”模。我们将介绍如何为任意模构造一个自由分解或投射分解，并证明这些分解在同调意义下是唯一的（ up to isomorphism）。 EXT函子： EXT函子（Ext functor）是同调代数中一个非常重要的函子，它刻画了两个模之间的“扩张”关系。我们将介绍EXT函子的定义，并说明如何利用投射分解来计算EXT函子。EXT函子在群的上同调中有着直接的应用，它提供了计算群上同调群的有力工具。 群的上同调群的计算： 利用EXT函子的概念，我们将给出计算群的上同调群的具体方法。这涉及到构造群的自由分解，然后计算相应的EXT群。我们将展示一些典型的计算例子，例如计算有限循环群的上同调群。 群的表示与群扩张： 群的上同调群与群的表示有着深刻的联系。我们将探讨群的上同调群如何描述群的表示的性质，以及如何利用上同调群来研究群的扩张问题。群扩张是研究群结构的常用方法，而上同调群为这一研究提供了精确的数学工具。 第二部分：阿贝尔范畴与函子 范畴论是现代数学的通用语言，而阿贝尔范畴是同调代数研究的理想框架。本部分将介绍阿贝尔范畴的基本概念，以及在范畴框架下理解函子和它们的导出函子。 范畴与函子： 我们将从范畴的基本定义开始，包括对象、态射、复合以及单位态射。然后，我们将引入函子的概念，函子是在范畴之间进行“翻译”的映射，它保持了范畴的结构。我们将区分协变函子和逆变函子。 阿贝尔范畴的定义： 阿贝尔范畴是一类具有特定性质的范畴，它包含了阿贝尔群范畴这样的“好”范畴。阿贝尔范畴的定义包括了零对象、对称态射、有限和与有限余积、核与像、以及映核与映像的同构等性质。这些性质使得阿贝尔范畴中的对象可以进行类似阿贝尔群的运算。 阿贝尔范畴中的链复形： 在阿贝尔范畴中，我们同样可以构造链复形和上链复形。这些复形在阿贝尔范畴的框架下仍然保持其重要性。 导出函子： 函子通常作用在模的范畴上，但是我们感兴趣的通常是某个函子在“更一般的”范畴上的行为。导出函子就是为解决这一问题而生的。如果我们有一个函子 $F$（例如，张量积函子 $otimes$），并且我们想要研究它在阿贝尔范畴上的性质，但直接定义它可能很困难，我们就会考虑它的左导出函子或右导出函子。 Tor函子： Tor函子（Tor functor）是张量积函子的左导出函子，它刻画了张量积运算的“非平坦性”。我们将介绍Tor函子的定义，并说明如何利用自由分解来计算Tor函子。Tor函子在模的结构研究中有重要应用，例如刻画模的平坦性。 Hom函子与EXT函子的关系： Hom函子是一个逆变函子，它在阿贝尔范畴中的研究是理解EXT函子的关键。我们将进一步深入探讨Hom函子和EXT函子之间的关系，以及它们在阿贝尔范畴中的重要性。 阿贝尔范畴中的短正合列与长正合列： 短正合列是同调代数中的基本工具，它描述了三个对象之间的特定关系。我们将探讨短正合列诱导的长正合列，这使得我们可以从已知的同调信息推断出未知的同调信息。 第三部分：代数拓扑中的应用 同调代数并非纯粹的抽象理论，它在代数拓扑中有着极其广泛和深刻的应用。本部分将展示同调代数如何成为理解拓扑空间基本性质的强大工具。 链复形与拓扑空间： 我们将介绍如何将链复形与拓扑空间联系起来。例如，我们将引入单纯复形的概念，将拓扑空间分解成简单的几何单元（单纯形），然后构造其链复形。 单纯同调群： 基于单纯复形，我们将定义单纯同调群。单纯同调群是拓扑空间的一个基本不变量，它能够捕捉空间的“洞”的数量和形状。我们将证明不同单纯分解的同调群是同构的，从而保证了单纯同调群的良好定义。 奇异同调群： 另一种重要的同调理论是奇异同调群。它不依赖于空间的某种分解，而是直接利用映射来定义。我们将介绍奇异同调群的定义，并说明它与单纯同调群是同构的。 同伦等价与同调群： 我们将证明同伦等价的拓扑空间具有相同的同调群。这意味着同调群能够区分不同“基本形状”的拓扑空间，并且对空间的连续形变具有不变性。 万有覆盖空间与同调群： 万有覆盖空间是拓扑学中的一个重要概念。我们将探讨万有覆盖空间如何影响空间的同调群，以及如何利用同调群来研究覆盖空间的性质。 庞加莱对偶： 对于紧致可定向流形，庞加莱对偶定理是同调代数在拓扑学中最著名的结果之一。它揭示了流形的不同维度的同调群之间的深刻联系。我们将介绍庞加莱对偶定理的表述，并给出其几何意义的解释。 同调运算： 除了计算同调群本身，我们还可以研究同调群之间的映射，即同调运算。这些运算能够提供关于拓扑空间的更丰富的信息。我们将介绍一些基本的同调运算，并展示它们在分析拓扑空间性质方面的作用。 本书的编写过程中，我们始终秉持着循序渐进的原则，力求让数学专业本科生和研究生能够轻松理解同调代数的基本思想和方法。通过对抽象概念的清晰阐释，以及对代数拓扑领域应用实例的深入探讨，我们希望读者能够体会到同调代数作为连接不同数学分支的桥梁所展现出的强大魅力和无限可能性。本书的每一章节都精心设计了例题和习题，旨在帮助读者巩固所学知识，并独立思考和解决问题。我们相信，掌握了本书的内容，读者将能够 confidently 地进入同调代数更深层次的学习，并将其应用于更广泛的数学研究领域。

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我必须赞扬这本书在历史背景和应用拓展方面所做的细致工作。在介绍某些重要理论或定理时，作者并没有将其视为凭空出现的真理，而是会穿插讲述其诞生的历史背景、解决的实际问题，以及它对后世数学发展产生的深远影响。这种“知其然，更要知其所以然”的叙述方式，极大地增强了学习的趣味性和深度。它让读者意识到，这些复杂的数学结构并非空中楼阁，而是人类在探索世界奥秘过程中智慧的结晶。这种人文关怀与严谨数学并重的处理，让这本书不仅是一本工具书，更像是一部数学思想史的缩影，引导读者去思考数学家们是如何思考问题的。

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这本书的语言风格非常平易近人，尽管主题是抽象的代数结构，但作者的叙述却充满了启发性和引导性。他似乎很擅长将那些深奥的概念，通过精心构造的比喻和直观的例子，逐步剥开迷雾，展现在读者面前。我尤其欣赏作者在引入新概念时所展现出的耐心，他不会急于求成，而是会先在读者脑海中构建一个坚实的直觉基础，然后再逐步引入严格的定义和证明。这种循序渐进的教学方式，极大地降低了初学者的入门门槛。对于那些自学代数拓扑或相关领域的读者来说，这本书无疑提供了一个非常友好的起点，它不像某些教科书那样高冷晦涩，而是像一位经验丰富的导师，在你身边轻声细语地引导。

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这本书的装帧设计真是让人眼前一亮，那种复古的硬壳封面，配上烫金的字体，拿在手里沉甸甸的，感觉就像是在触摸一部经典著作。内页的纸张质量也相当出色，米黄色的纸张，触感温润，阅读起来非常舒适，即便是长时间盯着那些复杂的公式和符号，眼睛也不会感到太大的疲劳。这本书的排版设计也极具匠心，章节之间的过渡自然流畅，公式的编号清晰明了，参考文献的引用格式规范统一，体现出编辑团队的专业和严谨。整体而言，这本书不仅仅是一本学习资料，更像是一件精美的艺术品，摆在书架上都显得格调不凡。对于那些对手工质感和阅读体验有较高要求的读者来说，光是翻阅这本书的过程，本身就是一种享受。

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从内容组织的角度来看，这本书的逻辑结构安排得堪称教科书级的典范。它似乎遵循着从具体到一般、从基础到高阶的内在脉络，每一步的推进都有着清晰的逻辑推导和前置知识的铺垫。初期的章节内容扎实而基础，为后续复杂理论的建立打下了坚实的根基；随着章节的深入，作者巧妙地将不同分支的理论点汇集起来，展示出整个领域的宏大图景。我特别注意到作者在处理不同代数结构之间的联系时，总是能提供非常精妙的视角，让人豁然开朗，明白这些看似孤立的概念背后是如何相互关联、相互映照的。这种结构上的完整性和一致性，使得学习过程中的“断裂感”被大大削弱。

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这本书的习题设计，简直是衡量一本优秀教材的关键试金石，而这本书在这方面表现得极其出色。习题的难度梯度设置得非常合理，从基础的计算与理解性练习，到需要深入思考才能解决的综合性问题，再到一些启发后续研究方向的开放式挑战，应有尽有。更重要的是，这些习题的目的性非常强，它们不是为了炫技而存在的，而是精准地对应和深化了前文讲授的核心概念和技巧。我发现，只有真正动手去尝试解决这些问题，才能将书本上的抽象知识转化为自己内化的工具。如果能完整地攻克这本书中的大部分习题，我对这个领域的掌握程度必然会得到质的飞跃，这比单纯阅读理论要有效得多。

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