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☆☆☆☆☆

出版者:Princeton University Press

作者:Claude Chevalley

出品人:

页数:232

译者:

出版时间:1999-12-21

价格:USD 65.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780691049908

丛书系列:Princeton Landmarks in Mathematics and Physics

图书标签:

数学
李群
Algebra
Mathematics
Math
Bourbaki
Analysis
经典
数学
群论
李群
抽象代数
微分几何
拓扑学
高等数学
理论数学
代数几何
数学物理

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具体描述

This famous book was the first treatise on Lie groups in which a modern point of view was adopted systematically, namely, that a continuous group can be regarded as a global object. To develop this idea to its fullest extent, Chevalley incorporated a broad range of topics, such as the covering spaces of topological spaces, analytic manifolds, integration of complete systems of differential equations on a manifold, and the calculus of exterior differential forms.

The book opens with a short description of the classical groups: unitary groups, orthogonal groups, symplectic groups, etc. These special groups are then used to illustrate the general properties of Lie groups, which are considered later. The general notion of a Lie group is defined and correlated with the algebraic notion of a Lie algebra; the subgroups, factor groups, and homomorphisms of Lie groups are studied by making use of the Lie algebra. The last chapter is concerned with the theory of compact groups, culminating in Peter-Weyl's theorem on the existence of representations. Given a compact group, it is shown how one can construct algebraically the corresponding Lie group with complex parameters which appears in the form of a certain algebraic variety (associated algebraic group). This construction is intimately related to the proof of the generalization given by Tannaka of Pontrjagin's duality theorem for Abelian groups.

The continued importance of Lie groups in mathematics and theoretical physics make this an indispensable volume for researchers in both fields.

Table of Contents:

INTRODUCTION vii

I. THE CLASSICAL LINEAR GROUPS 1

II. TOPOLOGICAL GROUPS 25

III. MANIFOLDS 68

IV. ANALYTIC GROUPS. LIE GROUPS 99

V. THE DIFFERENTIAL CALCULUS 0F CARTAN 139

VI. COMPACT LIE GROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS 171

INDEX 215

《李群理论》是一本深入探索李群这一重要数学结构的著作。李群，以挪威数学家索菲·李（Sophus Lie）的名字命名，是具有光滑结构的群。这种光滑结构允许我们运用微积分和微分几何的强大工具来研究群的性质。本书旨在为读者提供一个全面而系统的学习框架，理解李群在现代数学和物理学中的核心地位及其广泛应用。本书从基础概念出发，首先详细阐述了群论的基本原理，包括群的定义、子群、正规子群、商群、同态和同构等。在此基础上，引入了拓扑空间的概念，为理解光滑结构打下基础。接着，本书将重点放在微分流形的理论上，这是一个至关重要的概念。读者将学习到流形的定义、图册、切空间、向量场、微分形式以及流形上的光滑函数等核心内容。这些工具将成为后续研究李群不可或缺的基石。随后，本书将目光聚焦于李群的定义及其基本性质。我们将探讨李群的多种等价定义，以及它们之间的联系。重点将放在李群上的切空间，并引入李代数的概念。李代数是与李群密切相关的线性空间，它通过指数映射与李群联系起来，承载着李群的局部信息。本书将详细讲解李代数的定义、结构常数、李括号以及李代数的重要性质，例如结合律、李导数等。本书将深入探讨李群和李代数之间的对应关系。我们将证明对于连通李群，其李代数唯一确定了该李群的局部结构。指数映射将作为连接李群和李代数的核心工具，其性质和构造方法将在本书中得到详尽的分析。此外，本书还将研究表示论，这是理解李群和李代数行为的关键。我们将介绍李群和李代数的线性表示，并探讨不可约表示、权、根等重要概念。这将揭示李群和李代数丰富的内部结构。在进一步的章节中，本书将详细介绍李群的分类。我们将研究著名的李群，例如一般线性群 $GL(n, mathbb{R})$、特殊线性群 $SL(n, mathbb{R})$、正交群 $O(n)$、特殊正交群 $SO(n)$、辛群 $Sp(2n)$ 等。通过分析它们的李代数，我们将展现这些经典李群在几何和物理学中的重要作用。本书还将触及李群的子群，包括李子群及其与子代数之间的关系。本书还专门开辟篇幅介绍李群在物理学中的应用。从经典力学中的对称性，到量子力学中的角动量理论，再到粒子物理学中的规范对称性，李群无处不在。我们将展示如何利用李群的表示论来理解量子系统的对称性，例如回旋对称性、宇称对称性等。此外，本书还将探讨李群在微分几何、偏微分方程、代数几何等数学分支中的应用，展示其跨学科的强大影响力。最后，本书还将讨论一些更高级的主题，例如李群的覆盖群、李群的同调论、李群的代数化等。这些内容将为读者提供更深入的理解，并为进一步的研究打下坚实的基础。本书语言严谨，逻辑清晰，旨在为数学专业学生、物理学专业学生以及对李群理论感兴趣的研究者提供一本权威的参考书。通过系统学习本书，读者将能够掌握李群理论的核心概念和方法，并能够将其应用于解决复杂的数学和物理问题。

作者简介

Claude Chevalley (1909-1984) served on the faculty of Princeton University and was resident at the Institute for Advanced Study. He was a member of the Bourbaki and was awarded the Cole Prize of the American Mathematical Society.

Review:

"Chevalley's most important contribution to mathematics is certainly his work on group theory . . . [Theory of Lie Groups] was the first systematic exposition of the foundations of Lie group theory consistently adopting the global viewpoint, based on the notion of analytic manifold. This book remained the basic reference on Lie groups for at least two decades."--Bulletin of the American Mathematical Society

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

According to my personal experience as a student, the book is not easy to read or understand. Though the level of the Lie theory covered in this book is not so advanced (I have not read the last chapter, it seems the results in last chapter are much deeper)...

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

随着阅读的深入，《Theory of Lie Groups》进入了更加核心的部分，也展现出其作为一本高级教科书的深度。作者在讨论李群的表示论时，可谓是鞭辟入里。他并没有回避代数表示论中的复杂性，而是通过系统性的讲解，逐步引导读者理解。我尤其印象深刻的是关于李群表示与李代数表示之间关系的阐述。作者清晰地解释了，为什么我们常常可以通过研究李代数的表示来理解李群的表示，并详细介绍了指数映射在这一过程中的关键作用。他不仅给出了理论的推导，更重要的是，他花了大量的篇幅来分析不同类型的李群（如紧李群、非紧李群）的表示具有的特殊性质。对于紧李群，作者深入探讨了其表示的半单性以及不可约表示的完备性，并引入了外尔积分和外尔维度公式等重要工具。这些公式在计算和理解李群的表示方面起到了至关重要的作用。我曾尝试阅读过其他关于表示论的书籍，但往往因为其过于抽象而感到困惑，而这本书则通过大量的例子，比如 SU(2) 和 SU(3) 的表示，让这些理论变得生动起来。作者在讲解时，常常会引用一些物理学上的应用，例如粒子的量子态和对称性，这为我这样背景的读者提供了一个重要的参照点，让我能够更好地理解这些数学工具的实际价值。

评分☆☆☆☆☆

《Theory of Lie Groups》在处理李群与微分几何之间的联系时，展现出了非凡的深度和广度。作者并非仅仅将这两个领域割裂开来介绍，而是将它们有机地融合在一起，使得读者能够从几何的视角来理解李群的本质。我对于书中关于李群在流形上作用的讨论印象尤其深刻。作者详细阐述了如何用李群来描述流形上的对称性，比如欧几里得空间中的刚体运动群，以及它们在保持流形结构不变的意义下如何作用于流形。他进一步推广到更一般的流形，并引入了“李群作用”和“轨道”的概念。通过这些讨论，我开始理解，李群不仅仅是代数结构，它们更是能够“作用”在几何对象上的动态实体。书中关于“齐性空间”（homogeneous space）的讲解，更是将李群与微分几何的美妙结合推向了一个新的高度。作者清晰地解释了，当一个李群作用在一个流形上时，如果作用是传递的，那么该流形就是一个齐性空间，并且它与该李群的某个子群的陪集空间同构。这为理解很多重要的几何空间（如球面、射影空间）提供了深刻的见解。此外，本书还涉及了李群在曲率、测地线等微分几何概念中的应用，这让我看到了李群理论在探索更深层次几何性质方面的强大潜力。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，当我开始阅读《Theory of Lie Groups》的第二部分时，我内心是有一些忐忑的。毕竟，李群本身的定义就涉及到微分流形和微积分，这对我来说是完全陌生的领域。然而，作者的处理方式却出乎我的意料。他没有直接跳入复杂的定义，而是先从一些直观的例子入手，比如旋转群 SO(3) 的几何意义，以及它与三维旋转的对应关系。通过这些具体的例子，作者巧妙地将抽象的数学概念与我们熟悉的几何空间联系起来，大大降低了理解的门槛。我特别欣赏作者在引入流形概念时所采用的方法。他并没有直接给出流形的严格拓扑定义，而是从“局部欧几里得空间”的角度，通过大量的几何直观图示和例子，一点点地构建起流形的整体概念。例如，在解释切空间时，作者通过引入速度向量的类比，让“切空间”这个抽象的概念不再是天书。他深入浅出地讲解了向量场的概念，并将其与微分方程的解联系起来，展示了向量场在流形上的行为。我认为这是本书最精彩的部分之一。作者并非照本宣科，而是用一种非常“讲故事”的方式，将复杂的数学思想娓娓道来。当我读到李括号的定义时，尽管这个定义本身在代数上是很精巧的，但作者通过将其与向量场之间的交换子联系起来，赋予了这个看似突兀的定义深刻的几何直观意义。这让我不再仅仅是记住一个公式，而是真正理解了李括号在李代数中扮演的核心角色。

评分☆☆☆☆☆

《Theory of Lie Groups》在处理李群表示理论的普适性这一概念时，展现了令人印象深刻的洞察力。作者并没有局限于对某个特定李群的表示进行研究，而是致力于揭示表示理论的普遍规律。我尤其欣赏他对“表示的张量积”和“张量积的分解”的讲解。通过引入张量积的概念，作者展示了如何从已知的表示构建出新的表示，而张量积分解则揭示了如何将复杂的表示分解为更简单的不可约表示的组合。这在物理学中有着极其重要的应用，例如在多粒子系统的量子力学中，多个粒子的状态空间就是单个粒子状态空间的张量积。作者通过详细的例子，比如 SU(2) 群的表示，说明了如何通过张量积分解来计算更高级别的表示。例如，两个自旋为 1/2 的粒子组合后，总自旋可能是 0 或 1，这就是张量积分解的结果。书中对“特征标”（character）理论的介绍，更是将表示理论提升到了一个更高的层面。作者解释了，特征标是一个表示的“签名”，它能够区分不同的表示，并且可以通过特征标的性质来判断一个表示是否是不可约的。对于紧致李群，作者还介绍了外尔特征标公式，这是一个极其强大的工具，能够直接计算出不可约表示的特征标，从而完全确定该表示。

评分☆☆☆☆☆

本书在深入探讨李群理论的各个方面时，其文字的精炼与结构的严谨堪称典范。在阅读到关于李群的“结构常数”和“李代数”的章节时，我再一次被作者的逻辑清晰所折服。作者并没有立刻抛出李代数的公理化定义，而是从李群上的“无穷小生成元”的概念出发，巧妙地引入了李代数的概念。他详细解释了李群的指数映射如何将李群的元素与李代数中的向量对应起来，以及这个映射的局部性质。然后，他引入了李代数的李括号运算，并证明了李括号运算满足雅可比恒等式，从而构成了李代数。我认为，作者在讲解李代数结构常数时，是花了很大心思的。他清晰地展示了，这些结构常数是如何从李群的生成元的对易关系中导出的，并且它们完全决定了李代数的结构。通过对不同李群的李代数结构常数的计算，读者可以直观地感受到不同李群之间的结构差异。书中对一些典型的李代数，如 sl(n) 和 so(n) 的结构常数进行了详细的计算和分析，这对于读者掌握计算技巧，理解抽象代数结构至关重要。作者还提到了，李代数的结构常数在物理学中扮演着重要的角色，例如在描述基本粒子相互作用时，它们就对应着相互作用的强度和性质。

评分☆☆☆☆☆

这本《Theory of Lie Groups》的封面设计相当朴素，给人一种严谨扎实的学术著作感，并非那种花里胡哨旨在吸引眼球的书籍。初次翻阅，我被其开篇即展现出的宏大体系所震撼。作者似乎试图从一个最基本的视角切入，逐步构建起李群理论的完整图景。它不像某些入门读物那样，上来就抛出大量的定义和定理，而是循序渐进，用一种非常沉稳的语调，引导读者一步步走进这个抽象而迷人的数学世界。第一部分花了相当多的篇幅来回顾和介绍群论的基础知识，这对于我这样之前对李群理论接触不多的读者来说，无疑是极大的帮助。作者没有假设读者已经具备了深厚的代数背景，而是耐心地梳理了群、子群、正规子群、同态、同构等概念，并辅以各种经典例子，使得这些抽象的代数结构变得更加具体可感。我尤其喜欢作者在讲解过程中插入的一些历史渊源和思想发展的脉络，这让我不仅仅是在学习数学本身，更是在感受数学思想的演变过程。比如，在介绍完有限群的结构定理后，作者花了整整一节来阐述伽罗瓦理论与李群理论之间的早期联系，虽然这部分内容超出了本书的核心范畴，但它极大地拓宽了我的视野，让我意识到这些看似独立的数学分支是如何在历史的长河中互相启发、共同前进的。作者的语言风格也值得称道，严谨但不失清晰，即使在讨论一些非常抽象的概念时，也能用相对易懂的语言加以阐释，避免了许多其他教材中常见的晦涩难懂之处。我花了很长时间才消化完第一部分，但那种豁然开朗的感觉，让我对接下来的内容充满了期待。

评分☆☆☆☆☆

我一直对《Theory of Lie Groups》书中关于李群在代数几何中的应用部分感到好奇，而这部分内容也确实没有让我失望。作者并没有将代数几何作为本书的附录，而是将其与李群理论紧密结合，展现了两种数学语言之间的深刻联系。他介绍了李群如何作为代数簇（algebraic variety）来研究，即李群本身也可以被看作是满足某些代数方程的点的集合。这种视角为我们提供了一种全新的理解李群的方式，不再局限于光滑流形的框架。我印象特别深刻的是关于“代数群”（algebraic group）的概念。作者清晰地阐述了代数群的定义，以及它与李群之间的关系。他解释了，一个光滑的李群如果同时也是一个代数簇，并且群运算是代数映射，那么它就是一个代数群。书中通过对一些典型的代数群，比如 GL(n)（可逆 n x n 矩阵群）和 SL(n)（行列式为 1 的 n x n 矩阵群）的讨论，展示了代数几何的工具是如何被用来研究它们的性质的。例如，代数几何中的“模空间”（moduli space）概念，在研究李群的子群结构和共轭类时起到了重要作用。作者还提到了，代数群在代数几何中的研究，比如舒伯特细胞（Schubert cell）等，与李群的表示理论有着密切的联系，这进一步拓宽了我的理解。

评分☆☆☆☆☆

《Theory of Lie Groups》在最后一章，花了相当大的篇幅来探讨李群理论在现代物理学中的更深层次应用，这让我对本书的价值有了更全面的认识。作者并没有仅仅停留在对基本对称性的描述，而是将目光投向了粒子物理学和规范场论的前沿。我尤其欣赏他对“规范对称性”（gauge symmetry）的引入。他解释了，规范对称性是描述基本粒子相互作用的核心概念，而李群正是刻画这些规范对称性的语言。他通过分析标准模型中的李群 SU(3) x SU(2) x U(1)，详细阐述了强相互作用、弱相互作用和电磁相互作用是如何由这些李群的规范对称性所决定的。书中对“规范场”（gauge field）的概念进行了深入的阐述，并将其与李群的李代数联系起来，解释了规范场是如何在时空中传播相互作用力的。我感到非常震撼的是，作者将李群的不可约表示与基本粒子的内禀性质（如电荷、自旋、味等）联系起来。他解释了，为什么某些粒子具有特定的性质，这正是因为它们在相应的李群表示下具有特定的量子数。此外，本书还涉及了李群在量子引力、弦理论等更前沿领域中的一些初步探讨，这让我看到了李群理论作为一种强大的数学工具，在不断拓展人类对宇宙的认识边界中扮演着不可或缺的角色。

评分☆☆☆☆☆

对于任何试图深入理解“对称性”这一核心数学概念的读者，《Theory of Lie Groups》都提供了一个极其宝贵的视角。本书在这方面的内容，不仅仅是停留在理论的层面，更是通过大量的实例，将抽象的数学工具与我们对现实世界的理解联系起来。我深感作者在解释李群如何刻画连续对称性时所下的功夫。他从伽利略变换和庞加莱群出发，展示了这些群是如何描述经典力学的时空对称性的。然后，他自然地过渡到洛伦兹群和庞加莱群在狭义相对论中的作用，以及它们与四维时空中的物理定律之间的深刻联系。书中对这些群的结构、表示以及它们的李代数进行了详尽的分析，为理解相对论中的各种守恒律（如能量、动量、角动量守恒）提供了一个强大的理论框架。我尤其欣赏作者在讲解诺特定理时所采取的方法。他并没有将诺特定理作为一个孤立的定理来呈现，而是将其置于李群对称性的背景下，展示了对称性如何直接导出守恒量。这种将数学形式语言与物理直觉相结合的讲解方式，极大地提升了我的理解效率。此外，本书还涉及了庞加莱群在粒子物理学中的应用，比如粒子的内禀性质（自旋、宇称）如何与庞加莱群的表示相关联。这让我看到了李群理论在现代物理学中最前沿领域中的重要作用。

评分☆☆☆☆☆

《Theory of Lie Groups》在结构上的一个显著特点是，它并没有将所有内容一股脑地堆砌起来，而是非常注重逻辑的层次性和连贯性。在完成了对李群及其代数的基本介绍后，作者巧妙地过渡到了李群的分类问题。这部分内容无疑是整个理论的核心之一，也是最能体现作者功力的地方。我被作者处理分类问题时所展现出的严谨和条理所折服。他并没有一开始就抛出所谓的“A, B, C, D”型李群，而是从更根本的性质入手，比如单连通性、紧致性以及半单性等。通过逐步排除和细化，最终导向了经典李群的分类。我特别欣赏作者在引入根系（root system）时所做的铺垫。他首先从李代数的半单性出发，引入了Cartan子代数和特征值（根）的概念，然后逐步构建起根系的结构。作者用大量的图示来帮助读者理解不同根系的几何形状，比如 A2 根系的特点。这对于我这样不善于在抽象空间中想象的读者来说，是极大的福音。接着，他详细地介绍了简根（simple roots）和根系基（root system basis）的概念，并利用它们来构造和描述半单李代数。理解根系是如何编码李代数结构的，是掌握李群分类的关键，而作者在这方面的讲解，堪称教科书级别的清晰。

评分☆☆☆☆☆