具体描述
数学主要讲述思想的方法，深入理解数学比掌握一大堆的定理、定义、问题和技术显得更为重要。理论和定义共同作用，《分析方法(修订版)(英文版)》在介绍实分析的时候结合详尽、广泛的阐释，使得读者完全理解分析基础和方法。目次：基础；实数体系结构；实线拓扑；连续函数；微分学；积分学；序列和函数级数；超函数；欧拉空间和矩阵空间；欧拉空间上的微分计算；常微分方程；傅里叶级数；隐函数、曲线和曲面；勒贝格积分；多重积分。读者对象：数学专业的研究生以及相关的科研人员。
目录
Preface
1 Preliminaries
1.1 The Logic of Quantifiers
1.1.1 Rules of Quantifiers
1.1.2 Examples
1.1.3 Exercises
1.2 Infinite Sets
1.2.1 Countable Sets
1.2.2 Uncountable Sets
1.2.3 Exercises
1.3 Proofs
1.3.1 How to Discover Proofs
1.3.2 How to Understand Proofs
1.4 The Rational Number System
1.5 The Axiom of Choice
2 Construction of the Real Number System
2.1 Cauchy Sequences
2.1.1 Motivation
2.1.2 The Definition
2.1.3 Exercises
2.2 The Reals as an Ordered Field
2.2.1 Defining Arithmetic
2.2.2 The Field Axioms
2.2.3 Order
2.2.4 Exercises
2.3 Limits and Completeness
2.3.1 Proof of Completeness
2.3.2 Square Roots
2.3.3 Exercises
2.4 Other Versions and Visions
2.4.1 Infinite Decimal Expansion
2.4.2 Dedekind Cuts
2.4.3 Non-Standard Analysis
2.4.4 Constructive Analysis
2.4.5 Exercises
2.5 Summary
3 Topology of the Real Line
3.1 The Theory of Limits
3.1.1 Limits, Sups, and Infs
3.1.2 Limit Points
3.1.3 Exercises
3.2 Open Sets and Closed Sets
3.2.1 Open Sets
3.2.2 Closed Sets
3.2.3 Exercises
3.3 Compact Sets
3.3.1 Exercises
3.4 Summary
4 Continuous Functions
4.1 Concepts of Continuity
4.1.1 Definitions
4.1.2 Limits of Functions and Limits of Sequences
4.1.3 Inverse Images of Open Sets
4.1.4 Related Definitions
4.1.5 Exercises
4.2 Properties of Continuous Functions
4.2.1 Basic Properties
4.2.2 Continuous Functions on Compact Domains
4.2.3 Monotone Functions
4.2.4 Exercises
4.3 Summary
5 Differential Calculus
5.1 Concepts of the Derivative
5.1.1 Equivalent Definitions
5.1.2 Continuity and Continuous Differentiability
5.1.3 Exercises
5.2 Properties of the Derivative
5.2.1 Local Properties
5.2.2 Intermediate Value and Mean Value Theorems
5.2.3 Global Properties
5.2.4 Exercises
5.3 The Calculus of Derivatives
5.3.1 Product and Quotient Rules
5.3.2 The Chain Rule
5.3.3 Inverse Function Theorem
5.3,4 Exercises
5.4 Higher Derivatives and Taylor's Theorem
5.4.1 Interpretations of the Second Derivative
5.4.2 Taylor's Theorem
5.4.3 L'HSpital's Rule
5.4.4 Lagrange Remainder Formula
5.4.5 Orders of Zeros
5.4.6 Exercises
5.5 Summary
6 Integral Calculus
6.1 Integrals of Continuous Functions
6.1.1 Existence of the Integral
6.1.2 Fundamental Theorems of Calculus
6.1.3 Useful Integration Formulas
6.1.4 Numerical Integration
6.1.5 Exercises
6.2 The Riemann Integral
6.2.1 Definition of the Integral
6.2.2 Elementary Properties of the Integral
6.2.3 Functions with a Countable Number of Discon-tinuities
6.2.4 Exercises
6.3 Improper Integrals
6.3.1 Definitions and Examples
6.3.2 Exercises
6.4 Summary
7 Sequences and Series of Functions
7.1 Complex Numbers
7.1.1 Basic Properties of C
7.1.2 Complex-Valued Functions
7.1.3 Exercises
7.2 Numerical Series and Sequences
7.2.1 Convergence and Absolute Convergence
7.2.2 Rearrangements
7.2.3 Summation by Parts
7.2.4 Exercises
7.3 Uniform Convergence
7.3.1 Uniform Limits and Continuity
7.3.2 Integration and Differentiation of Limits
7.3.3 Unrestricted Convergence
7.3.4 Exercises
7.4 Power Series
7.4.1 The Radius of Convergence
7.4.2 Analytic Continuation
7.4.3 Analytic Functions on Complex Domains
7.4.4 Closure Properties of Analytic Functions
7.4.5 Exercises
7.5 Approximation by Polynomials
7.5.1 Lagrange Interpolation
7.5.2 Convolutions and Approximate Identities
7.5.3 The Weierstrass Approximation Theorem
7.5.4 Approximating Derivatives
7.5.5 Exercises
7.6 Eouicontinuity
7.6.1 The Definition of Equicontinuity
7.6.2 The Arzela-Ascoli Theorem
7.6.3 Exercises
7.7 Summary
8 Transcendental Functions
8.1 The Exponential and Logarithm
8.2 Trigonometric Functions
8.3 Summary
9 Euclidean Space and Metric Spaces
9.1 Structures on Euclidean Space
9.2 Topology of Metric Spaces
9.3 Continuous Functions on Metric Spaces
9.4 Summary
10 Differential Calculus in Euclidean Space
10.1 The Differential
10.2 Higher Derivatives
10.3 Summary
11 Ordinary Differential Equations
11.1 Existence and Uniqueness
11.2 Other Methods of Solution
11.3 Vector Fields and Flows
11.4 Summary
12 Fourier Series
12.1 Origins of Fourier Series
12.2 Convergence of Fourier Series
12.3 Summary
13 Implicit Functions, Curves, and Surfaces
13.1 The Implicit Function Theorem
13.2 Curves and Surfaces
13.3 Maxima and Minima on Surfaces
13.4 Arc Length
13.5 Summary
14 The Lebesgue Integral
14.1 The Concept of Measure
14.2 Proof of Existence of Measures
14.3 The Integral
14.4 The Lebesgue Spaces L1 and L2
14.5 Summary
15 Multiple Integrals
15.1 Interchange of Integrals
15.2 Change of Variable in Multiple Integrals
15.3 Summary
Index
作者简介
目录信息
读后感
评分
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用户评价
这本书为我提供了一个系统性的框架来理解和应用各种分析方法。在阅读之前，我可能对某些分析工具有所了解，但这本书将它们有机地整合在一起，并阐述了它们之间的联系和区别。它让我明白，分析并非单一的技能，而是一系列相互关联的思维过程。书中关于“优化理论”的讲解，让我对如何在有限的资源下实现最佳结果有了更深入的理解。无论是商业运营还是个人生活，优化都是一个永恒的主题。它让我认识到，通过合理的分析和规划，我们能够更有效地利用资源，达成更高的目标。此外，书中还探讨了“启发式方法”的应用，在某些复杂的情况下，我们可能无法进行穷尽式的分析，这时候启发式方法就能派上用场。它是一种基于经验和直觉的快速决策方法，但同样需要审慎地运用。这本书让我对分析方法有了更全面的认识，也让我看到了它们在不同领域的广泛应用。
评分我一直对“预测”这个概念充满好奇，而这本书恰恰满足了我的这份好奇。它并没有提供神奇的预言，而是教授我们如何运用科学的方法来预测未来。书中关于“时间序列分析”的讲解，让我对如何分析历史数据来预测未来趋势有了清晰的认识。它教会我如何识别数据中的周期性、趋势性，并利用这些信息来构建预测模型。我尤其喜欢书中关于“不确定性下的预测”的讨论，它强调了预测并非绝对准确，而是需要不断地进行修正和更新。这种务实的态度让我觉得非常受用。它还深入探讨了“回归分析”的应用，通过分析变量之间的关系，我们可以更准确地预测某个变量的值。这在很多领域都具有重要的应用价值，例如经济学、社会学等。这本书让我对预测有了更科学的认识，也让我看到了分析方法在预测未来方面的巨大潜力。
评分我不得不说，这本书的理论深度和实践性都达到了一个非常高的水准。它没有停留在空泛的理论层面，而是通过大量的案例分析，将抽象的分析方法具体化、生活化。我尤其喜欢书中关于“模式识别”的讨论。它让我认识到，很多看似随机的事件背后，可能隐藏着某种规律和模式。学会识别这些模式，能够帮助我们更好地预测未来，并做出更明智的决策。它还深入探讨了“仿真模拟”的应用，通过构建模型并进行模拟，我们可以测试不同的策略和假设，从而找到最优的解决方案。这在很多领域都具有重要的应用价值，例如工程设计、经济预测等。书中通过生动的语言，将这些复杂的概念解释得清晰易懂，让我能够轻松地理解和消化。它让我看到了分析方法在解决实际问题中的巨大潜力，也激发了我对更深入研究的兴趣。这本书不愧为一本分析方法领域的经典之作，它不仅拓宽了我的视野，也提升了我的思维能力。
评分我最近有幸读到一本名为《分析方法》的书，虽然名字听起来有些专业，但实际上它探讨了许多在日常生活中，我们不自觉地就会运用到的逻辑和判断技巧，只不过这本书以一种系统化的方式将其呈现出来。例如，它深入浅出地剖析了“因果关系”的构建，不仅仅是简单地指出“因为A所以B”，而是更细致地探讨了在观察现象时，如何排除“相关性”的误导，如何识别是否存在潜在的第三方因素，以及如何进行反事实思考来验证假设。书中举的例子也很有趣，从历史事件的分析到日常决策的考量，都让我对“为什么会发生”这个问题有了更深刻的理解。它并没有直接教你如何解决一个具体的科学难题，而是教会你如何去思考，如何去构建一个严谨的分析框架，从而能够应对各种未知的情况。阅读过程中，我发现自己常常会在脑海中回溯之前遇到的问题，尝试用书中的方法去审视，竟然发现了很多之前忽略的细节和逻辑漏洞。这本书更像是一把瑞士军刀，不是为了完成某一项特定任务而设计，而是提供了一套工具，让你能够根据不同的情境，灵活地组合和运用，最终达到解决问题的目的。它引导我去审视信息的来源，去评估论证的力度，去识别可能存在的偏见。这对于在信息爆炸的时代保持清醒的头脑，做出明智的选择，具有不可估量的价值。我尤其喜欢书中关于“归纳法”和“演绎法”的对比分析，它们不仅仅是抽象的概念，而是贯穿于我们思考的始终。理解了这两种方法的精髓，就能更有效地从具体事例中提炼出普遍规律，也能更准确地将已有的理论应用于新的情境。这本书的优点在于，它不落俗套，没有那些枯燥乏味的理论堆砌，而是通过生动的语言和贴切的案例，将复杂的概念变得易于理解和消化。它更像是一位经验丰富的导师，循循善诱地引导你走进分析的世界，让你在不知不觉中提升自己的认知能力。
评分这本书带来的最深刻的体会，是它让我认识到“反思”在分析过程中的关键作用。它不仅仅是完成一次分析，更重要的是在分析结束后，回顾整个过程，总结经验教训，从而不断地改进自己的分析能力。书中关于“事后诸葛亮”的讨论，让我认识到，虽然事后分析看似容易，但它却是提升我们未来决策能力的重要途径。它教导我们如何从成功和失败中学习，如何不断地优化自己的分析模型和决策过程。它还强调了“跨学科”分析的重要性，很多复杂的问题需要从不同的学科视角来审视，才能找到更全面的解决方案。这本书让我看到了分析方法的无限可能，也让我对自己的学习和成长充满了期待。它不仅仅是一本关于分析方法的书，更是一本关于如何提升自我、如何在这个不断变化的世界中保持竞争力的书。
评分这本书的价值在于，它提供了一种全新的视角来审视我们所处的这个复杂世界。我一直觉得，我们所做的很多事情，都是在与各种“信息”打交道，而如何有效地处理和分析这些信息，直接决定了我们的决策质量。书中关于“信息质量评估”的部分，让我深思。它不仅仅关注信息的数量，更强调信息的可靠性、相关性和准确性。它教会我如何识别虚假信息，如何辨别不同来源的信息的价值，从而避免被误导。这在当今这个信息爆炸的时代，显得尤为重要。它还深入探讨了“数据可视化”的艺术，以及如何通过图表和图形来更直观地传达复杂的分析结果。我之前对数据可视化并没有太深的认识，但通过这本书的介绍，我理解了好的可视化能够极大地提升信息的传达效率和说服力。它也让我意识到，数据的呈现方式本身就蕴含着分析的智慧。这本书更像是一位向导，带领我走进信息的海洋，教会我如何从中汲取最有价值的知识。它让我不再被动地接受信息，而是主动地去分析和理解信息。
评分我被这本书中最吸引人的地方，是它对于“不确定性”的处理方式。在这个信息快速更迭的时代，我们每天都在面对各种不确定性，而这本书提供了一种非常有效的应对框架。它并没有试图消除不确定性，而是教导我们如何与不确定性共存，甚至利用不确定性来做出更优的决策。书中关于“鲁棒性”和“容错性”的讨论，让我印象深刻。它鼓励我们设计能够抵御各种干扰和意外的方案，而不是追求绝对的完美。这是一种更务实、更积极的态度。我特别欣赏书中关于“系统思维”的部分，它让我们看到事物之间的相互关联和影响，而不是孤立地看待每一个元素。当我们理解了一个系统的运作机制，就能更准确地预测其行为，并找到最佳的干预点。例如，书中分析了某些社会问题的根源，并不是简单地归咎于某个个体或事件，而是从更宏观的系统层面去理解，从而找到了更有效的解决方案。它还强调了“反馈循环”的作用，无论是正反馈还是负反馈，都在不断地塑造着系统的演化。这本书让我意识到，很多时候，我们遇到的问题并非孤立存在，而是某个更大系统中的一部分。只有理解了系统的整体运作，才能更有效地解决其中的具体问题。它让我不再拘泥于细节，而是将目光放得更长远，更宏观。
评分我发现这本书对我的逻辑思维能力产生了显著的提升。在阅读之前，我可能对一些问题有模糊的看法，但通过这本书的引导，我能够更清晰地梳理问题的脉络，找出其中的关键因素，并进行有条理的分析。书中关于“逻辑谬误”的讲解，让我大开眼界。我意识到，很多时候我们在辩论或者说服他人时，都会不自觉地犯下一些逻辑上的错误，从而削弱了自己的论点。它详细列举了各种常见的逻辑谬误，并提供了识别和避免这些谬误的方法。这对于我来说，无疑是提升沟通和辩论能力的一把利器。此外，书中关于“归纳与演绎”的深入探讨，让我理解了从具体事例中提炼规律，以及从普遍规律中推导具体结论的不同路径。这两种方法在我们的思考过程中都扮演着重要的角色。它也让我认识到，没有任何一种分析方法是万能的，我们需要根据具体的问题来选择合适的分析工具。这本书没有提供现成的答案，而是教会我如何去寻找答案，如何去构建自己的分析框架。它更像是一本“思考的说明书”，让我能够更有效地运用自己的大脑。它也鼓励我去挑战已有的观点，去质疑那些看似理所当然的结论。
评分这本书最让我惊喜的，是它将抽象的分析概念与我们实际生活中的决策过程巧妙地联系起来。我原本以为“分析方法”只是一堆理论，但实际上，它提供了一套实用的工具箱，可以帮助我们更清晰地思考，更明智地选择。书中关于“决策树”的讲解，让我对如何系统地评估不同选项的优劣有了全新的认识。它不仅仅是列出选项，而是考虑了每个选项可能带来的结果，以及这些结果发生的概率，最后计算出期望值，从而做出最优选择。这种量化的分析方式，让我觉得非常具有说服力。此外，书中关于“偏差”的讨论也极具启发性。无论是认知偏差还是数据偏差，都可能导致我们做出错误的判断。它教会我如何识别这些偏差，并尽量避免它们的影响，从而做出更客观、更公正的决策。比如，我之前在做投资决策时，常常会受到“锚定效应”的影响，而这本书的分析让我意识到了这一点，并找到了克服它的方法。它还探讨了“假设检验”的重要性，无论是科学研究还是商业决策，都需要不断地验证自己的假设。通过实验和数据分析，我们可以不断地修正和完善我们的认知，从而做出更准确的预测。这本书让我觉得，分析不仅仅是解决问题的方法，更是一种生活态度，一种对事物保持好奇心和探索精神的生活态度。
评分这本书带来的震撼，更多的是一种认知上的颠覆。我一直认为“分析”更多地是科学研究领域的事情，没想到在日常生活中，从朋友间的对话到新闻报道的解读，无不充斥着各种分析的痕迹。它让我意识到，很多时候我们之所以会产生误解或者做出错误的判断，正是因为我们的分析过程存在着盲点或者逻辑上的缺陷。书中对于“概率思维”的阐述，更是让我茅塞顿开。我之前对概率的理解可能还停留在赌博或者彩票的层面，但这本书将概率思维扩展到了我们生活的方方面面，例如风险评估、决策制定，甚至是对未来趋势的预测。它教会我如何更理性地看待不确定性，如何通过计算和概率来量化风险，而不是仅仅凭感觉或者经验。特别是关于“贝叶斯定理”的引入，虽然初看有些抽象，但通过书中几个生活化的例子，我逐渐领悟到它在更新信念、调整预测方面强大的作用。比如，当我们获得新的证据时，如何根据这些证据来修正我们原有的判断，这正是贝叶斯定理的核心价值。此外，书中还深入探讨了“模型构建”的重要性，无论是科学模型还是我们大脑中的认知模型，都对我们理解和预测世界起着至关重要的作用。它强调了模型需要不断地被验证和修正，以适应不断变化的环境。这本书让我重新审视了自己思考问题的方式，发现了很多可以改进的空间。它不是一本能让你立竿见影地掌握某种技能的书，而是一本能够潜移默化地改变你思维方式的书。它让我更愿意去深入挖掘问题的本质，而不是停留在表面现象。
评分这本书可以说让我手不释卷，难得的大家之作。作者知道优秀的数学书籍在于充分介绍intuition
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