Symmetric Functions, Schubert Polynomials and Degeneracy Loci pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Laurent Manivel

出品人:

页数:176

译者:John R. Swallow

出版时间:2001-9

价格:USD 50.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821821541

丛书系列:SMF/AMS Texts and Monographs

图书标签:

• 组合数学
• 数学
• Symmetric Functions
• Schubert Polynomials
• Degeneracy Loci
• Algebraic Combinatorics
• Representation Theory
• Mathematical Combinatorics
• Polynomials
• Algebra
• Mathematics
• Geometry

《对称函数、舒伯特多项式与退化轨迹》 本书深入探索了代数几何和组合学中两个至关重要的概念——对称函数与舒伯特多项式，并详细阐述了它们在理解和描述代数簇的退化轨迹（degeneracy loci）时所扮演的关键角色。本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，理解这些抽象代数结构如何与几何对象紧密相连，并揭示其丰富的内在联系。 第一部分：对称函数 在本书的第一部分，我们将从头开始，系统地介绍对称函数。对称函数是具有特定对称性质的多项式，它们在各种数学领域，尤其是代数、组合学和表示论中，都扮演着核心角色。 基本概念与定义： 我们将首先介绍对称函数的定义，即多项式在变量置换下保持不变。在此基础上，我们将引入几种重要的对称函数系列： 单项对称函数（Monomial Symmetric Functions）： 这是最基本的对称函数，由具有相同个数的变量构成，但变量的次幂可以不同，只要总次数相同且所有变量的次幂构成同一组多重集。 初等对称多项式（Elementary Symmetric Polynomials）： 这些多项式是所有变量的两两乘积之和，每个乘积包含k个不同的变量。它们是构成其他对称函数的重要基石。 幂和对称多项式（Power Sum Symmetric Polynomials）： 这些多项式是变量的幂次之和。它们与初等对称多项式之间存在着密切的联系，可以通过牛顿恒等式（Newton's Sums）联系起来。 完全齐次对称多项式（Complete Homogeneous Symmetric Polynomials）： 这些多项式是所有次数为k的单项式的和。它们也与初等对称多项式和幂和对称多项式有着重要的关系。 对称函数的基： 我们将探讨几种重要的对称函数基，它们能够线性表示出任何对称函数。 单项对称函数基（Monomial Basis）： 上文已提及，是最基础的基。 初等对称函数基（Elementary Basis）： 由初等对称多项式构成。 幂和对称函数基（Power Sum Basis）： 由幂和对称多项式构成。 舒伯特基（Schur Basis）： 这是本书后续内容的核心，由舒伯特多项式构成。我们将初步介绍其定义及其作为对称函数的重要性质。 对称函数代数： 我们将深入研究对称函数构成的代数结构——对称函数代数。我们将讨论它的环结构、模结构，以及它与图论、组合计数等领域的联系。 牛顿恒等式与雅可比-托里切利公式： 我们将详细介绍牛顿恒等式，它建立了初等对称多项式、幂和对称多项式和完全齐次对称多项式之间的递归关系，是理解对称函数代数的重要工具。此外，我们还会触及雅可比-托里切利公式，它在特定情况下揭示了对称函数之间的更深层关系。 第二部分：舒伯特多项式 在本书的第二部分，我们将聚焦于另一个代数几何中的重要对象——舒伯特多项式。舒伯特多项式是连接组合学和代数几何的桥梁，尤其在旗簇（flag varieties）的研究中具有不可替代的作用。 定义与组合解释： 我们将从组合学的角度定义舒伯特多项式。它们与李氏图（Young diagrams）以及这些图的填充（tableaux）密切相关。 李氏图（Young Diagrams）： 这是表示分区的图形工具，是理解舒伯特多项式的基础。 李氏表（Young Tableaux）： 我们将介绍标准李氏表（standard Young tableaux）和半标准李氏表（semi-standard Young tableaux），并解释它们如何与舒伯特多项式的单项式表示相关联。 舒伯特多项式的定义： 我们将给出舒伯特多项式的几种等价定义，包括基于组合规则的定义（如李氏表之和），以及它们在旗簇上的几何解释。 舒伯特多项式的性质： 基性质： 舒伯特多项式构成对称函数代数的一个重要基，这个基被称为舒伯特基。我们将证明舒伯特多项式是线性无关的，并且可以表示任何对称函数。 乘法规则： 我们将探讨舒伯特多项式之间的乘法规则，这通常通过“朗登-科特瑟尔规则”（Littlewood-Richardson rule）来表述。该规则用组合的方式描述了两个舒伯特多项式的乘积如何表示成舒伯特多项式的线性组合，并给出了系数的组合解释。 代数几何上的意义： 舒伯特多项式在代数几何中扮演着“坐标函数”的角色，它们可以被看作是旗簇上的截面，并且与旗簇的拓扑和几何性质紧密相关。 舒伯特范畴（Schubert Calculus）： 我们将简要介绍舒伯特范畴，这是研究舒伯特多项式及其性质的理论框架，它提供了强大的工具来计算代数簇上的交点数。 第三部分：退化轨迹 本书的第三部分将把前两部分的概念结合起来，深入研究代数簇的退化轨迹。退化轨迹是代数几何中一个非常重要的概念，它描述了代数簇上的一个子簇，该子簇是由一个几何对象“退化”或“退化”形成的。 退化轨迹的定义： 我们将给出退化轨迹的精确定义。在很多情况下，退化轨迹是由某个映射的秩（rank）不再是最大值时所产生的点集构成的。 退化轨迹与舒伯特多项式： 这是本书的核心联系。我们将证明，许多重要的退化轨迹的（同调类）可以由舒伯特多项式来表示。 线性映射的退化轨迹： 我们将从最简单的例子开始，例如两个向量空间的线性映射的退化轨迹。我们将看到，这些退化轨迹的同调类如何直接对应于特定的舒伯特多项式。 更一般的退化轨迹： 我们将进一步推广到更复杂的几何对象，例如向量丛（vector bundles）的截面，并展示如何利用舒伯特多项式来描述它们的退化轨迹。 朗登-科特瑟尔规则的应用： 我们将展示朗登-科特瑟尔规则如何在计算退化轨迹的同调类时发挥关键作用。通过将退化轨迹的几何问题转化为舒伯特多项式的代数问题，并利用朗登-科特瑟尔规则进行计算，我们可以有效地理解和分析退化轨迹的几何结构。 格拉斯曼簇（Grassmannians）上的退化轨迹： 格拉斯曼簇是研究退化轨迹的天然场所。我们将详细分析格拉斯曼簇上的退化轨迹，并展示它们如何与舒伯特多项式产生精确的对应关系。 应用与展望： 最后，我们将简要探讨对称函数、舒伯特多项式和退化轨迹在其他数学分支中的应用，例如在表示论、组合学、计算代数几何等领域。同时，我们也会对该领域未来的研究方向进行展望。 本书的写作风格力求清晰、严谨，并配以大量的例子和说明，以帮助读者逐步理解这些抽象而优美的数学概念。我们相信，通过学习本书，读者将能够深刻领会对称函数和舒伯特多项式在代数几何中的强大威力，并为进一步研究代数簇的几何性质打下坚实的基础。

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这本书的装帧设计和排版着实让人眼前一亮。厚重的封面材质，配上烫金的书名，散发出一种经典而又严谨的气息。内页的纸张选择也十分考究，触感细腻，墨色清晰，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到疲惫。整体的视觉感受非常专业，完全符合一本数学专著应有的格调。印刷质量无可挑剔，图表的绘制清晰准确，每一个符号、每一个公式都呈现得井井有条，这对于研究代数几何或表示论的读者来说，无疑是极大的便利。可以说，从物理呈现上，这本书就成功地建立了一种严肃、可靠的基调，让人在翻开扉页之前，就已经对接下来的深度学习内容充满了期待。这种对细节的关注，体现了出版方和作者对学术品质的极致追求，使得这本书不仅仅是知识的载体，本身也是一件值得收藏的物品。

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我对一本探讨组合数学在密码学中应用的教材印象深刻。这本书的特点是极其注重应用实例和计算方法。它很少停留在纯粹的理论证明上，而是将大量的篇幅用于构建具体的算法模型，并对这些模型的效率和安全性进行严格的量化分析。书中包含大量的伪代码和实际编程案例，使得理论知识能够迅速转化为可操作的工具。对于我这种更倾向于“动手实践”的学习者来说，这种侧重于构造性和计算性的方法论简直是福音。每当读完一个理论章节，紧接着就能看到一个详细的计算示例，这极大地巩固了对概念的理解，避免了陷入纯粹的符号推演而脱离实际问题的风险。这本书成功地架起了理论与工程之间的桥梁，展示了数学工具在解决真实世界难题时的强大威力。

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最近沉迷于一本关于数论与代数几何交叉领域的前沿著作，这本书的叙事风格非常具有个人色彩，与其说它是一本教科书，不如说更像是一位大师的学术笔记或是一场精彩的学术讲座的文字记录。作者似乎不太拘泥于传统的、线性的逻辑组织，而是频繁地在不同的数学分支间进行跳跃式的论证和类比。他善于用一些非常直观的几何图像或物理学的类比来解释那些原本极其抽象的代数结构，这种“不按常理出牌”的处理方式，虽然偶尔会让我感到困惑，但更多时候却能带来醍醐灌顶的顿悟时刻。阅读它需要一种开放的心态，去接受这种非规范化的知识传递方式，与其说是在“学习”，不如说是在跟随作者进行一场充满惊喜的智力探险。那种感觉就像是跟着一位充满激情的导师在白板前快速推导，充满了灵感迸发的热烈氛围。

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最近阅读的一本关于泛函分析和算子理论的专著，其难度主要体现在其对历史背景和主要流派的梳理上。作者似乎花了大量精力去追踪某个核心理论从萌芽到成熟的整个发展脉络，对早期数学家的观点进行了细致的对比和评述。书中充满了对不同学派之间论战的深入分析，甚至可以感受到当时数学家们思想交锋的火药味。这种处理方式的好处是，读者不仅学会了结论，更理解了结论是如何一步步被确立的，体会到数学真理的来之不易和复杂性。然而，这也导致了这本书的阅读节奏相对缓慢，因为它不仅仅是在传授知识，更是在进行一场深入的“学术考古”。对于那些只求快速掌握当前主流工具的读者来说，可能会觉得某些章节略显冗长，但对于渴望理解学科深层哲理的人而言，这种详尽的考据是无价之宝。

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我最近入手了一本关于拓扑学和微分几何的著作，它的论述方式极其深入和抽象，读起来就像是攀登一座知识的高峰，每一步都需要极大的心力去理解和消化。作者似乎完全没有照顾初学者的需求，直接将读者置于一个高度专业化的知识体系之中，大量的预备知识被假设为读者已经熟稔于心。章节之间的逻辑推进非常紧密，一个定理的证明往往依赖于前一章中那些晦涩难懂的引理。虽然这种深度对于资深研究人员或许是宝贵的，但对于我这种处于学习曲线上的探索者来说，简直是一场智力上的“极限挑战”。我不得不时常停下来，查阅大量的参考资料，试图从更基础的构造上去理解作者所构建的宏大理论框架。它要求读者具备极强的抽象思维能力和对数学语言的敏锐洞察力，任何一丝松懈都可能导致思维的断裂，让人迷失在复杂的符号海洋中。

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对称函数一章写得很紧凑，非常好，Schubert多项式还凑合，不如第一章，可能本身理论没有对称函数那么规整。最后一章则需要很多基础知识，目前还没有看完。

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对称函数一章写得很紧凑，非常好，Schubert多项式还凑合，不如第一章，可能本身理论没有对称函数那么规整。最后一章则需要很多基础知识，目前还没有看完。

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